Phương pháp lặp xoay vòng và lặp
2.3. Phương pháp xoay vòng nới lỏng và lặp liên tiếp nới lỏng để giải Bài toán(MSSFP)
lỏng để giải Bài toán (MSSFP)
Trong Mục 2.1 chúng tôi đã chứng minh dãy lặp xoay vòng (2.1) và dãy lặp liên tiếp (2.11) với cỡ bước tự tương thích hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán (MSSFP). Trong mục này chúng tôi xét một trường hợp đặc biệt của bài toán (MSSFP), trong đó các tập lồi, đóng {Ci}ti=1 và {Qj}rj=1 là các tập mức của các hàm lồi. Trước khi phát biểu các kết quả chính, chúng tôi đề cập đến hai giả thiết sau:
(A1) Tập Ci được cho bởi
Ci :={x∈H1|ci(x)≤0},
trong đó ci :H1 −→R, i= 1,2, . . . , t là các hàm lồi. Tập Qj được cho bởi
Qj :={y∈H2|qj(y)≤0},
trong đó qj :H2 −→R, j = 1,2, . . . , r là các hàm lồi.
Giả sử cả ci, qj khả dưới vi phân tương ứng trên H1, H2 và ∂ci, ∂qj là các toán tử bị chặn.
(A2) Với x∈H1 và y∈H2 bất kỳ, ít nhất một trong các dưới đạo hàm ξi ∈∂ci(x)
và ηj ∈∂qj(y) có thể tính được, trong đó∂ci(x) và ∂qj(y) lần lượt là các dưới vi phân tại x, y như sau:
∂ci(x) :={ξi∈H1|ci(z)≥ci(x) +hξi, z−xi, với mọi z ∈H1},
và
∂qj(y) :={ηj ∈H2|qj(u)≥qj(y) +hηj, u−yi, với mọi u∈H2}.
Ta định nghĩa các nửa không gian Cin và Qnj như sau:
trong đó ξni ∈∂ci(xn), i = 1,2, . . . , t và
Qnj :={y∈H2|qj(Axn) +ηjn, y−Axn≤0},
trong đó ηnj ∈∂qj(Axn), j = 1,2, . . . , r.
Từ định nghĩa của các dưới đạo hàm, ta có Ci ⊆ Cin, Qj ⊆ Qnj và các phép chiếu trực giao lên các nửa không gian Cin, Qnj có thể tính trực tiếp được.
Ta cần bổ đề dưới đây:
Bổ đề 2.1. ([3]) Giả sử rằng f :Rn −→R là hàm lồi hữu hạn, thì nó khả dưới vi phân khắp mọi nơi và dưới vi phân của nó bị chặn đều trên mỗi tập con bị chặn bất kỳ của Rn.
Đầu tiên chúng tôi biểu diễn một sơ đồ chiếu xoay vòng nới lỏng với cỡ bước tự tương thích. Vì các phép chiếu lên các nửa không gian Cin và Qnj có dạng đóng nên các sơ đồ lặp dễ dàng được triển khai. Chúng tôi định nghĩa hàm pn(x) như sau: pn(x) := 1 2 r X j=1 βjkAx−PQn j(Ax)k2, (2.20) trong đó βj >0 với mọi 1≤j ≤r. Đạo hàm của pn(x) là:
∇pn(x) := r X j=1 βjA∗ I−PQn j (Ax). (2.21)
Định lý 2.3. Giả sử rằng bài toán (MSSFP) có tập nghiệm Ω 6= ∅ và các điều kiện (A1),(A2) thoả mãn. Với x0 ∈ H1 bất kỳ, dãy lặp xoay vòng nới lỏng {xn}
được xác định như sau:
xn+1 =PCn
[n](xn−λnOpn(xn)), n≥0, (2.22)
trong đó [n] = (n modt) + 1, là hàm lấy giá trị trên tập {0,1, . . . , t−1} và cỡ bước
{λn} được chọn sao cho λn := ρnpn(xn)
||Opn(xn)||2, với 0< ρ≤ρn ≤ρ <4. Khi đó dãy lặp
Chứng minh. Cho p ∈ Ω, vì PCn
i là không giãn với mỗi i ∈ {1,2, . . . , t} nên theo như chứng minh của Định lý 2.1 ta nhận được bất đẳng thức sau:
||xn+1−p||2 6||xn−p||2−ρn(4−ρn) p
2(xn)
||Op(xn)||2. (2.23) Vậy ta có {xn} là dãy đơn điệu Fejér và do đó lim
n−→∞||xn−p|| tồn tại. Từ (2.23) và 0< ρ≤ρn ≤ρ <4 ta suy ra rằng ∞ X n=0 p2(xn) ||Op(xn)||2 <∞. (2.24) Vì Op là liên tục Lipschitz và dãy {xn} bị chặn, nên {Op(xn)} cũng bị chặn. Do đó từ (2.24) ta kết luận rằng pn(xn)−→0, khi n−→ ∞.
