2 Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp
Sau đây, chúng tôi trình bày sự hội tụ của lưới {xt} được định nghĩa bởi (2.1).
Định lí 2.1.1. Với t→ 0+lưới{xt}được định nghĩa bởi(2.1)hội tụ mạnh đến một điểmx∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
x∗ ∈ C ∩ A−1(Q) sao cho hσf (x∗)−Bx∗,x˜−x∗i ≤ 0 (2.2)
∀x˜∈ C ∩A−1(Q).
Chứng minh. Lấyx˜là một điểm bất kì thuộcC ∩A−1(Q). Xét tậpU = I −γA∗(I −PQ)A.Ta viết lại (2.1) như sau:
xt = PC[tσf(xt) + (I −tB)U xt], t ∈ 0, 1 α−σκ .
Theo đó ta có: ||xt −x||˜ = ||PC[tσf(xt) + (I −tB)U xt]−x||˜ ≤ ||tσ(f (xt)−f (˜x)) + (I −tB) (U xt −x˜) +t(σf (˜x)−Bx˜)|| ≤ tσ||f (xt)−f (˜x)||+||I −tB|| ||U xt −x||˜ +t||σf (˜x)−Bx||˜ ≤ tσκ||xt −x||˜ + (1−tα)||xt −x||˜ +t||σf (˜x)−Bx||˜ = [1−(α −σκ)t]||xt −x||˜ +t||σf (˜x)−Bx||.˜ Do đó: ||xt −x|| ≤˜ 1 α −σκ||σf (˜x)−Bx||.˜
Khi đó,{xt} là giới nội và{f (xt)},{U xt}và{BU xt}cũng là giới nội. Từ (2.1) ta có: ||xt −PC[U xt]|| = ||PC[tσf(xt) + (I −tB)U xt]−PC[U xt]|| ≤ t||σf(xt)−BU xt||. Dẫn đến: lim t→0||xt −PC[U xt]||. (2.3) Tiếp theo, chúng tôi xin trình bày việc chứng minh {xt} là compắc định chuẩn tương đối khit→ 0+. Giả thiết rằng{tn} ⊂ 0,α−1σκvớitn →0+ khin → ∞. Đặtxn = xtn. Từ (2.3) ta có
lim
n→∞||xn−PC[U xn]|| = 0. (2.4) Đặt yt = tσf(xt) + (I −tB)U xt, theo đó ta có xt = PC[yt], với mỗi ˜
x ∈ C ∩A−1(Q) thì:
xt −x˜ = xt −yt +yt −x˜ = xt −yt +tσ(f (xt)−f (˜x))
Bằng cách sử dụng tính chất (1.11) của phép chiếu mêtric, ta có: hxt −yt, xt −xi ≤˜ 0. (2.6) Kết hợp (2.5) và (2.6), ta được ||xt −x||˜ = hxt −yt, xt −xi˜ +tσhf(xt)−f(˜x), xt −xi˜ +h(I −tB) (U xt −x˜), xt −xi˜ ≤ tσ||f(xt)−f(˜x)|| ||xt −x||˜ +||I −tB|| ||U xt −x|| ||x˜ t −x||˜ +thσf(˜x)−Bx, x˜ t −xi˜ ≤ tσκ||xt −x||˜ 2 + (1−αt)||xt −x||˜ 2 +thσf(˜x)−Bx, x˜ t −xi˜ = [1−(α −σκ)t]||xt −x||˜ 2 +thσf(˜x)−Bx, x˜ t −xi˜ . Vì vậy: ||xt −x||˜ 2 ≤ 1 α −σκhσf(˜x)−Bx, x˜ t −xi˜ . Đặc biệt: ||xn−x||˜ 2 ≤ 1 α −σκhσf(˜x)−Bx, x˜ n −xi˜ ,x˜ ∈ C ∩ A−1(Q). (2.7) Vì{xn}là giới nội nên tồn tại một dãy con {xni} của{xn}hội tụ yếu đến một điểm {x∗}. Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng {xn}
hội tụ yếu đến {x∗}. Chú ý (2.4) có thể sử dụng Bổ đề 1.2.1 để nhận được
x∗ ∈ C ∩ A−1(Q). Khi đó, ta có thể thay x∗ cho x˜ trong (2.7) để nhận được
||xn −x∗||2 ≤ 1
α−σκhσf(x∗)−Bx∗, xn−x∗i.
Sau đó, từ xn * x∗ kéo theo xn → x∗. Điều này đã chứng minh tính compắc tương đối của lưới{xt}với t → 0 + .Khi n → ∞trong (2.7), ta
có
||x∗ −x||˜ 2 ≤ 1
α−σκhσf(˜x)−Bx, x˜ ∗ −xi˜ , x˜∈ C ∩A−1(Q).
Điều này kéo theo rằngx∗ ∈ Ω xác định bởi bất đẳng thức biến phân
hσf(˜x)−Bx,˜ x˜−x∗i ≤ 0, x˜ ∈ C ∩A−1(Q). (2.8) Nhờ Bổ đề 1.2.2, (2.8) tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu
hσf(x∗)−Bx∗,x˜−x∗i ≤ 0, ∀x˜∈ C ∩A−1(Q).
Đây chính là (2.2). Theo tính duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.2) ta suy ra rằng mỗi điểm hội tụ của tập {xt} khi (t →0+) bằng x∗. Do đóxt → x∗.Điều này kết thúc chứng minh.
LấyB = I trong (2.1) ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.2. Với t→ 0+, lưới{xt}được xác định bởi
xt = PC[tσf(xt) + (1−t) (I −γA∗(I −PQ)A)xt], (2.9)
t∈ 0,1−1σκ
hội tụ đến một điểmx∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau
x∗ ∈ C ∩A−1(Q)thìhσf(x∗)−x∗,x˜−x∗i ≤ 0, (2.10)
∀x˜∈ C ∩A−1(Q).
Lấyf = 0trong (2.9) ta có hệ quả sau
Hệ quả 2.1.3. Với t→ 0+lưới{xt}được định nghĩa bởi
xt = PC[(1−t) (I −γA∗(I −PQ)A)xt], t ∈ (0,1) (2.11)
hội tụ đến một điểm x∗ là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách(1.8).
Chứng minh. Nếu lấy f = 0,thì (2.9) rút gọn thành (2.11). Vì vậy,xt → x∗ ∈ C ∩A−1(Q) mà thỏa mãn
h−x∗,x˜−x∗i ≤ 0,∀x˜∈ C ∩A−1(Q).
Vì thế,
||x∗||2 ≤ h−x∗,xi ≤ ||x˜ ∗|| ||x||˜ ∀x˜∈ C ∩A−1(Q).
Do vậy mà kéo theo rằng ||x∗|| ≤ ||x||˜ với mọi x˜ ∈ C ∩ A−1(Q). Điều đó nghĩa làx∗ là nghiệm chuẩn cực tiểu của bài toán chấp nhận tách (1.8). Điều này kết thúc chứng minh.