Bài toán cân bằng
2.2 Sự tồn tại nghiệm
Ta sẽ dùng hai định lý quen thuộc sau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
Định lí 2.2.1. (Định lý điểm bất động Kakutani)
ChoC là một tập lồi, compact, khác rỗng trong không gianHvà
F : C → 2C
là một ánh xạ (đa trị) nửa liên tục có ảnh lồi, compact (yếu). Khi đó,F có điểm bất động, tức là tồn tạix∗ ∈ C sao chox∈F (x).
Định lí 2.2.2. (Định lý cực đại của Berge)
ChoX, Y là các không gian tô pô vàF : X → 2Y là ánh xạ nửa liên tục trênX sao cho F(x) là compact, hơn nữa F(X) compact. Giả sửf : X ×X → R là hàm số nửa liên tục trênX. Khi đó:
i) Hàm giá trị tối ưu
g(x) = max{f(x, y) :y ∈F (x)}
nửa liên tục trên,
ii) Ánh xạ tập nghiệm tối ưu
S(x) ={y ∈F (x) :f (x, y) =g(x)}
nửa liên tục trên.
Mệnh đề 2.2.1. Cho C là một tập lồi, compact, khác rỗng và song hàm cân bằng
f : C×C → R∪ {+∞}có các tính chất: i) f (., y)nửa liên tục trên, với mọiy ∈C,
ii) f (x, .)lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trênC, với mọix ∈C.
Khi đó, bài toán(EP)có nghiệm.
Chứng minhVớix ∈C, ta kí hiệuS(x)là tập nghiệm của bài toán
min{f(x, y) : y ∈C}. (CO)
VìClà tập compact vàf (x, .)nửa liên tục dưới nên theo định lý Weistrass, bài toán có nghiệm.
VìC là tập lồi, compact vàf (x, .)lồi nênS(x)lồi, compact.
Theo định lý cực đại của Berge, ánh xạS :C → 2C là nửa liên tục trên.
Theo định lý điểm bất động Kakutani, tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãnx∗ ∈ S(x∗). Suy ra
x∗là nghiệm của bài toán(EP).
Thật vậy, dof (x, .)lồi, khả dưới vi phân trênC nên theo điều kiện cần và đủ tối ưu của quy hoạch lồi, ta có:
0∈∂2f (x∗, x∗) +NC(x∗)
0 =u∗+v∗,vớiu∗ ∈∂2f (x∗, x∗), v∗ ∈NC(x∗). Theo định nghĩa dưới đạo hàm của hàm lồi:
u∗ ∈∂2f(x∗, x∗) ⇔ hu∗, y−x∗i+f (x∗, x∗)6 f (x∗, y),∀y
hay
hu∗, y−x∗i6f (x∗, y),∀y.
Mặt khác, dou∗+v∗ = 0, nênu∗ =−v∗. Thay vào ta có: h−v∗, y−x∗i6f (x∗, y),∀y
Nhưng do v∗ ∈ NC(x∗) nênhv∗, y−x∗i 6 0,∀y ∈ C. Vậyf (x∗, y) > 0, với mọi
y ∈ C hayx∗là nghiệm của bài toán(EP).
Hệ quả 2.2.1. ChoClà tập lồi, đóng vàf : C×C →R∪ {+∞}là song hàm cân bằng thỏa mãn các tính chất trong Mệnh đề 2.2.1. Giả sử điều kiện bức sau đây thỏa mãn: Tồn tại tập compactW sao cho:
∀x ∈C\W,∃y ∈C : f (x, y) <0.
Khi đó, bài toán(EP)có nghiệm.
Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3. bài toán cân bằng trên tập compactC ∩W với hàm cân bằngf có nghiệm, nghĩa là tồn tạix∗ ∈C ∩W.
Từ điều kiện bức và tính lồi của tậpC, suy rax∗là nghiệm của bài toán(EP).
Định lí 2.2.3. Chof làβ - đơn điệu mạnh thỏa mãn: i) f (., y)là nửa liên tục dưới, với mọiy ∈ C,
ii) f (x, .)là đóng, lồi và khả dưới vi phân trênC, với mọix∈ C.
Chứng minh Giả sửC là tập không bị chặn. Khi đó, theo Hệ quả 2.2.1. ta chứng minh điều kiện bức: Tồn tại hình cầu đóngB :
∀x∈C\B,∃y ∈ C∩B : f(x, y) <0 (CO)
Thật vậy, nếu trái lại, với mỗi hình cầu đóng Br, tâm O, bán kính r luôn tồn tại
xr ∈C\Br sao chof (x, y) > 0, với mọiy ∈ C∩Br.
Cố địnhr0 > 0. Khi đó, với mỗi r > r0, tồn tạixr ∈ C\Br sao chof x, y0 > 0, với mọiy0 ∈ C∩Br. Do đó, từ giả thiếtf làβ - đơn điệu mạnh, ta có:
f y0, xr+βxr −y06 0,∀r. (1)
Mặt khác, doC là tập lồi vàf y0, .là lồi trênC, vớiεr = 1r, tồn tạix0 ∈C sao cho
∂εr
2 f y0, x0 6= ∅, trong đó∂εr
2 f y0, x0là εr−dưới đạo hàm của hàm lồi f y0, .
tạix0.
Lấy w∗ ∈∂εr
2 f y0, x0, theo định nghĩa của εr−dưới đạo hàm, vớiεr = 1r ta có:
f y0, xr+βxr −y0 2 +1 r > f y0, x0+w∗, xr−x0+βxr −y0 2 > f y0, x0− kw∗k xr−x0+βxr −y0 2 .
Chor → ∞, từkxk → ∞ta thu được
f y0, xr+βxr −y0
2
→ ∞.
Điều này mâu thuẫn với(1). Do đó điều kiện bức(CO) là đúng. Theo kết quả của Hệ quả 2.2.1., bài toán có nghiệm.
Trong trường hợpC bị chặn, mệnh đề trên là một hệ quả của định lý Ky Fan. Ta chỉ ra nghiệm là duy nhất.
Thật vậy, giả sử bài toán có hai nghiệm x, y thỏa mãn yêu cầu đề ra. Khi đó ta có:
f(x, y) > 0vàf(y, x) >0. Suy ra
f(x, y) +f(x, y) >0.
Màf làβ−đơn điệu mạnh nên
Do đó
kx−yk = 0.
Chương 3