Bài toán quy hoạch lồi tổng quát, điều kiện tối ưu

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) phương pháp số giải bài toán quy hoạch lồi và ứng dụng (Trang 27 - 28)

a, Phát biểu bài toán

Tìm x sao cho hàm mục tiêu

f(x) →min.

Các ràng buộc:

x ∈ C : gi(x)≤ 0 ; i=1..m

Trong đó C là tập lồi. Các hàm f, gi là các hàm lồi trên C.

b, Điều kiện tối ưu

+ Miền nghiệm chấp nhận được:

D = {x∈ C : gi(x) ≤ 0} : i=1..m

+ Khái niệm về điểm yên ngựa (saddle point)

Kí hiệu hàm lagrange L(x, λ) = f(x) +

m

P

i=1

λigi(x) = f(x) +λTg(x)

Khi đó điểm yên ngựa của hàm L(x, λ) là điểm (x∗, λ∗) với

x∗ ∈ D; λ* ≥ 0 sao cho:

L(x, λ∗)≤ L(x∗, λ∗) ≤ L(x∗, λ). Các thành phần λi của vectơ

λ = [λ1, ..., λm]T được gọi là các nhân tử Lagrange.

Khi λ =λ∗ thì điểm(x∗, λ∗)là điểm cao nhất của L(x, λ). Khi x= x∗

thì điểm (x∗, λ∗)là điểm thấp nhất của L(x, λ).

Phương pháp xác định điểm yên ngựa: Điểm(x∗, λ∗) là điểm yên ngựa

+ ∇L(x, λ) = 0;

+ gi(x) ≤ 0 ; i=1..m;

+λi gi(x)≤ 0 ; i=1..m;

Định lý 2.1.3 Điểm x∗ là tối ưu khi và chỉ khi

fz(x∗) = h∇f(x∗), zi ≥ 0; ∀z ∈ D(x∗)

Tức là: nếu xuất phát từ x* theo hướng bất kỳ z mà f(x) tăng thì f(x) đạt giá trị min tại x*.

Định lý 2.1.4 (Định lý Kuhn-Tucker, phát biểu năm 1951)

Giả sử bài toán quy hoạch lồi thỏa mãn điều kiện Slater:

∃x0 ∈ C : gi(x0)< 0; i=1..m.

Khi đó điều kiện cần và đủ để x* trở thành nghiệm tối ưu là tồn tại một vectơ m chiều, không âm λ∗ = [λ∗1, λ∗2, ..., λ∗m]T sao cho cặp (x∗, λ∗)

là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L(x, λ).

Chú ý: Điều kiện Slater không được thỏa mãn thì có thể không tồn tại điểm yên ngựa của hàm L(x, λ) loại (x∗, λ∗).

Ví dụ: Tìm min của f(x) = −x với ràng buộc g = x2 < 0 Ta có:

x∗ = 0. Hàm Lagrange L(x, λ) =−x+λ.x2.

Xác định điểm dừng:

∂L

∂x = −1 + 2λ.x = 0.

Điều kiện Slater không thỏa mãn khi x=0, do đó không tồn tại λ và

hàm L(x, λ) không có điểm yên ngựa loại (0, λ).

2.2 Cực tiểu hàm lồi một biến

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) phương pháp số giải bài toán quy hoạch lồi và ứng dụng (Trang 27 - 28)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(51 trang)