Tam giác Heron là tam giác có cạnh và diện tích nguyên.
Ví dụ 2.4.7. Tam giác vuông có cạnh 3,4,5và có diện tích bằng 6. Công thức tính diện tích của Hêron với tam giác bất kì có cạnh là a, b, c là
S =pp(p−a) (p−b) (p−c) với p= a+b+c 2 .
Tìm tam giác Hêron với các cạnh liên tiếp a−1;a;a+ 1. Khi đó p= 3a 2 và S2 =p(p−a) (p−a+ 1) (p−a−1) = 3a 2 . a 2. a+ 2 2 . a−2 2 .
Suy ra (4S)2 = 3a2 a2−4. Từ đó ta thấy rằng a là số chẵn. Đặt a = 2x với
x∈ Z ta có S2 = 3x2 x2−1. Vì 3, x2 = 1 nên x2−1= 3y2 (y ∈Z). Ta có phương trình Pell
x2−3y2 = 1 (a= 2x; S = 3xy).
Giải phương trình trên ta sẽ tìm được a và S. Ta có bảng sau:
x 2 7 26 97 362 1351
y 2 7 26 97 362 1351
a 4 14 52 154 724 2702
S 6 84 1170 16926 226974 3161340 Từ bảng kết quả trên ta thấy:
Tam giác có các cạnh là 13,14,15 và có diện tích là 84. Tam giác có các cạnh là 51,52,53 và có diện tích là 1170. Tam giác có các cạnh là 153,154,155 và có diện tích là 16926.
Kết luận
Luận văn phương trình Diophantine x2−Dy2 =±4trình bày những vấn đề chính sau đây:
• Trình bày lại một số tính chất của liên phân số và liên phân số mở rộng từ đó ứng dụng nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình Pell cổ điển; • Trình bày lại các kết quả về công thức nghiệm của phương trình Diophan- tine dạng x2−Dy2 = ±4 trong một số trường hợp giải được của phương trình;
• Trình bày một số ứng dụng của phương trình Diophantine trong toán học phổ thông.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Thị Mỹ Hạnh (2017), Giải phương trình Diophante y2 = Ax4+B, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
[2] Đào Thị Thương Hoài (2010), Một vài vấn đề về phương trình Diophante, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Tiếng Anh
[3] Ahmet Tekcan (2007), "The Pell equation X2 − D ∗Y2 = ±4", Applied
Mathematical Sciences, 1(8), pp. 363–369.
[4] Ahmet Tekcan (2011), "Continued Fractions Expansion of √
D and Pell Equation x2−D∗y2 = 1", Mathematica Moravica, 15(2), pp. 19—27. [5] B. Stolt (1952), "On the Diophantine equation U2−D∗V2 =±4N",Arkiv
f¨or Matematik, 2(2-3), pp. 251–268.
[6] B. Stolt (1955), "On the Diophantine equation U2−D∗V2 =±4N", part