vành đa thức nhiều biến
Trong tiết này chúng ta vận dụng các kết quả để xây dựng một lớp các iđêan nguyên tố trong vành đa thức nhiều biến.
Định lý 2.5.1. Nếu m, n là hai số nguyên dương, thì iđêan
J = (y −xn, z−xm)
là iđêan nguyên tố trong vành đa thức R[x, y, z]. Chứng minh. Xét ánh xạ
ϕ :R[x, y, z] →R[t, tn, tm]
cho bởi ϕ(x) = t, ϕ(y) = tn, ϕ(z) = tm. Khi đó ϕ là toàn cấu vành, tức Imϕ = R[t, tn, tm]. Ta xác định Kerϕ. Vì ϕ(y − xn) = tn − tn = 0 và
ϕ(z −xm) = tm −tm = 0 nên y−xn ∈ Kerϕ và z−xm ∈ Kerϕ. Do đó
J = (y− xn, z−xm) ⊆ Kerϕ. Ngược lại, cho f ∈ Kerϕ. Với mỗi bộ ba
số tự nhiên i, j, k ≥ 0 ta có
xiyjzk = xi(y−xn+xn)0(z−xm+xm)k = (y −xn)g+ (z −xm)h+xi+nj+mk
trong đó g ∈ R[x, y, z] và h ∈ R[x, y, z]. Chú ý rằng f là tổng của hữu
hạn từ có dạng aijkxiyjzk với aijk ∈ R, nên ta có thể biểu diễn f dưới dạng
trong đó g1, h1 ∈ R[x, y, z] và q(x) ∈ R[x]. Vì f ∈ Kerϕ nên
f(t, tn, tm) = 0,∀t ∈R.
Suy ra q(t) = 0,∀t ∈ R. Chú ý rằng q(x) là đa thức một biến với hệ số
trên trường thực, do đó nếu q(x)6= 0 thì số nghiệm của q(x) không vượt
quá bậc của q(x), điều này không thể xảy ra. Vì thế q(x) = 0. Suy ra
f(x, y, z) = (y −xn)g1+ (z−xm)h1 ∈ J.
Vậy Kerϕ = J. Theo Định lý đồng cấu vành ta có
R[x, y, z] Kerϕ = R[x, y, z] J ∼ = Imϕ = R[t, tn, tm]
Vì R[t, tn, tm] là vành con của vành R[t] nên R[t, tn, tm] là miền nguyên.
Do đó , từ đẳng cấu trên, ta suy ra J là iđêan nguyên tố.
Hệ quả 2.5.2. Trong không gian AffineR3, tập X = {(t, tn, tm) |t ∈ R} là một tập đại số bất khả quy với mọi cặp số nguyên dương m, n.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh X là tập đại số. Để chỉ ra điều
này, ta chỉ cần chứng tỏ X = Z(J), trong đó J = (y− xn, z−xm). Rõ
ràng X ⊆ Z(J). Ngược lại, cho (a, b, c) ∈ Z(J). Khi đó b− an = 0 và
c−am = 0. Suy ra b= an, c = am. Do đó (a, b, c) = (a, an, am)∈ X. Vậy
X = Z(J) là tập đại số. Ta có I(X) là tập các đa thức của R[x, y, z]
triệt tiêu trên X, do đóI(X) =Kerϕ. Suy ra I(X) =J là iđêan nguyên
Kết luận
Mục đích của luận văn là trình bày một số vấn đề cơ bản về tập đại
số trong Kn (tức là tập nghiệm của một họ đa thức n biến trên một
trường K). Các nội dung chính của luận văn
(1) Trình bày khái niệm, ví dụ và một số tính chất cơ sở về tập đại số và iđêan định nghĩa của tập đại số; Chứng minh Định lí cơ sở Hilbert (Định lí 1.3.3) và ứng dụng để quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của một họ gồm hữu hạn đa thức (Hệ quả 1.3.4).
(2) Chứng minh Định lí không điểm của Hilbert (Định lí 2.1.11) và ứng dụng để thiết lập các song ánh bảo toàn ngược quan hệ bao hàm
giữa các tập đại số trong Kn và các iđêan căn trong vành đa thức
K[x1, . . . , xn] (Định lí 2.2.4).
(3) Trình bày các khái niệm và tính chất cơ sở của tập đại số bất khả quy; Định lí phân tích duy nhất một tập đại số thành hợp của hữu hạn tập đại số bất khả quy (các Định lí 2.3.6, 2.3.8); ứng dụng Định lí không điểm Hilbert để thiết lập các song ánh bảo toàn ngược quan hệ
bao hàm giữa các tập đại số bất khả quy trong Kn và các iđêan nguyên
tố trong vành đa thức K[x1, . . . , xn] (Định lí 2.3.10).
(4) Ứng dụng các kết quả đã biết để xây dựng một lớp các đa thức
trong vành đa thức hai biếnR[x, y] là bất khả quy (Định lí 2.4.5) và một
lớp các iđêan trong vành đa thức 3 biến R[x, y, z] là nguyên tố (Định lí