Giả sử đã biết nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (1.26) là:
y C y1 1 C y2 2 (1.28) Trong đó C C1, 2 là hai hằng số tùy ý. Bây giờ xem C C1, 2 là hai hàm số, ta tìm ,
' ' ' ' ' 1 1 2 2 1 1 2 2.
y C y C y C y C y
Chọn C C1, 2 sao cho: C y1 1' C y2 2' 0. Khi đó:
' ' '
1 1 2 2
y C y C y ; y'' C y1 1'' C y2 2'' C y1 1' ' C y2 2' '.
Thế vào phương trình (1.25), ta được:
'' ' '' ' ' ' ' '
1 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 1 2 2 ( ).
C y p x y q x y C y p x y q x y C y C y f x
Vì y y1, 2 là hai nghiệm của phương trình thuần nhất (1.26) nên các biểu thức trong dấu ngoặc của vế trái bằng không, ta được:
' ' ' '
1 1 2 2 ( ).
C y C y f x
Vậy hàm số (1.28) là nghiệm của phương trình (1.26) nếu C C1, 2 thỏa mãn hệ phương trình: ' ' 1 1 2 2 ' ' ' ' 1 1 2 2 0 ( ). C y C y C y C y f x (1.29)
Định thức của hệ phương trình ấy chính là định thức Wronsky của hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (1.26), nó luôn khác 0. Vì vậy hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất. Giả sử C1' 1( ),x C2' 2( )x . Lấy tích phân, ta được:
1 1( ) 1, 2 2( ) 2
C x K C x K , trong đó 1( )x là một nguyên hàm của
1( )x
, 2( )x là một nguyên hàm của 2( )x ; K K1, 2 là hai hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.25) là :
1 1 2 2 1( ). 1 2( ). .2