hội tụ mạnh về một không điểm của A, đồng thời là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân VI∗(I −f, C).
2.2. Ví dụ số minh họa
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một ví dụ nhằm minh họa thêm cho tính đúng đắn của các phương pháp lặp được trình bày ở trên.
Ví dụ 2.1. Xét bài toán tìm một phần tử x∗ ∈ S = argminx∈R3g(x), ở đây g
được xác định bởi g(x) =hAx, xi+hB, xi+C, với A= 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 , B =−4 −4 4 , C là các hằng số tùy ý.
Ta có 52g = 2A. Do A là ma trận nửa xác định dương nên g là hàm lồi trên
R3. Ngoài ra, vì g là hàm chính thường, liên tục trong R3, nên ∂g là toán tử đơn điệu cực đại. Như vậy, bài toán trên tương đương với bài toán sau:
Tìm một phần tử
x∗ ∈ R3 = (∂g)−106=∅.
Dễ dàng kiểm tra được tập nghiệm của bài toán là
S = {(x1, x2, x3) ∈R3 : x1 +x2−x3 = 2}.
- Nếu f(x) = x
2 là một ánh xạ co và F(x) = 3
4x với mọi x ∈ R3 là ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số 3
4, 1 2-giả co chặt, đồng thời chọn λn = n −5/6, µn = 1, αn = 1 4 + 1 2n, βn = n
−2/3 và rn = 1 với mọi n ≥ 1, thì dãy {xn} xác định bởi (2.6) trong Định lý 2.2, hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất p ∈ C của bất đẳng thức biến phân V I(I −f, C), tức là
1
2hp, p−ui ≤0, ∀u∈ C. (2.22)
Giả sử p = (p1, p2, p1 +p2−2) ∈ C. Khi đó, p thỏa mãn bất đẳng thức (2.22) khi và chỉ khi
p1(p1 −a) +p2(p2−b) + (p1+p2−2)(p1+p2−a−b) ≤ 0,
với mọi a, b∈ R.
Bất đẳng thức trên tương đương với
(−2p1−p2+ 2)a+ (−p1−2p2+ 2)b+p21+p22+ (p1+p2)2−2(p1+p2) ≤ 0, (2.23)
với mọi a, b∈ R.
Bất đẳng thức (2.23), tương đương với
2p1+p2 = 2 p1+ 2p2 = 2 p21+p22 + (p1+p2)2−2(p1+p2) ≤0. (2.24)
Chú ý 2.3. Ta viết bất đẳng thức (2.22) ở dạng tương đương sau:
h0−p, u−pi ≤0, ∀u∈ C.
Do đó, từ tính chất đặc trưng của phép chiếu mêtric1, suy ra p=PC0, hay p là phần tử trong C có chuẩn nhỏ nhất.
Dưới đây là hình vẽ mô tả kết quả tính toán trên máy tính, sau 500 bước lặp, với x0 = (−2, 3, 5), nhằm minh họa thêm cho kết luận trên.
Hình 2.1: x500 = (0.658092, 0.658092, −0.658092)
- Nếu f(x) = v, với v = (−2,0,−1), là một ánh xạ co và F(x) = 3
4x với mọi
x ∈ R3 là ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số 3
4, 1 2-giả co chặt, đồng thời chọn λn = n−5/6, µn = 1, αn = 1 4 + 1 2n, βn = n −2/3 và rn = 1 với mọi n ≥ 1, thì dãy{xn}xác định bởi (2.6) trong Định lý 2.2, hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất
p∈C của bất đẳng thức biến phân V I(I −f, C), tức là
hp−v, p−ui ≤0, ∀u ∈C. (2.25)
1ChoC là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Ánh xạPC: H −→C
là phép chiếu mêtric từH lênC khi và chỉ khi
Từ đặc trưng của phép chiếu mêtric, suy ra p=PCv, hay p là phần tử trong C
gần v nhất. Do đó, dễ dàng kiểm tra được p= (−1, 1, −2).
Dưới đây là hình vẽ mô tả kết quả tính toán trên máy tính sau 5×106 bước lặp, với x0 = (1, 1, 1), nhằm minh họa thêm cho kết luận trên.
