2 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải một số đề thi học
2.4. Một vài dạng bài tập có thể vận dụng kiến thức xác suất để
xác suất để giải
Bài 1. (Thi Olympic Mỹ, 1972),[3]
Một người lựa chọn số ngẫu nhiên chỉ có thể lựa chọn một trong 9 số nguyên 1,2,3, ...,9 và xác suất lựa chọn các số này là như nhau. Xác định xác suất này sau n lần chọn (n > 1), sao cho tích của n số đã chọn chia hết cho 10.
Bài 2. (Promlem 8.3, 1999, [3])
Có 2000 quả cầu màu trắng chứa trong một hộp. Ta giả thiết thêm là có đủ số các quả cầu trắng, xanh, đỏ bên ngoài hộp để thực hiện được các động tác sau đây nhiều lần.
1) Thay hai quả cầu trắng bằng một quả cầu xanh.
2) Thay hai quả cầu đỏ bằng một quả cầu xanh.
3) Thay hai quả cầu xanh bằng một quả cầu trắng và một quả đỏ.
4) Thay một quả cầu trắng và một quả xanh bằng một quả cầu đỏ.
5) Thay một quả cầu xanh và một quả đỏ bằng một quả cầu trắng. a) Mỗi nước đi là một lần thực hiện một cách tùy ý một trong năm động tác kể trên. Giả sử rằng sau một số hữu hạn các nước đi, trng hộp đã cho còn lại ba quả cầu. Chứng minh rằng trong số ba quả cầu này phải có ít nhất một quả cầu xanh.
b) Có chiến lược nào để sau hữu hạn các nước đi, chỉ còn lại một quả cầu trong hộp?
Bài 3. (Promlem 11.3, 2001, [3])
Tại một quốc gia nọ, có 2001 thành phố mà mỗi thành phố được nối trực tiếp với ít nhất 1600 thành phố khác bằng những con đường xe buýt. Tìm số n lớn nhất sao cho có n thành phố thỏa mãn: bất kì hai thành phố nào trng chúng cũng được nối trực tiếp với nhau bằng một con đường xe buýt.
Bài 4. (Olympic Bulgari, Vòng 3, 1996, [3])
Chia hình chũ nhật kích thước m×n(n >1, m >1) thành mn ô vuông 1÷ 1 bằng những đường thẳng song song với các cạnh. Ta tìm cách hủy đi hai ô vuông, sau đó lấp đầy các ô còn lại của hình chữ nhật bằng các quân cờ domino 2×1. Hỏi có bao nhiêu cách như thế? (Ta hiểu quân cờ dpmino 2×1 là hình gồm hai ô trắng và đen.)
Bài 5. (Olympic Bulgari, Vòng 4, 1997, [3])
Gọi X là tập hợp gồm n + 1 phần tử, với n ≥ 2. Ta gọi n-bộ là một bộ có thứ tự gồm n số (a1, a2, ..., an) được thành lập từ các phần tử khác
nhau của X. Hai bộ n-bộ (a1, a2, ..., an) và (b1, b2, ..., bn) được gọi là "khớp nhau" nếu tồn tại hai chỉ số phân biệt i, j sao choai =bj. Tìm số lớn nhất các n-bộ sao cho hai n-bộ bất kì trng chúng đều khớp nhau.
Bài 6. (Olympic Bulgari, Vòng 4, 1998, [3])
Các cạnh và đường chéo của một n-giác đều X được tô bằng k màu sao cho:
(i) Với mỗi màu a và hai đỉnh bất kì A, B của X thì hoặc là đoạn AB sẽ được tô màu a, hoặc là phải tồn tại một đỉnh C sao cho AC và BC cùng được tô màu a;
(ii) Ba cạnh của mọi tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh nằm trong số các đỉnh của X đều được tô màu bằng nhiều nhất là hai màu.
Kết luận và kiến nghị
Luận văn "Vận dụng phương pháp xác suất vào giải một số đề thi học sinh giỏi" đã trình bày những vấn đề sau:
• Trình bày ý tưởng của phương pháp xác suất dựa trên các tài liệu [6],[7].
• Sưu tầm các bài toán và vận dụng phương pháp xác suất vào giải được 28 bài toán dành cho học sinh giỏi, đề thi chọn hsg trong nước và quốc tế đã có trrong các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].
• Trình bày lời giải chi tiết, đầy đủ cho 6 bài toán mà trong các tài liệu tham khảo chỉ có lời giải tóm tắt hoặc gợi ý.
Trong quá trình làm luận văn, không thể tránh được những thiếu sót, tác giả rất mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các Thầy, Cô giáo để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn và tiếp tục tìm hiểu khi trở về trường giảng dạy sau này.
Tài liệu tham khảo
A. Tiếng Việt
[1] Tủ sách Toán học và Tuổi trẻ (2009), Tuyển tập 45 năm Tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam.
[2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008), Hình học và một số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Nho (2013), Tuyển tập Olympic toán học tại các nước Đông Âu, NXB Đại học Quốc gia.
[4] Nguyễn Văn Nho, Lê Hoàng Phò (2013), Tuyển tập Olympic toán học tại các nước Châu Á- Thái Bình Dương, NXB Đại học Quốc gia. [5] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), Tuyển tập 40 năm Olympic
Toán học quốc tế, NXB Giáo dục. B. Tiếng Anh
[6] Law Ka Ho (2010),Probabilistic Method, Mathematical Excalibur, Vol 14, No3.
[7] Jiˇrí Matouˇsek, Jan Vondrák, The Probabilistic Method (Lecture Notes). Department of Applied Mathematics Charles University. Czech Republic.