5 Dü ki¸n k¸t qu£ nghi¶n cùu
2.1.1 Giîi thi»u b i to¡n
Ta nhc l¤i, choC l mët tªp trong khæng gian HilbertHv ¡nh x¤f : C×C → R
l h m sè thäa m¢n f(x, x) = 0. B i to¡n t¼m x∗ ∈ C sao cho
f(x∗, x) ≥ 0,∀x ∈ C, (EP)
÷ñc gåi l b i to¡n c¥n b¬ng.
B i to¡n n y bao gçm nhi·u b i to¡n li¶n quan li¶n quan trong lþ thuy¸t tèi ÷u nh÷ nhúng tr÷íng hñp °c bi»t . Möc ½ch cõa ta trong ch÷ìng n y l ÷a ra mët sè i·u ki»n õ èi vîi tªpC v h mf º b i to¡n câ nghi»m v x¥y düng d¢y l°p
xk b¬ng thuªt to¡n song song cho b i to¡n c¥n b¬ng hai c§p hëi tö tîi nghi»m cõa b i to¡n. T¤i méi b÷îc l°p k, ta gi£i b i to¡n lçi m¤nh
min f(xk, y) + 1 2 y −xk 2 : y ∈ C
trong â C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå ¡nh x¤ khæng gi¢n. Cö thº l b i to¡n: T¼m x∗ ∈ S sao cho:
Vîi S l giao cõa tªp c¡c iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n Tj : H → H(j = 1,2, ...) trong khæng gian HilbertH.
V· thuªt to¡n, vîi song h m f ìn i»u m¤nh v câ t½nh ch§t kiºu Lipschitz th¼ ta câ thº chån ÷ñc tham sè ρ > 0 sao cho ¡nh x¤
s(x) := arg min y∈C ρf(x, y) + 1 2ky−xk2
l mët ¡nh x¤ co, hìn núa nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng công ch½nh l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ s, do â câ thº ¡p döng thuªt to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co s º t¼m nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng, tùc l t¤i méi b÷îc l°p k, ta gi£i b i to¡n tèi ÷u m¤nh º t¼m iºm l°p ti¸p theo
xk+1 = argmin ρf(xk, y) + 1 2 y −xk 2 : y ∈ C . 2.1.2 Sü tçn t¤i nghi»m
Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ cì b£n v· sü tçn t¤i nghi»m, mët sè gi£ thi¸t cì b£n s³ câ duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng. Tr÷îc h¸t, ta nhc l¤i mët sè ành ngh¾a cì b£n sau.
Cho C l mët tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert thüc H v mët ¡nh x¤ F :C → R. nh x¤ F ÷ñc gåi l :
• Nûa li¶n töc d÷îi t¤i x ∈ C n¸u vîi måi d¢y
xk ∈ C hëi tö m¤nh ¸n x
th¼
lim
k→∞infF(xk) ≥F(x).
• Nûa li¶n töc tr¶n t¤i x ∈ C n¸u vîi måi d¢y
xk ∈ C hëi tö m¤nh ¸n x
th¼
lim
Khi â, ta câ F l nûa li¶n töc d÷îi (nûa li¶n töc tr¶n) tr¶n C n¸u F nûa li¶n töc d÷îi (nûa li¶n töc tr¶n) t¤i måi x ∈ C.
º tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ mët c¡ch thuªn lñi, chóng ta x²t mët sè t½nh ch§t cõa song h m c¥n b¬ng f : H × H →R
(A1) f(., y) nûa li¶n töc tr¶n vîi méi y ∈ C;
(A2) f(x, .) nûa li¶n töc d÷îi vîi méi x ∈ C;
(A3) f(x, .) tüa lçi tr¶n C vîi méi x ∈ C.
Chó þ r¬ng mët h m ch½nh th÷íng kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i mët iºm th¼ nûa li¶n töc d÷îi t¤i iºm â, tuy nhi¶n mët h m lçi nûa li¶n töc d÷îi tr¶n mët tªpC ch÷a chc ¢ kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n â, nh÷ng nâ l -kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶nC vîi måi > 0
ành lþ sau cho ta i·u ki»n õ º b i to¡n câ nghi»m ( xem chùng minh trong [1] ).
