Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân ba cấp
2.1. Phát biểu bài toán
Một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp quan trọng và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, vật lý, y học hay kinh tế ... là bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Xét bài toán dưới đây:
Bài toán 2.1. Cho A : H −→ H là một toán tử đơn điệu, liên tục và cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn. Tìm phần tử x∗ ∈V I(F ix(T), A), tức là x∗ thỏa mãn
hAx∗, v−x∗i ≥0, ∀v ∈F ix(T).
Năm 2001, Yamada I.[10] đã đề xuất phương pháp đường dốc nhất để giải Bài toán 2.1 cho trường hợp A là toán tử Lipschitz và đơn điệu mạnh. Kết quả của Yamada được cho bởi định lý dưới đây:
đó với u0 ∈H, µ ∈(0, 2η
L2) và dãy {λn} ⊂ (0,1] thỏa mãn các điều kiện:
(L1) limn→∞λn = 0, (L2) Σ∞n=1λn =∞, (L3) limn→∞λn −λn+1 λ2n+1 = 0, thì dãy {un} xác định bởi un+1 :=T(λn+1)un := T un −λn+1µA(T un) (2.1)
hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất u∗ của VIP(F ix(T), A).
Hơn nữa, Yamada I. cũng đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp tập điểm bất động F ix(T) của ánh xạ không giãn T được thay bằng tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn. Kết quả này được thể hiện trong định lý dưới đây:
Định lí 2.2. [10] Cho Ti : H −→ H (i = 1, ..., N) là các ánh xạ không giãn với F:= ∩N
i=1F ix(Ti) 6=∅ và
F =F ix(TN...T1) =F ix(T1TN...T3T2) =...=F ix(TN−1TN−2...T1TN). (2.2)
Giả sử rằng một ánh xạ F : H −→ H là L-Lipchitz và η-đơn điệu mạnh trên
∆ := ∪N i=1Ti(H). Khi đó, với bất kì u0 ∈ H, bất kì µ ∈ (0, 2η L2) và bất kì dãy {λn} ⊂[0,1] thỏa mãn (B1) limn→+∞λn = 0, (B2) Σ∞n=1λn = +∞, (B3) Σ∞n=1 | λn−λn+N |<+∞. Dãy {un} xác định bởi un+1 := T(λn+1) [n+1] (un) :=T[n+1](un)−λn+1µF(T[n+1](un)), (2.3)
hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của VIP(F,F), tức là u∗ ∈ F sao cho
hv −u∗, F(u∗)i ≥ 0 với mọi v ∈ F, trong đó [.] là modulo N xác định bởi
Gần đây lớp các bất đẳng thức biến phân ba cấp cũng đang thu hút đông đảo người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Bài toán 2.2. Giả sử
(A1) A1 : H −→H là toán tử α-ngược đơn điệu mạnh;
(A2) A2 : H −→H là toán tử η-đơn điệu mạnh và κ-Lipschitz; (A3) T : H −→H là một ánh xạ không giãn với F ix(T) 6=∅; (A4) V I(F ix(T), A1) 6=∅.
Tìm phần tử x∗ ∈V I(V I(F ix(T), A1), A2), tức là tìm phần tử x∗ sao cho
hA2x∗, v−x∗i ≥ 0, ∀v ∈V I(V I(F ix(T), A1).
Nhận xét 2.1. Nếu A2x= 0 với mọix∈ H thì Bài toán 2.2 trở về bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bài toán 2.1).
Bài toán 2.2, cũng đã được mở rộng cho trường hợp tập điểm bất độngF ix(T)
được thay bằng tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn. Bài toán này được phát biểu như sau:
Bài toán 2.3. Giả sử
(A1) A1 : H −→H là toán tử α-ngược đơn điệu mạnh;
(A2) A2 : H −→H là toán tử η-đơn điệu mạnh và κ-Lipschitz; (A3) Ti : H −→ H, i = 1,2, ..., N là các ánh xạ không giãn với∩N
i=1F ix(Ti) 6=∅; (A4) ∩N i=1V I(F ix(Ti), A1) 6=∅. Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N i=1V I(V I(F ix(Ti), A1), A2), tức là tìm phần tử x∗ sao cho hA2x∗, v−x∗i ≥0, ∀v ∈ ∩Ni=1V I(F ix(Ti), A1).
Trong phạm vi của luận văn, chúng tôi chỉ đền cập đến kết quả của Ceng và các cộng sự trong tài liệu [4] về sự kết hợp của các phương pháp lặp Mann,