2 Cách tiếp cận sơ cấp giải phương trình nghiệm nguyê n
2.2.2 Bộ ba Pitago
Một trong những phương trình nghiệm nguyên đáng nhớ nhất là phương trình Pitago.
x2 + y2 = z2. (2.6)
Phương trình được nghiên cứu kĩ bởi Pitago liên quan đến các tam giác vuông có độ dài các cạnh bên là các số nguyên.
Lưu ý đầu tiên là nếu bộ ba số nguyên (x0, y0, z0) thỏa mãn phương trình 2.6, thì tất cả các bộ ba có dạng (kx0, ky0, kz0), với k ∈ Z, cũng thỏa mãn 2.6. Đó là lý do tại sao ta chỉ cần tìm các nghiệm (x, y, z) của 2.6 với điều
kiện gcd(x, y, z) = 1. Điều này tương đương với thực tế là x, y, z nguyên tố
cùng nhau.
Một nghiệm (x0, y0, z0) của 2.6 với điều kiện x0, y0, z0 nguyên tố cùng nhau được gọi là một nghiệm nguyên thủy. Rõ ràng là trong một nghiệm nguyên thủy, chỉ có chính xác một trong số x0 và y0 là số chẵn.
Định lý 2.2.2. (xem [4]) Bất kỳ nghiệm nguyên thủy (x, y, z) nào trên tập các số nguyên dương của phương trình 2.6 với y chẵn đều có dạng
x = m2 −n2, y = 2mn, z = m2 + n2, (2.7)
trong đó m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau sao cho m > n và m +n là số lẻ.
Chứng minh. Các số nguyên x và y không thể cùng là số lẻ, nếu không thì
z2 = x2 +y2 ≡ 2 (mod 4),
đây là mâu thuẫn (vì z2 chỉ có thể là ≡ với 0 hoặc 1 theo mô-đun 4). Do đó chỉ có chính xác một trong các số nguyên x và y là lẻ. Đồng nhất thức
m2 −n22 + (2mn)2 = m2 +n22
cho thấy rằng bộ ba được đưa ra bởi 2.7 thực sự là một nghiệm cho phương trình 2.7 và y là chẵn. Vì x phải là số lẻ, nên ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng m là số lẻ và n là số chẵn.
Hơn nữa, nếu gcd m2 −n2,2mn, m2 +n2 = d ≥ 2, thì d là ước của
2m2 = m2 +n2+ m2 −n2,
và d là ước của
2n2 = m2 +n2− m2 −n2.
Từ đó vì (m, n) = 1, nên từ trên suy ra d = 2. Do đó m2 +n2 là chẵn, mâu thuẫn với m lẻ và n chẵn. Suy ra d = 1, do đó, nghiệm (2.7) là nguyên thủy. Ngược lại, ta đặt(x, y, z)là một nghiệm nguyên thủy của(2.6)vớiy = 2a. Khi đó x và z là số lẻ và do đó các số nguyên z+x và z−x là số chẵn. Đặt z+x= 2b và z−x = 2c. Ta có thể giả sử rằng b và c nguyên tố cùng nhau (nếu không thì z và x sẽ có một ước số chung > 1, mâu thuẫn). Mặt khác,
4a2 = y2 = z2−x2 = (z+x)(z−x) = 4bc, tức là,a2 = bc. Vì (b, c) = 1, nên
b= m2 và c = n2 với số nguyên dương m và n nào đó. Ta cũng suy ra được m+n là số lẻ (vì nếu m, n cùng chẵn thì b = m2, c = n2 cùng chẵn, suy ra (b, c) 6= 1, mâu thuẫn; nếu m, n cùng lẻ thì b, c cùng lẻ, suy ra x = b −c, z = b+ c cùng chẵn, suy ra (x, y, z) 6= 1, mâu thuẫn), và ta có
Chú ý 2.2.3. Một bộ ba (x, y, z) có dạng (2.7) được gọi là nguyên thủy. Để liệt kê tất cả các nghiệm nguyên thủy cho phương trình (2.6), ta gán các giá
trị 2, 3, 4, . . . cho m, và sau đó ứng với mỗi giá trị này của m, ta chọn các