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại có hệ thống về phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhất tìm không điểm của một toán tửm-j-đơn điệu trong không gian Banach trong tài liệu [6]. Cụ thể là:
• Trình bày lại một cách có hệ thống về: không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach cùng với một số tính chất quan trọng của nó; phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và phương pháp đường dốc nhất cho bài toán cực tiểu một phiếm hàm khả vi trong không gian hữu hạn chiều
Rn; phương pháp điểm gần kề và một số cải tiến của nó;
• Trình bày lại các Định lý 3.1 và Định lý 3.2 trong tài liệu [6] của các tác giả Ceng L.C., Ansari Q. H. và Yao J. C., cho bài toán xác định không điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach trơn đều.
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Alber Ya. I. (2007), "On the stability of iterative approximations to fixed points of nonexpansive mappings", J. Math. Anal. Appl., 328, pp. 958-971. [3] Barbu V. (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Ba-
nach Spaces, Noordhoff, Leiden, The Netherlands.
[4] Bauschke H. H., Matousková E., Reich S. (2004), "Projection and proximal point methods: convergence results and counterexamples",Nonlinear Anal., 56, pp. 715-738.
[5] Browder F.E., Petryshyn W.V. (1967), "Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space", J. Math. Anal. Appl., 20, pp. 197- 228.
[6] Ceng L. C., Ansari Q. H. and Yao J. C. (2008), "Mann-type steepest descent and modified hybrid steepest-descent methods for variational inequalities in Banach spaces", eNumerical Functional Analysis and Optimization, 29(9- 10), pp. 987-1033.
[7] Ceng L. C., Khan A. R., Ansari Q. H., and Yao J. C. (2009), "Strong con- vergence of composite iterative schemes for zeros of m-accretive operators in Banach spaces", Nonlinear Analysis, 70(5), pp. 1830-1840.
[8] Ceng L.C., Ansari Q.H, Schaible S. và Yao J.C (2012), "Hybrid viscosity approximation method for zeros ofm-accretive operators in Banach spaces",
Numerical Functional Analysis and Optimization, 33(2), pp. 142-165. [9] R. D. Chen, Z. C. Zhu (2008), "Viscosity approximation method for accre-
tive operator in Banach space", Nonlinear Analysis, 69, pp. 1356-1363. [10] J. Diestel,Geometry of Banach space-Selected topics, Springer-Verlag, 1970. [11] Goebel K., Kirk W. A. (1990), Topics in Metric Fixed Point The-
ory,Cambridge University Press, Cambridge.
[12] Guler O. (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for.. convex minimization", SIAM Journal on Control and Optimization, 29(2), pp. 403-419, .
[13] Hundal H. (2004), "An alternating projection that does not converge in norm" Nonl. Anal. TMA, 57(1), pp. 35-61.
[14] Martinet B. (1970), "R´egularisation d’in´equation variationnelles par ap- proximations successives", Rev. Franc. Informat. Rech. Op´er., 4, pp. 154- 159.
[15] Moudafi A. (2000), "Vicosity approximation methods for fixed point prob- lems", J. Math. Anal. Appl., 241, pp. 45-55.
[16] Rockafellar R. T. (1970), "On the maximal monotonicity of subdifferential mappings", Pacific J. Math., 33, pp. 209-216.
[17] Rockaffelar R. T. (1976), "Monotone operators and proximal point algo- rithm". SIAM J. Contr. Optim., 14:887-897.
[18] Xu H.-K. (2006), "Strong convergence of an iterative method for nonexpan- sive and accretive operators", J. Math. Anal. Appl., 314(2), pp. 631-643.
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin trường, Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thông Gang Thép, cũng như toàn thể các đồng nghiệp, đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu.
Mục lục
Một số ký hiệu và viết tắt iii
Mở đầu 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán tử j-đơn điệu . 3 1.1.1. Không gian Banach trơn . . . 3 1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . 6 1.1.3. Toán tử j-đơn điệu . . . 8 1.2. Giới hạn Banach . . . 10 1.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc cho bài
toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . 14 1.3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết . . . 14 1.3.2. Phương pháp đường dốc . . . 15 1.4. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của
toán tử đơn điệu và một số cải tiến . . . 17 1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . 19
Chương 2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21
2.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu . . . 21 2.2. Ví dụ số minh họa . . . 36
Một số ký hiệu và viết tắt
E không gian Banach
E∗ không gian đối ngẫu của E
R tập hợp các số thực
R+ tập các số thực không âm
infM cận dưới đúng của tập hợp số M
supM cận trên đúng của tập hợp số M
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền ảnh của toán tử A
I toán tử đồng nhất
lim sup
n→∞
xn giới hạn trên của dãy số {xn}
xn −→ x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0
xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0
J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
ρE(τ) mô đun trơn của không gian Banach E
F ix(T) hoặc F(T) tập điểm bất động của ánh xạ T
∂f dưới vi phân của hàm lồi f
M bao đóng của tập hợp M
Mở đầu
ChoH là một không gian Hilbert, bài toán xác định không điểm của lớp toán tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆H có vai trò quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến và lĩnh vực tối ưu hóa. Chẳng hạn, nếu f : H −→ R∪ {+∞}
là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới thì toán tử dưới vi phân ∂f :
H −→ 2H xác định bởi∂f(x0) ={u ∈H : f(x)−f(x0) ≥ hu, x−x0i, ∀x ∈H}
là một toán tử đơn điệu cực đại [16]. Ta biết rằng điểm x ∈ H làm cực tiểu phiếm hàm lồi f khi và chỉ khi θ ∈∂f(x). Như vậy, bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồif ở trên tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại ∂f. Bài toán này đã được nghiên cứu và mở rộng cho các bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu hay toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach.