ành lþ 2.1.1. Cho f : C ×C → R l mët song h m c¥n b¬ng gi£ ìn i»u sao cho f(., y) l b¡n li¶n töc ð tr¶n C vîi méi y ∈ C v f(x, .) lçi, nûa li¶n töc d÷îi ð tr¶n C vîi méi x ∈ C. Gi£ sû i·u ki»n bùc sau thäa m¢n: tçn t¤i h¼nh c¦u âng B sao cho
∀x ∈ C\B,∃y ∈ C ∩B : f(x, y) < 0.
Khi â b i to¡n c¥n b¬ng (EP)câ nghi»m.
K¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u m¤nh ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:
H» qu£ 2.1.1. Gi£ sû f l song h m gi£ ìn i»u m¤nh vîi h» sè β tr¶n
C, khi â vîi c¡c gi£ thi¸t (A1), (A3), b i to¡n (EP) câ duy nh§t nghi»m. Chùng minh.
Trong tr÷íng hñp tªp C bà ch°n, m»nh · tr¶n l mët h» qu£ cõa ành lþ Ky Fan ( xem chùng minh trong [1] ).
÷ñc thäa m¢n: tçn t¤i h¼nh c¦u âng B sao cho
∀x ∈ C\B,∃y ∈ C ∩B : f(x, y) < 0. (C0)
Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i, tùc l khæng tçn t¤i h¼nh c¦u âng n o thäa m¢n i·u ki»n bùc tr¶n. Khi â vîi måi h¼nh c¦u ângBr t¥m ð gèc, b¡n k½nhr, tçn t¤ixr ∈ C\Br
sao cho f(x, y) ≥0 ∀y ∈ C ∩ Br.
Cè ành r0 > 0, khi â vîi måir > r0, tçn t¤ixr ∈ C\Br sao chof(xr, y0) ≥0
vîi y0 ∈ C ∩Br0. Tø â, do f l song h m gi£ ìn i»u m¤nh vîi h» sè β, ta câ:
f(y0, xr) +βxr−y0
2
≤ 0,∀r > 0. (1.1)
M°t kh¡c, do C lçi v f(y0, .) lçi tr¶n C, vîi r := 1r, tçn t¤i x0 ∈ C sao cho
∂r 2 f(y0, x0) =6 φ. L§y tòy þω∗ ∈ ∂r 2 (y0, x0)ta câ: f(y0, x) + 1 r ≥ ω∗, x−x0+f(y0, x0),∀x ∈ C Vîi x = xr, ta ÷ñc f(y0, xr) +βxr −y0 2 + 1 r ≥f(y0, xr) +ω∗, xr −x0+βxr −y0 2 ≥f(y0, x0)− kω∗kxr −x0−βxr −y0 2 Cho r → ∞, ta ÷ñc kxrk → ∞ v do â f(y0, xr) + βxr−y0 2 → ∞, i·u n y tr¡i vîi (1.1). Vªy i·u ki»n bùc (C0) luæn óng. Do â, theo ành lþ 2.1.1 b i to¡n (EP) câ nghi»m.
Gi£ sûx1, x2 ∈ Cl hai nghi»m cõa b i to¡n, ta câf(x1, x2) ≥ 0, f(x2, x1) ≥0. Do f l song h m gi£ ìn i»u m¤nh tr¶n C n¶n tø f(x1, x2) ≥ 0, k²o theo
0≤ f(x2, x1) ≤ −βx2 −x1
2 ,
do â x1 = x2.
X²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
ð â F :C → H l to¡n tû gi£ ìn i»u m¤nh tr¶n C.
p döng k¸t qu£ cõa M»nh · 1.2.2 vîi song h m f x¡c ành bði
f(x, y) := hF(x), y−xi, (1.2)
ta thu ÷ñc k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n nh÷ sau.
