Vào năm 1975, M.S.Klamkin đã thiết lập định lý sau đây
Định lý 2.5.1. (Định lý Klamkin). Cho ABC là một tam giác tùy ý với độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và P là điểm bất kỳ trong mặt phẳng Π chứa tam giác ABC. Với các số thực x, y, z ta có (x+y+z)(xP A2+yP B2+zP C2)≥yza2+zxb2+xyc2. (2.7) Chứng minh. Ta có x−→ P A+y−−→ P B+z−→ P C ≥0 ⇔(x2P A2+y2P B2+z2P C2) + (2xy−→ P A.−−→ P B+ 2yz−−→ P B.−→ P C+ 2zx−→ P C.−→ P A)≥0. Theo Định lý hàm số Cosine, ta có 2−→ P A−−→ P B = 2P A.P Bcos(−→ P A−−→ P B) =P A2+P B2−c2 2−−→ P B−→ P C = 2P B.P Ccos(−−→ P B−→ P C) =P B2+P C2−a2 2−→ P C−→ P A= 2P C.P Acos(−→ P C−→ P A) = P C2+P A2−b2.
Thay các đẳng thức trên vào (2.7) ta thu được bất đẳng thức
(x+y+z)(xP A2+yP B2+zP C2)≥yza2+zxb2+xyc2.
Đẳng thức trong (2.7) xảy ra khi và chỉ khi x−→
P A+y−−→
P B+z−→
P C =−→
0 tức là P là tâm tỷ cự của hệ điểm {A, B, C}.
2.5.2 Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin
Mệnh đề 2.5.2. Trong tam giác ABC với G là trọng tâm, ta có các bất đẳng thức sau P A2+P B2+P C2 ≥ a 2+b2+c2 3 , (2.8) P A2+P B2+P C2 ≥ 4 9(m 2 a+m2b +m2c), (2.9) P A2+P B2+P C2 ≥GA2+GB2+GC2. (2.10)
Chứng minh. Khi x=y =z, bất đẳng thức (2.7) trở thành
3(P A2+P B2+P C2)≥a2+b2+c2.
Suy ra, bất đẳng thức (2.8). Tiếp theo ta biến đổi bất đẳng thức (2.8) như sau
P A2+P B2+P C2≥ 2(b 2+c2)−a2 9 + 2(c2+a2)−b2 9 2(b2+a2)−c2 9 . Từ đây suy ra các bất đẳng thức (2.9) và (2.10).
Mệnh đề 2.5.3. Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau P A2 a2 + P B 2 b2 + P C 2 c2 ≥ a 4+b4+c4 a2b2+b2c2+c2a2 ≥1, (2.11) P A2 b2 + P B 2 c2 + P C 2 a2 ≥1, (2.12) P A c2 +P B a2 +P C b2 ≥1. (2.13)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Klamkin với x= 1
a2, y = 1
b2, z = 1
c2 ta thu được bất đẳng thức (2.11). Nếu chox= 1
b2, y = 1 c2, z= 1 a2 thì ta có bất đẳng thức (2.12), và còn nếu cho x= 1 c2, y = 1 a2, z= 1 b2 ta sẽ có bất đẳng thức (2.13).
Mệnh đề 2.5.4. Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau m2a a2 + m 2 b b2 + m 2 c c2 ≥ 9 4, (2.14) mamb ab + mbmc bc + mcma ca ≥ 9 4. (2.15)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Klamkin với P ≡G, x= 1
a2, y = 1
b2, z= 1
c2
(G là trọng tâm của tam giác), ta thu được bất đẳng thức (2.14). Nếu cho
P ≡G, x= a ma, y = b mb, z = c mc ta sẽ có bất đẳng thức (2.15).
Hệ quả 2.5.5. Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau
cos2A sinBsinC + cos2B sinCsinA + cos2C sinBsinA ≥1, (2.16) 4R2 ≥ a 3+b3+c3+abc a+b+c , (2.17) 2R−r r ≥ a 3+b3+c3 abc . (2.18)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Klamkin với x=a, y =b, z =c, P ≡H (H
là trực tâm của tam giác). Để ý rằng HA = |2RcosA|, HB = |2RcosB|, HC =
|2RcosC| và sử dụng định lí hàm số sin ta nhận được bất đẳng thức (2.16). Sử dụng các biến đổi HA2 = 4R2cos2A = 4R2(1 −sin2A) = 4R2 −a2, HB = 4R2−b2, HC2= 4R2−c2, sau một số biến đổi ta nhận được bất đẳng thức (2.17). Sử dụng công thứcabc= 4Rrpta biến đổi bất đẳng thức (2.17) về bất đẳng thức (2.18).