Do ∂qj bị chặn trên các tập bị chặn nên tồn tại η sao cho kηjnk ≤η với mọi j.
Chú ý rằng PQn jAxn ∈Qnj, nên ta nhận được qj(Axn)6 ηjn, Axn−PQn jAxn≤ηkAxn−PQn jAxnk −→0, khi n −→ ∞. (2.25) Tiếp theo chúng ta chứng minh rằngωw(xn)⊂Ω.Thật vậy, vì dãy {xn}bị chặn nên tồn tại một dãy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho xnk *bx. Do tính nửa liên tục dưới yếu của hàm lồi qj và (2.25) ta thu được
qj(Abx)≤ lim k−→∞infqj(Axnk)≤0. Khi đó Abx∈Qj, j = 1,2, . . . , r, hay Abx∈ ∩r j=1Qj. Tiếp theo ta chỉ ra rằng Abx∈ ∩ti=1Ci. Đặt unk =xnk−λnkOp(xnk) ta có kunk −xnkk=λnkkOpnk(xnk)k ≤ 4pnk(xnk) kOpnk(xnk)k −→0, khi k−→ ∞. (2.26) Vì p∈ Ci ⊂ Cin với i= 1,2, . . . , t bất kỳ, cùng với Bổ đề 1.2 và bất đẳng thức kunk −pk ≤ kxnk−pk, ta có ||xnk+1−p||2 ≤ ||unk −p||2− k(I−PCnk [nk])(unk)k2 ≤ kxnk −pk2− k(I−PCnk [nk])(unk)k2. (2.27)
Ta suy ra rằng
k(I−PCnk
[nk])(unk)k −→0, khi k−→ ∞. (2.28) Vì tập {Ci}t
i=1 hữu hạn nên với mỗi i= 1,2, . . . , t chúng ta chọn một dãy con
{nkl} ⊂ {nk} sao cho [nkl] =i, khi đó ta nhận được
ci(xnkl)≤Dξnkl, xnkl−P Cnkl i (unkl) E ≤ξ ||xnkl−unkl||+||unkl −P Cnkl i (unkl|| −→0, khi l −→ ∞, (2.29) trong đó ξ thoả mãn điều kiện kξjnklk ≤ξ. Từ tính nửa liên tục dưới yếu của hàm lồi ci ta thu được
ci(bx)≤ lim
k−→∞infci(xnkl)≤0.
Từ đó ta có bx ∈ Ci, i = 1,2, . . . , t. Ta suy ra bx ∈ Ω. Chú ý rằng với p ∈ Ω bất kỳ, ta có lim
n−→∞||xn−p|| tồn tại vàωw(xn)⊂Ω.Theo Bổ đề 1.5 ta có thể thấy rằng dãy{xn}hội tụ yếu tới một nghiệm của bài toán (MSSFP). Do đó ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo, chúng tôi đề xuất một dãy lặp liên tiếp nới lỏng với cỡ bước tự tương thích để giải bài toán (MSSFP) và thiết lập sự hội tụ của nó.
Định lý 2.4. Giả sử rằng bài toán (MSSFP) có tập nghiệm Ω 6= ∅ và các điều kiện (A1),(A2) thoả mãn. Với x0∈H1 bất kỳ, dãy lặp liên tiếp nới lỏng {xn} được xác định như sau: xn+1 =PCn [n](xn−λnOpn(xn)), n≥0, (2.30) trong đó {ωi}t i=1 ⊆ [0,1] sao cho t P i=1
ωi = 1 và cỡ bước {λn} tương tự như trong Định lý 2.3. Khi đó dãy lặp {xn} hội tụ yếu tới nghiệm của bài toán (MSSFP). Chứng minh. Ý tưởng chính cho việc chứng minh Định lý 2.4 tương tự như chứng minh của Định lý 2.3. Thật vậy, cho p ∈ Ω, thay p(xn) và 5p(xn) bởi pn(xn) và
5pn(xn) trong (2.12) của Định lý 2.2 ta nhận được bất đẳng thức sau:
||xn+1−p||26||xn−p||2−ρn(4−ρn) p
2
n(xn)
Vậy ta có {xn} là dãy đơn điệu Fejér và do đó lim n−→∞||xn−p||tồn tại. Từ (2.31) và 0< ρ≤ρn ≤ρ <4 ta suy ra rằng ∞ X n=0 p2n(xn) ||Opn(xn)||2 <∞. (2.32) Do ∂qj bị chặn trên các tập bị chặn nên với bấy kỳ j = 1,2, . . . , r ta có
qj(Axn)6
ηjn, Axn−PQn