Trong mục này, chúng ta nghiên cứu sự xuất hiện của số Catalan trong lý thuyết phân hoạch trong tổ hợp. Ta bắt đầu bằng việc giới thiệu ngắn gọn lý thuyết phân hoạch.
Định nghĩa 2.3.1. Một lớp các tập con Si của tập S được gọi là một
phân hoạch của S nếu:
1. Mỗi tập Si là khác rỗng;
2. Các tập con này rời nhau từng đôi, tức là Si∩ Sj = ∅ nếu i 6= j; 3. Hợp của tất cả các tập con Si là S, tức là [
i∈I
Si = S, trong đó I là tập chỉ số.
Mỗi tập con Si được gọi là một khối của phép phân hoạch.
Ví dụ, xét tập S = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Khi đó P = {{a},{b, e},{c},
{d, g, h},{f}} là một phân hoạch của S. Các tập con B1 = {a}, B2 =
{b, e}, B3 = {c}, B4 = {d, h, h} và B5 = {f} là các khối của phép phân hoạch. Để cho ngắn gọn, ta ký hiệu phép phân hoạch P bằng
a−be−c−dgh−f.
Định nghĩa 2.3.2. Phép phân hoạch π của tập S = {1,2, . . . , n} được gọi là phép phân hoạch không cắt nhau nếu các khối {B1, B2, . . . , Bk}
thỏa mãn nếu a < b < c < d và a, c ∈ Bi và b, d ∈ Bj, thì i = j.
Ví dụ 2.3.3. cho n = 8. Thì σ = 125−34−68−7 là một phép phân hoạch không cắt nhau. Nhưng τ = 125 −37 − 4 − 68 là cắt nhau, vì 3< 6< 7< 8, nhưng các khối {3,7} và {6,8} không trùng nhau.
Một điều thú vị là các phép phân hoạch không cắt nhau của tập
S = {1,2, . . . , n} có thể được biểu diễn bằng hình học. Xét một đường tròn với n điểm trên nó được đánh số theo thứ tự từ 1 tới n. Một phép phân hoạch không cắt nhau của S là phép phân hoạch sao cho bao lồi của các khối rời nhau từng đôi.
Ta xét lại Ví dụ 2.3.3 với n = 8. Khi đó σ là phép phân hoạch không cắt nhau của S = {1,2, . . . ,8} (xem Hình 2.16), trong khi τ là phép phân hoạch cắt nhau (xem Hình 2.17).
Tiếp theo chúng tôi trình bày hai ví dụ về sự xuất hiện của số Catalan trong lý thuyết phân hoạch không cắt nhau.
Hình 2.16: Một phép phân hoạch không cắt nhau của
S ={1,2, . . . ,8}
Hình 2.17: Một phép phân hoạch không phải là không cắt nhau của
S ={1,2, . . . ,8}
Ví dụ 2.3.4. Tìm số phân hoạch không cắt nhau của tập hợp S =
{1,2, . . . , n}.
Lời giải. Hình 2.18 liệt kê biểu diễn hình học tất cả các phép phân hoạch không cắt nhau có thể của tập S = {1,2, . . . , n}, trong đó 1 ≤ n ≤ 4. Bảng 2.1 dưới đây tóm tắt các phân hoạch không cắt nhau vừa tìm được. n Phép phân hoạch không cắt nhau Tổng 1 1 1 2 1−2 12 2 3 1−2−3 12−3 13−2 1−23 123 5 1−2−3−4 12−3−4 13−2−4 14−2−3 1−23−4 4 1−24−3 1−2−34 12−34 14−23 123−4 14 124−3 134−2 1−234 1234 Bảng 2.1
Ví dụ 2.3.5. Tìm số phân hoạch không cắt nhau của tậpS = {1,2, . . . , n}
thành n+ 1 khối sao cho hai phần tử khác nhau của cùng một khối sai khác nhau ít nhất là 3.
Lời giải. Hình 2.19 liệt kê tất cả các phân hoạch không cắt nhau của tập S = {1,2, . . . , n} thành n+ 1 khối sao cho hai phần tử khác nhau của cùng một khối sai khác nhau ít nhất là 3, trong đó 0≤ n ≤4. Bảng 2.2 tóm tắt các phép phân hoạch không cắt nhau vừa tìm được này.
n Phép phân hoạch không cắt nhau Tổng 0 1 1 1 1−2 1 2 1−2−3 14−2−3 2 3 1−2−3−4 14−2−3−5 15−2−3−4 1−25−3−4 16−25−3−4 5 1−2−3−4−5 14−2−3−5−6 15−2−3−4−6 16−2−3−4−5 1−25−3−4−6 1−26−3−4−5 4 1−2−36−4−5 16−25−3−4−7 17−26−3−4−5 14 17−2−36−4−5 17−25−3−4−6 1−27−36−4−5 147−2−3−5−6 18−27−36−4−5 Bảng 2.2
Năm 1996, bằng cách sử dụng hàm sinh, Martin Klazar thuộc trường Đại học Charles, Cộng hòa Séc, đã kiểm chứng được rằng số cách phân hoạch như vậy chính là Cn.
Hình 2.19
Ví dụ 2.3.6. Tìm số phân hoạch không cắt nhau của tập {1,2, . . . ,2n+ 1} thành n+ 1 khối sao cho không có khối nào chứa hai số nguyên liên tiếp.
Lời giải. Hình 2.20 liệt kê các phép phân hoạch không cắt nhau có thể với 0≤ n ≤4. Các dữ liệu được tổng hợp trong Bảng 2.3.
n Phép phân hoạch không cắt nhau Tổng 0 1 1 1 13−2 1 2 15−24−3 135−2−4 2 17−26−35−4 17−246−3−5 137−2−46−5 3 157−24−3−6 1357−2−4−6 5 19−28−37−46−5 19−28−357−4−6 19−248−3−57−6 19−268−35−4−7 139−2−48−57−6 159−24−3−68−7 4 179−26−35−4−8 179−246−3−5−8 139−2−468−5−7 14 19−2468−3−5−7 1579−24−3−6−8 1379−2−46−5−8 1359−2−4−68−7 13579−2−4−6−8 Bảng 2.3
Năm 1972, R. C. Mullin của Đại học Waterloo, Ontario, Canada, và R. G. Stanton của Đại học Manitoba, Winnipeg, Canada, thành lập một song ánh giữa tập các phân hoạch không cắt nhau như vậy và tập các cây có gốc có thứ tự với n+ 1 đỉnh Ví dụ 2.2.12.