Một số hệ thống mã hĩa khĩa cơng cộng
6.2.3 Sự che dấu thơng tin trong hệ thống RSA
Hệ thống RSA cĩ đặc điểm là thơng tin khơng phải luơn được che dấu. Giả sử
người gởi cĩ e = 17, n = 35. Nếu anh ta muốn gởi bất cứ dữ liệu nào thuộc tập sau:
{1, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 27, 28, 29, 34}
thì kết quả của việc mã hĩa lại chính là dữ liệu ban đầu. Nghĩa là, M = Me mod n. Cịn khi p = 109, q = 97, e = 865 thì hệ thống hồn tồn khơng cĩ sự che dấu thơng tin, bởi vì:
∀M, M = M865 mod (109*97),
Với mỗi giá trịn, cĩ ít nhất 9 trường hợp kết quả mã hĩa chính là dữ liệu nguồn ban đầu. Thật vậy,
M = Me mod n (6.1)
hay:
M = Me mod p và M = Me mod q (6.2)
Với mỗi e, (6.2) cĩ ít nhất ba giải pháp thuộc tập {0, 1, -1}. Để xác định chính xác số thơng điệp khơng được che dấu (khơng bị thay đổi sau khi mã hĩa) ta sử
dụng định lý sau: “Nếu các thơng điệp được mã hĩa trong hệ thống RSA được xác định bởi số modulus n = p.q (p,q là số nguyên tố) và khĩa cơng cộng e thì cĩ:
Mấu chốt để cĩ thể giải mã được thơng tin là cĩ được giá trịp và q tạo nên giá trị
n. Khi cĩ được hai giá trị này, ta cĩ thể dễ dàng tính ra được φ(n) = (p – 1)(q – 1) và giá trịa = b–1 mod φ(n) theo thuật tốn Euclide mở rộng. Nếu số nguyên n cĩ thểđược phân tích ra thừa số nguyên tố, tức là giá trịp và q cĩ thểđược xác định thì xem như tính an tồn của phương pháp RSA khơng cịn được bảo đảm nữa. Như vậy, tính an tồn của phương pháp RSA dựa trên cơ sở các máy tính tại thời
điểm hiện tại chưa đủ khả năng giải quyết việc phân tích các số nguyên rất lớn ra thừa số nguyên tố. Tuy nhiên, với sự phát triển ngày càng nhanh chĩng của máy tính cũng như những bước đột phá trong lĩnh vực tốn học, phương pháp RSA sẽ
gạp phải những khĩ khăn trong việc bảo mật thơng tin. Năm 1994, Peter Shor, một nhà khoa học tại phịng thí nghiệm AT&T, đã đưa ra một thuật tốn cĩ thể
phân tích một cách hiệu quả các số nguyên rất lớn trên máy tính lượng tử. Mặc dù máy tính lượng tử hiện chưa thể chế tạo được nhưng rõ ràng phương pháp RSA sẽ gặp phải nhiều thách thức lớn trong tương lai.