a, Phát biểu bài toán
Tìm x sao cho hàm mục tiêu
f(x) →min.
Các ràng buộc:
x ∈ C : gi(x)≤ 0 ; i=1..m
Trong đó C là tập lồi. Các hàm f, gi là các hàm lồi trên C.
b, Điều kiện tối ưu
+ Miền nghiệm chấp nhận được:
D = {x∈ C : gi(x) ≤ 0} : i=1..m
+ Khái niệm về điểm yên ngựa (saddle point)
Kí hiệu hàm lagrange L(x, λ) = f(x) +
m
P
i=1
λigi(x) = f(x) +λTg(x)
Khi đó điểm yên ngựa của hàm L(x, λ) là điểm (x∗, λ∗) với
x∗ ∈ D; λ* ≥ 0 sao cho:
L(x, λ∗)≤ L(x∗, λ∗) ≤ L(x∗, λ). Các thành phần λi của vectơ
λ = [λ1, ..., λm]T được gọi là các nhân tử Lagrange.
Khi λ =λ∗ thì điểm(x∗, λ∗)là điểm cao nhất của L(x, λ). Khi x= x∗
thì điểm (x∗, λ∗)là điểm thấp nhất của L(x, λ).
Phương pháp xác định điểm yên ngựa: Điểm(x∗, λ∗) là điểm yên ngựa
+ ∇L(x, λ) = 0;
+ gi(x) ≤ 0 ; i=1..m;
+λi gi(x)≤ 0 ; i=1..m;
Định lý 2.1.3 Điểm x∗ là tối ưu khi và chỉ khi
fz(x∗) = h∇f(x∗), zi ≥ 0; ∀z ∈ D(x∗)
Tức là: nếu xuất phát từ x* theo hướng bất kỳ z mà f(x) tăng thì f(x) đạt giá trị min tại x*.
Định lý 2.1.4 (Định lý Kuhn-Tucker, phát biểu năm 1951)
Giả sử bài toán quy hoạch lồi thỏa mãn điều kiện Slater:
∃x0 ∈ C : gi(x0)< 0; i=1..m.
Khi đó điều kiện cần và đủ để x* trở thành nghiệm tối ưu là tồn tại một vectơ m chiều, không âm λ∗ = [λ∗1, λ∗2, ..., λ∗m]T sao cho cặp (x∗, λ∗)
là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L(x, λ).
Chú ý: Điều kiện Slater không được thỏa mãn thì có thể không tồn tại điểm yên ngựa của hàm L(x, λ) loại (x∗, λ∗).
Ví dụ: Tìm min của f(x) = −x với ràng buộc g = x2 < 0 Ta có:
x∗ = 0. Hàm Lagrange L(x, λ) =−x+λ.x2.
Xác định điểm dừng:
∂L
∂x = −1 + 2λ.x = 0.
Điều kiện Slater không thỏa mãn khi x=0, do đó không tồn tại λ và
hàm L(x, λ) không có điểm yên ngựa loại (0, λ).
2.2 Cực tiểu hàm lồi một biến