Ta biết rằng, nếu T : D(T) ⊆ E −→ 2E là một ánh xạ không giãn, thì
A= I −T là một toán tử j-đơn điệu, ở đây I là toán tử đồng nhất trên E. Do đó, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T có thể đưa về bài toán xác định không điểm của toán tửj-đơn điệu A =I−T. Ngược lại, nếuA là một toán tử j-đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền, tức là D(A) ⊂ ∩λ>0R(I +λA), thì bài toán xác định không điểm củaA tương đương với bài toán tìm điểm bất động của toán tử giải Jr = (I +rA)−1 với mỗi r > 0. Do đó, vấn đề nghiên cứu và tìm các phương pháp tìm không điểm của một toán tử kiểu đơn điệu mang nhiều ý nghĩa quan trọng và thu hút sự quan tâm của đông đảo người làm toán trong và ngoài nước.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống kết quả của Ceng L.C., Ansari Q. H. và Yao J. C. trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không
điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach. Luận văn được chia làm hai chương chính:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi đề cập đến khái niệm không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach; phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc nhất. Ngoài ra chương này còn trình bày về phương pháp điểm gần kề và một số cải tiến của nó cho bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu.
Chương 2. Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép
Chương này, chúng tôi trình bày lại các kết quả của Ceng L.C., Ansari Q. H. và Yao J. C. trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach. Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựng một ví dụ số và chạy thử nghiệm trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach trơn đều và toán tử j-đơn điệu. Mục 1.2 trình bày về giới hạn Banach và một số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày các nội dung của chương 2. Mục 1.3 giới thiệu sơ lược về phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc nhất cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.4 đề cập đến phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu và một số cải tiến của nó. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng trong chứng minh các định lý ở chương sau của luận văn.
1.1. Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán
tử j-đơn điệu
1.1.1. Không gian Banach trơn
Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ.
Định nghĩa 1.1. Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tửx∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E∗∗ củaE, đều tồn tại phần tử x thuộc E sao cho
hx, x∗i=hx∗, x∗∗ivới mọi x∗ ∈E.
Chú ý 1.1. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx, x∗iđể chỉ giá trị của phiếm hàm x∗ ∈E∗ tại x∈ E.
Mệnh đề 1.1. [1] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
i) E là không gian phản xạ.
ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn.
Mệnh đề 1.2. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn} ⊂ C
sao cho xn * x, nhưng x /∈ C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X∗
tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε >0 sao cho
hy, x∗i ≤ hx, x∗i −ε,
với mọi y ∈C. Đặc biệt, ta có
hxn, x∗i ≤ hx, x∗i −ε,
với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn, x∗i → hx, x∗i. Do đó, trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được
hx, x∗i ≤ hx, x∗i −ε,
điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu. Mệnh đề được chứng minh.
Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng.
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của một phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản xạ.
Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E và f : C −→ (−∞,∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên C, sao cho f(xn) → ∞ khi kxnk → ∞. Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f)
sao cho
f(x0) = inf{f(x) : x∈C}.
Chứng minh. Đặt m = inf{f(x) : x ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ C sao cho f(xn) → m khi n → ∞. Nếu {xn} không bị chặn, thì tồn tại một dãy con
{xnk} của {xn} sao cho kxnkk → ∞. Theo giả thiết, f(xnk) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞. Do đó, {xn} bị chặn. Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tại dãy con {xnj} của {xn} sao cho xnj * x0 ∈ C. Vì f là nửa liên tục dưới trong