H» qu£ 2.1.2. Gi£ sû F : C → H b¡n li¶n töc v gi£ ìn i»u m¤nh tr¶n
C. Khi â, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (VI) câ nghi»m duy nh§t. Bê · 2.1.8.[1] Cho C ⊂ H l mët tªp lçi âng kh¡c réng, f :H × H →
R∪ {+∞} l mët song h m c¥n b¬ng tr¶n C, tùc l f(x, x) = 0 ∀x∈ C. Khi â c¡c ph¡t biºu sau t÷ìng ÷ìng
(i) x∗ l mët nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng
T¼m x∗ ∈ C sao cho f(x∗, y) ≥ 0; ∀y ∈ C;
(ii) x∗ l nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u
min{f(x∗, y) : y ∈ C}.
2.1.3 Mët sè b i to¡n li¶n quan
B i to¡n c¥n b¬ng câ d¤ng ìn gi£n tuy nhi¶n nâ bao h m mët lîp b i to¡n quan trång trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c. Nâ mang ¸n mët c¡ch nh¼n t÷ìng èi têng qu¡t v· c¡c b i to¡n kh¡c nhau bt nguçn tø nhi·u l¾nh vüc nghi¶n cùu kh¡c nhau, hñp nh§t chóng trong mët thº thèng nh§t. Sau ¥y, ta nhc l¤i mët sè b i to¡n li¶n quan th÷íng g°p:
Cho C l tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõaH v F : C →R l h m lçi v nûa li¶n töc d÷îi. B i to¡n tèi ÷u, kþ hi»u (OP) l b i to¡n:
T¼m x∗ ∈ C sao cho F(x∗) ≤F(y),∀v ∈ C.
B¬ng c¡ch °t f(x, y) = F(y) −F(x) vîi måix, y ∈ C. Theo ành ngh¾a x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP) n¸u v ch¿ n¸u x∗ l nghi»m cõa b i to¡n EP(f,C).
2. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
Cho C l tªp con, lçi, âng, kh¡c réng cõa mët khæng gian Hilbert thüc H v ¡nh x¤: F : C → H. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n x¡c ành bði C v F, kþ hi»u
V IP, l b i to¡n t¼mu∗ ∈ C sao cho
hF(u∗), u −u∗i ≥ 0,∀u ∈ C.
B¬ng c¡ch °t
f(x, y) = hF(x), y −xi,
th¼ (VIP) t÷ìng ÷ìng vîi (EP) theo ngh¾a tªp nghi»m cõa hai b i to¡n tròng nhau. 3. B i to¡n iºm y¶n ngüa
Cho C1, C2 ⊆ H l c¡c tªp con, lçi, âng, kh¡c réng v f : C1 ×C2 → R. Mët iºm x∗ = (x∗1, x∗2) ÷ñc gåi l iºm y¶n ngüa cõa f n¸ux∗ ∈ C = C1 ×C2 v
F(x∗1, y2) ≤ F(x∗1, x∗2) ≤ F(y1, x∗2),∀y = (y1, y2) ∈ C1 ×C2
X²t ¡nh x¤: F : C ×C →R
F(x, y) = f(y1, x2)−f(x1, y2),
trong â x = (x1, x2), y = (y1, y2). Khi â, iºm x∗ l iºm y¶n ngüa n¸u v ch¿ n¸u:
F(x∗, y) ≥0,∀y = (y1, y2) ∈ C.
4. B i to¡n iºm b§t ëng
Cho C ⊂ H l mët tªp lçi, âng, kh¡c réng v T : C →2H l mët ¡nh x¤ a trà, nûa li¶n töc tr¶n sao choT(u) l tªp con, lçi, compact kh¡c réng cõaC. B i to¡n iºm b§t ëng, kþ hi»uF ix(T), l b i to¡n:
T¼m iºm u∗ ∈ C sao cho u∗ ∈ T(u∗).
°t f(u, v) = max
w∈T(u)hu−w, v−ui vîi måi u, v ∈ C. Khi â u∗ l nghi»m cõa b i to¡n F ix(T) khi v ch¿ khi u∗ l nghi»m cõa b i to¡n EP(f,C).