2.6 Bất đẳng thức Klamkin mở rộng2.6.1 Khái niệm 2.6.1 Khái niệm
Định nghĩa 2.6.1. Với các ký hiệu như trong Định lý Klamkin ta gọi bộ ba
(x, y, z) là tọa độ tỷ cự (barycentric coordinates) của điểm N ∈ Π đối với điểm
P nếu có đồng nhất thức
P N2 = (x+y+z)(xP A
2+yP B2+zP C2)−(yza2+zxb2+xyc2)
(x+y+z)2 . (2.19)
Định nghĩa 2.6.2. Giả sử có các tập M⊂Π và M ⊂R3. Ta nói Mlà tập của các tọa độ tỷ cự của các điểm từ M, nếu ta có:
1) Nếu N ∈M, thì tồn tại bộ (x, y, z)∈ M là độ tỷ cự của điểm N.
2) Nếu (x, y, x)∈ M, thì tồn tại N ∈ M, sao cho bộ (x, y, z) là tọa độ tỷ cự của
N.
Nhận xét 2.6.3. Các tập sau đây là những tập tọa độ tỷ cự đủ rộng M M+ ={(x, y, z) :x >0, y >0, z >0},
M− ={(x, y, z) :x <0, y <0, z <0}.
M± tương ứng với các điểm trong Int(ABC) và các điểm bên ngoài tam giác
ABC.
Định nghĩa 2.6.4. Giả sử ABC là một tam giác và P là một điểm thuộc mặt phẳng Π. Khoảng cách d(P,M) giữa điểm P và tập M ⊂ Π được cho bởi công thức
d(P,M) = inf
Q∈M
|P Q|,
2.6.2 Kết quả chính
Định lý 2.6.5. (Định lý Klamkin mở rộng). Nếu RA, RB, RC là khoảng cách từ điểm P đến các đỉnh A, B, C của tam giác ABC, thì
(x+y+z)(xP A2+yP B2+zP C2)≥yza2+zxb2+xyc2+d2(x+y+z)2, (x, y, z)∈ M,
(2.20)
trong đó d=d(P,M) và M là tập các tọa độ tỷ cự của các điểm thuộc M. Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng |P N| ≥ d đối với mọi N ∈ M. Bằng cách sử dụng công thức (2.19) chúng ta có điều cần phải chứng minh.
Nhận xét 2.6.6. Đẳng thức trong (2.20) xảy ra khi và chỉ khiP ∈M và(x, y, z)
là tọa độ tỷ cự của P.
Nhận xét 2.6.7. Nếu trong Định lý 2.6.5 chúng ta xét số D > d, thì tồn tại bộ ba (x, y, z)∈ M, sao cho
(x+y+z)(xP A2+yP B2+zP C2)< yza2+zxb2+xyc2+D2(x+y+z)2.
Định lý 2.6.8. (Bất đẳng thức Kooi suy rộng). Nếu R là bán kính của vòng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, thì
R2(x+y+z)2 ≥yza2+zxb2+xtz2+d2(x+y+z)2, (x, y, z)∈ M, (2.21)
trong đó d=d(O,M) và M là tập các tọa độ tỷ cự. Đẳng thức trong (2.21) xảy ra khi và chỉ khi tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm thuộc M và
(x, y, z) là tọa độ tỷ cự của tâm vòng tròn ngoại tiếp.
Nhận xét 2.6.9. Ta có bất đẳng thức Kooi kinh điển khi M = Π. Bất đẳng thức này có dạng
R2(x+y+z)2 ≥yza2+zxb2+xyc2, ∀(x, y, z)∈R3, x+y+z 6= 0. (2.22)
2.6.3 Một vài ứng dụng
Trong mục này xét một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức (2.20) ứng với các trường hợp riêng của các tập M, Π và điểm P.
1. P =A và M = Π. Trong trường hợp này P A = 0, P B =c, P C =b, nên ta có bất đẳng thức
Đẳng thức xảy ra khi và hỉ khi y=z= 0.
2. M là tập trong của tam giác: M=Int(ABC). Khi đó, tập M+={(x, y, z)∈R3|x >0, y >0, z >0} là tập tọa độ tỷ cự của các điểm từ Int(ABC).
