Tính chất 2.1. Với mọix∈[−1,1], ta cóTn(x) =cos(narccosx).
Tính chất 2.2. Tn(x)là đa thức bậcn, có hệ số cao nhất là2n−1.
Dễ dàng chứng minh được 2 tính chất trên dựa vào phương pháp quy nạp.
Chứng minh.Theo Tính chất 2.1, ta cóTn(x) =cos(narccosx)suy raTn(cost) = cosnt.
Vậy ta có
Tn(−cost) =Tn(cos(t+π)) = (cosn(t+π)) =cos(tn+πn) = (−1)ncosnt= (−1)nTn(cost).
Suy ra
Tn(−x) = (−1)nTn(x)
VậyTn(x)là hàm lẻ khinlẻ và là hàm chẵn khinchẵn (Điều phải chứng minh).
Tính chất 2.4. Đa thứcTn(x)có đúng n nghiệm phân biệt trong [−1,1]là:
xk =cos2k+1
2n π (k=0,1, . . . ,n−1).
Chứng minh.Trước hết ta tìmx∈[−1,1]sao choTn(x) =0. Vìx∈[−1,1]nên ta đặt x=cosu. Vậy ta có 0=Tn(x) =Tn(cosu) =cosnu⇒nu= π 2 +kπ ⇔u = π 2n+ kπ n (k∈Z). Ta đặt uk = π 2n+ kπ n , xk =cosuk=cos π 2n+ kπ n (k =0,1,2, . . . ,n−1). Màcos π 2n =cos π 2n−π n +2π nên ta có
cosu0=cosu2n−1; cosu1=cosu2n−2;. . .; cosun−1 =cosun.
Vậy với 2n điểm uk khác nhau ta chỉ có n giá trị khác nhau của xk ứng với k =0,n−1. Do đó trên [−1,1], Tn(x) có n nghiệm phân biệt. Mặt khác Tn(x) là đa thức bậcn nên nó chỉ cónnghiệm phân biệt. Vậy Tn(x)có đúngnnghiệm phân biệt trong[−1,1]là:
xk =cos2k+1
Tính chất 2.5.
a) |Tn(x)| ≤1, ∀x∈[−1,1];
b) |Tn(x)|=1 chỉ tại n+1 điểm khác nhau trong[−1,1]là
xk=coskπ
n (k=0,1, . . . ,n).
rõ hơn làTn(xk) = (−1)k. Các điểm xk còn được gọi là cácđiểm luân phiên Chebyshev.
Chứng minh.
a) ∀x∈[−1,1], ta đặt x=cosu thì ta có|Tn(x)|=|Tn(cosu)|=|cosnu| ≤1.
b) Trên [−1,1], ta có|cosnu|=1⇔nu=kπ ⇔u = kπ
n , k∈Z.
Ta đặtuk= kπ
n , xk =cosuk =coskπ n .
Lập luận tương tự Tính chất 2.4 ta thấy chỉ có (n+1) giá trị khác nhau của xk trên[−1,1].
Tính chất 2.6. Với mọi đa thứcP(x)bậc nvới hệ số cao nhất bằng 1 ta đều có max
−1≤x≤1|P(x)| ≤2n−1 max
−1≤x≤1|P(x)| ≥ 1
2n−1.
Dấu “=” xảy ra khi P(x) =Tn∗(x) = 1
2n−1Tn(x), nghĩa là: max −1≤x≤1|Tn∗(x)| là bé nhất trong các max −1≤x≤1|P(x)|. Chứng minh. Ta có max −1≤x≤1|Tn∗(x)| = 1, nên ta có max −1≤x≤1|Tn∗(x)| = 1 2n−1 max −1≤x≤1|Tn∗(x)| = 1
2n−1. Tn(x) là đa thức bậc n có hệ số bậc cao nhất là 2n−1 nên Tn∗(x) là đa thức bậcncó hệ số bậc cao nhất là1.
Giả sử tồn tại đa thứcP(x)bậcncó hệ số cao nhất là1với max
−1≤x≤1|Pn(x)|<21−n thì−21−n<P(x)<21−n.
Xét đa thứcH(x) =Tn∗(x)−P(x). Ta códegH(x)≤n−1. Xét các điểm luân phiên Chebyshevxk=coskπ
ta có H(x0) = 1 2n−1 −P(x0)>0, H(x1) =− 1 2n−1 −P(x1)<0, H(x2) = 1 2n−1 −P(x2)>0, H(x3) =− 1 2n−1 −P(x3)<0,
nghĩa là H(x) đổi dấu n+1 lần khi x chạy qua các giá trị x0,x1, . . . ,xn. Do đó H(x)có ít nhấtn nghiệm (mâu thuẫn vớidegH(x)≤n−1và H(x)6=0).