2.1.4 Mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t v tèc ë hëi tö cõa nâ
Kþ hi»u tªp c¡c iºm b§t ëng F ix(S) cõa ¡nh x¤ S. Ta nhc l¤i ành ngh¾a mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ S. nh x¤ S : C → C ÷ñc gåi l :
(i) khæng gi¢n, n¸u:
kS(x)−S(y)k ≤ kx−yk,∀x, y ∈ C;
(ii) tüa khæng gi¢n, n¸u F ix(S) 6= φ v
kS(x)−x∗k ≤ kx−x∗k,∀(x, x∗) ∈ C ×F ix(S);
(iii) tüa co, n¸u F ix(S) 6= φ v tçn t¤i β ∈ (0,1) thäa m¢n:
kS(x)−x∗k ≤ βkx−x∗k,∀(x, x∗) ∈ C ×F ix(S);
(iv) nûa co, n¸u F ix(S) =6 φ v tçn t¤iβ ∈ [0,1) thäa m¢n
kS(x)−x∗k2 ≤ kx−x∗k2 + βkx−S(x)k2,∀(x, x∗) ∈ C ×F ix(S).
Vîi gi£ thi¸t f(x, .) lçi, âng tr¶n tªp lçi âng C, ¡nh x¤ s luæn x¡c ành v¼ h m möc ti¶u lçi m¤nh. C¡c thuªt to¡n ÷a ra trong möc n y düa tr¶n thuªt to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ s : C →C ÷ñc x¡c ành bði s(x) := arg min y∈C ρf(x, y) + 1 2ky−xk2 (1.3)
ð â ρ > 0.
Ta nhc l¤i mèi li¶n h» giúa nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng v iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ s ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: (xem chùng minh trong [1])
Bê · 2.1.9. Cho s ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc (1.3). Khi â, d÷îi c¡c gi£ thi¸t (A1), (A2), x∗ l mët nghi»m cõa (EP) n¸u v ch¿ n¸u x∗ = s(x∗)
i·u ki»n li¶n töc kiºu Lipschitz sau ÷ñc sû döng trong chùng minh sü hëi tö cõa mët sè thuªt to¡n trong möc n y: ta nâi f thäa m¢n i·u ki»n kiºu Lipschitz tr¶n C, n¸u tçn t¤i L1, L2 > 0sao cho
f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z)−L1kx−yk2−L2ky −zk2,∀x, y, z ∈ C. (1.4)
Câ thº th§y, trong tr÷íng hñp b i to¡n tèi ÷u (OP): T¼m x∗ ∈ C cüc tiºu h m F : C → R, th¼ vîi
f(x, y) =F(y)−F(x),
i·u ki»n (1.4) luæn ÷ñc thäa m¢n.
Trong tr÷íng hñp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (VIP): T¼m x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), y −x∗i ≥ 0,∀y ∈ C,
th¼ vîi
f(x, y) = hF(x), y−xi
i·u ki»n (1.4) thäa m¢n khi F l ¡nh x¤ li¶n töc Lipschitz vîi h» sè L > 0. Khi â, ta chån L1 = Lm
2 v L2 = 2Lm vîi m > 0 tòy þ. Thªt vªy, ta câ:
f(x, y) +f(y, z) =hF(x), y−xi+hF(y), z −yi
= hF(x), z−xi+hF(y)−F(x), z −yi
= f(x, z) +hF(y)−F(x), z −yi.