• Giả sử tam giác ABC nhọn và P là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó có bất đẳng thức Kooi
R2(x+y+z)2 ≥yza2+xzb2+xyc2, ∀x, y, z >0. (2.24) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, y, z là tọa độ tỷ cự của tâm vòng tròn ngoại tiếp, tức là có dạng
x=αa2(b2+c2−a2), y=αb2(c2+a2−b2), z=αc2(a2+b2−c2), α > 0.
• Nếu tam giác ABC tù (không nhọn): Giả sử góc A tù. Khi đó, bất đẳng thức dạng Kooi sẽ là
a2
4 (x+y+z)
2> yza2+xzb2+xyc2, ∀x, y, z >0.
• Nếu điểm P là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi đó,
P A= 2RcosA, P B = 2RcosB, P C = 2RcosC
và ta có bất đẳng thức
4R2(x+y+z)(xcos2A+ycos2B +zcos2C)≥yza2+xzb2+xyc2, ∀x, y, z >0.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, y, z là tọa độ tỷ cự của trực tâm. Bất đẳng thức trên tương đương với
4R2(x+y+z)2 ≥(x+y+x)(xa2+yb2+zc2) +yza2+zxb2+xyc2, ∀x, y, z >0.
• Nếu điểm P là trực tâm của tam giác không nhọn ABC với a2 ≥ b2+c2. Khi đó có bất đẳng thức
4R2(x+y+z)[y(cos2B−cos2A)+z(cos2C−cos2A)]> yza2+xzb2+xyc2, ∀x, y, z >0.
Bất đẳng thức trên tương đương với
Kết luận
Luận văn trình bày khái niệm tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng trong hình học phẳng. Các kết quả được trình bày trong luận văn bao gồm:
Chương 1 trình bày mệnh đề về sự tồn tại duy nhất, khái niệm, ví dụ về tọa độ tâm tỷ cự của hệ hai điểm, của hệ ba điểm, và hệ nhiều điểm. Sau đó chúng tôi trình bày nhiều ví dụ chi tiết tìm tâm tỷ cự của các hệ điểm cùng các bài toán liên quan tâm tỷ cự để hiểu rõ hơn và vận dụng khái niệm tâm tỷ cự cho các vấn đề ở Chương 2.
Chương 2 nêu ra nhiều bài toán ứng dụng của tọa độ tỷ cự trong hình học phẳng, ngoài ra có cả một số bài toán trong hình không gian. Một số dạng bài toán được nêu ra là tìm tọa độ tâm tỷ cự thỏa mãn bộ số cho trước hoặc điều kiện nào đó, dựa vào tâm tỷ cự chứng minh các hệ thức vectơ hình học, tìm cực trị độ dài vectơ, cực trị độ dài bình phương vô hướng, tính phương tích với đường tròn, cuối cùng một số bài toán liên quan bất đẳng thức Klamkin và mở rộng.
Nội dung đã làm được của tác giả là tìm và dịch tài liệu, tổng hợp lý thuyết, đưa ví dụ và bài tập, vẽ hình minh họa. Phần chứng minh và bài giải trong các tài liệu tham khảo thường chỉ làm tắt các bước. Tác giả đã làm các chi tiết và cẩn thận các chứng minh và các lời giải này.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Minh Hà (2013), Các thuật toán biến đổi tâm tỷ cự trong hình học phẳng, THTT, N403, tháng 1/2013.
[2] Phan Đức Minh (2011), Phương pháp tọa độ tỷ cự và các ứng dụng trong hình học phẳng, https://diendantoanhoc.net
[3] Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2010), Hình Học 10, NXB Giáo dục.
[4] https://diendantoanhoc.net/index.php?app=core&module=attach&sec
tion=attach&attach_id=20625
Tiếng Anh
[5] Abel Z. (2007), Barycentric coordinates,
http://zacharyabel.com/papers/BarycentricA07.pdf
[6] Prasolov V. (2001), Problems in plane and solid geomery,
http://www.pdfdrive.net/problems-in-plane-and-solid-geometry-v1-plane- geometry-e276219.html
[7] Schindler M. and Chen E. (2012), Barycentric coordinates in Olympiad Geometry, https://vi.scribd.com/document/272144451/Baycentric- Coordinates-in-Olympiad-Geometry
[8] Yiu P. (2000), The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 31, 569 – 578.