Vîi F l li¶n töc L−Lipschitz, ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta ÷ñc
f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z)−Lky −xk kz−yk ≥ f(x, y)− Lm
2 ky −xk2 − L
M»nh · 2.1.1. Gi£ sû f l song h m gi£ ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi h» sè β > 0. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (A1), (A2), i·u ki»n kiºu Lipschitz (1.4) ÷ñc thäa m¢n v vîi méi x ∈ C, h m f(x, .) li¶n töc t¤i mët iºm thuëc
C ho°c intC 6= φ. Khi â, vîi måi iºm xu§t ph¡t x0 ∈ C, d¢y
xk k≥0 x¡c ành bði xk+1 := arg min y∈C ρf(xk, y) + 1 2 y −xk 2 (1.5) s³ thäa m¢n [1 + 2ρ(β −L2)]xk+1−x∗ 2 ≤ xk −x∗ 2 (1.6) ð â 0 < ρ < 2L1
1 v x∗ l nghi»m duy nh§t cõa (EP). Chùng minh. Vîi méi k ≥ 0, °t fk(x) := ρf(xk, x) + 1 2 x−xk 2 . (1.7)
Do i·u ki»n (A2), h m fk lçi m¤nh vîi h» sè 1 v kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n C, do â
fk(xk+1) +gk, x−xk+1+ 1 2 x−xk+1 2 ≤ fk(x),∀x ∈ C, (1.8)
vîi gk ∈ ∂fk(xk+1). Theo c¡ch x¡c ành cõa xk+1 bði (1.5), sû döng i·u ki»n tèi ÷u cõa b i to¡n tèi ÷u lçi, ta câ:
0∈ ∂fk(xk+1) + NC(xk+1)
do â tçn t¤i −gk ∈ NC(xk+1) sao cho
gk, x−xk+1 ≥ 0,∀x ∈ C. V¼ vªy, tø (1.7), ta ÷ñc fk(xk+1) + 1 2 x−xk+1 2 ≤ fk(x),∀x ∈ C. (1.9)
Thay x = x∗ trong (1.9) v sû döng ành ngh¾a (1.7) cõa fk, ta thu ÷ñc xk+1 −x∗ 2 ≤xk −x∗ 2 + 2ρf(xk, x∗)−f(xk, xk+1)−xk+1 −xk 2 (1.10)
p döng i·u ki»n kiºu Lipschitz (1.4) vîi x = xk, y = xk+1, z = x∗, ta ÷ñc f(xk, xk+1) +f(xk+1, x∗) ≥ f(xk, x∗)−L1xk −xk+1 2 −L2xk+1−x∗ 2 . Tø â suy ra: f(xk, x∗)−f(xk, xk+1) ≤ f(xk+1, x∗) +L1xk+1 −xk 2 +L2xk+1 −x∗ 2 (1.11)
Do x∗ l nghi»m cõa (EP) n¶n f(x∗, xk+1) ≥ 0. Tø â, do t½nh gi£ ìn i»u m¤nh cõa f, ta câ f(xk+1, x∗) ≤ −βxk+1−x∗ 2 . (1.12) Tø (1.11) v (1.12), d¨n ¸n f(xk, x∗)−f(xk, xk+1) ≤ −βxk+1 −x∗ 2 + L1xk−xk+1 2 +L2xk+1 −x∗ 2 = −(β −L2)xk+1−x∗ 2 +L1xk+1 −xk 2 (1.13)
Th¸ (1.13) v o (1.10), do c¡ch chån cõa ρ, ta câ: xk+1 −x∗ 2 ≤ xk −x∗ 2 + 2ρ[−(β −L2)xk+1 −x∗ 2 + L1 xk+1 −x∗ 2 ]− xk+1−x∗ 2 ⇔[1 + 2ρ(β −L2)]xk+1−x∗ 2 ≤xk+1 −x∗ 2 −(1−ρ2L1)xk+1 −x∗ 2 ≤xk+1 −x∗ 2
Ta ÷ñc i·u ph£i chùng minh.
Theo M»nh · 2.1.1, ta câ thº ph¡t triºn mët thuªt to¡n vîi tèc ë hëi tö tuy¸n t½nh cho b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u m¤nh thäa m¢n i·u ki»n kiºu Lipschitz (1.4). Ta nâi r¬ng mët d¢y
zk ÷ñc gåi l hëi tö tuy¸n t½nh ¸n z∗ n¸u tçn t¤i sè t ∈ (0,1)
v mët ch¿ sè k0 sao cho
zk+1 −z∗ ≤ tzk −z∗ vîi måik ≥ k0. Thuªt to¡n 2.1.1.Cho tr÷îc sai sè ≥ 0v tham sè 0< ρ < 2L1
1.
T¤i méi b÷îc l°p k = 1,2, ..., gi£i b i to¡n tèi ÷u lçi m¤nh min ρf(xk, y) + 1 2 y −xk 2 : y ∈ C ,
thu ÷ñc nghi»m duy nh§t xk+1.
B÷îc 2: N¸u xk+1 = xk th¼ døng, xk l nghi»m cõa b i to¡n (EP). Ng÷ñc l¤i, t«ng
k →k + 1.
Trong tr÷íng hñp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (VI), khif(x, y) := hF(x), y−xi, vi»c gi£i b i to¡n tèi ÷u lçi m¤nh trong B÷îc 1 ch½nh l vi»c t½nh h¼nh chi¸u cõa vec-tì
xk −ρF(xk) l¶n C, tùc l xk+1 = PC(xk −ρF(xk)).
Sü hëi tö cõa Thuªt to¡n 2.1.1 ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø M»nh · 2.1.1. ành lþ 2.1.2. Gi£ sû L2 < β v 0 < ρ ≤ 21L
1. Khi â, n¸u thuªt to¡n khæng døng sau húu h¤n b÷îc th¼ d¢y l°p
xk sinh bði Thuªt to¡n 2.1.1 hëi tö vîi tèc ë tuy¸n t½nh ¸n nghi»m duy nh§t x∗ cõa (EP) v ta câ ¡nh gi¡ sau xk+1 −x∗ ≤ α k+1 1−α x1 −x0,∀k ≥0 (1.14) ð â α := √ 1 1+2ρ(β−L2) ∈ (0,1).
Chó þ 2.1.1. Ta gåi mët iºm xk ∈ C l - nghi»m cõa (EP) n¸u
xk−x∗ ≤ , ð â x∗ la nghi»m ch½nh x¡c cõa (EP). Trong Thuªt to¡n 2.1.1, n¸u thuªt to¡n døng t¤i b÷îc k, tùc l xk+1 = xk th¼ xk l nghi»m. Tr÷íng hñp thuªt to¡n khæng døng h¼ d¢y l°p
xk sinh bði Thuªt to¡n 2.1.1 hëi tö vîi tèc ë tuy¸n t½nh ¸n nghi»m duy nh§t x∗ cõa (EP) vîi ¡nh gi¡ (1.14). Do â trong thüc t¸ t½nh to¡n, ta câ thº døng thuªt to¡n khi kho£ng c¡ch giúa hai iºm l°p n y nhä thua mët sai sè > 0 cho tr÷îc.
Trong Thuªt to¡n 2.1.1, h» sè i·u ch¿nh ρ ÷ñc düa tr¶n h¬ng sè Lipschitz. Thuªt to¡n ti¸p theo ¥y câ thº tr¡nh ÷ñc i·u â, tuy nhi¶n vîi vi»c c¡c h» sè b÷îc hëi tö tîi 0,thuªt to¡n khæng ¤t ÷ñc tèc ë hëi tö tuy¸n t½nh núa.
Thuªt to¡n 2.1.2.Cho tr÷îc mët d¢y sè thüc d÷ìng{ρk}k≥0 thäa m¢n i·u ki»n ∞ X k=0 ρk = ∞, lim k→∞ρk = 0. B÷îc 1: L§yx0 ∈ C v °t k = 0.
T¤i méi b÷îc k = 0,1, ..., gi£i b i to¡n tèi ÷u lçi m¤nh
min y∈C ρkf(xk, y) + 1 2 y−xk 2 , ta ÷ñc nghi»m duy nh§t xk+1.
B÷îc 2: N¸u xk+1 = xk th¼ døng, xk l nghi»m b i to¡n (EP). Ng÷ñc l¤i, t«ng
k →k + 1.
Sü hëi tö cõa d¢y
xk sinh bði Thuªt to¡n 2.1.2 ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau.
ành lþ 2.1.3. Gi£ sû f l song h m gi£ ìn i»u m¤nh vîi h» sâ β tr¶n
C v thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t (A1), (A2) v i·u ki»n d¤ng Lipschitz (1.4) vîi L2 < β. Cho
xk k≥0 l d¢y sinh bði Thuªt to¡n 2.1.2 v x∗ l nghi»m