Mục này dành để trình bày lại kết quả của S. Goto và K. Nishida [GN] đưa ra năm 1999 nói rằng nếuR là vành Noether giao hoán catenary phổ dụng thì mọi đại số hữu hạn sinh như một R-môđun, không nhất thiết là giao hoán, là catenary và chiều ngược lại cũng đúng nếuR là miền Noether địa phương. Trong khuôn khổ luận văn này ta luôn giả thiết Λ là R-đại số giao hoán, có đơn vị. Trước hết ta hệ thống lại một số kết quả về môđun chính tắc.
Cho (R,m) là một vành địa phương, M là R-môđun, kí hiệu ER(M) là bao nội xạ của M và Hi
m(M) là môđun đối đồng điều địa phương cấp i với giá m của M. Khi đó một môđun chính tắc được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.2.1. Cho (R,m) là vành địa phương có chiều là d. Một R- môđun K được gọi là môđun chính tắc của R nếu
K ⊗R Rb ∼= Hom(Hd
m(R),ER(R/m)).
Cho (R,m) là một vành địa phương có chiều d với môđun chính tắc K, sau đây là một số kết quả về môđun chính tắc được trích trong [A, Mệnh đề 1.5, 1.6, Định lý 4.2, Hệ quả 4.3].
Bổ đề 2.2.2. [A] (i)K là duy nhất sai khác một đẳng cấu và là mộtR-môđun hữu hạn sinh có chiều là d.
(ii) Nếu R là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein S thì ta có
K = ExtrS(R, S), trong đór = dimS−dimR là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn ExtrS(R, S) 6= 0. Vì thế, với mọi p ∈ SuppRK ta có Kp là môđun chính tắc của Rp.
(iii) Cho R là vành địa phương T là một R-môđun và S là một R-đại số hoàn toàn phẳng, có môđun chính tắc. Khi đó, nếu T ⊗R S là môđun chính tắc của S thì T là môđun chính tắc của R.
(iv) Giả sử rằng R là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein S. Đặt
KR = ExtnS(R, S); (n = dimS −dimR).
Khi đó K(Rp) ∼= (K
R)p với mọi p ∈ SuppRKR.
(v) Giả sử rằng dimR ≥ 2 và cho a1, a2 là một hệ tham số con của R. Khi đó dãy a1, a2 là KR-chính quy.
Bổ đề 2.2.3. [GN] Giả sử rằng (R,m) là một vành địa phương và R là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein,Λ là mộtR-môđun hữu hạn sinh. Cho P ∈ Spec(Λ) và đặt p = P ∩R,Γ = Λ/P. Khi đó nếu dim Γ ≥2, thì tồn tại một dãy khớp ngắn
0−→ Γ −→α X −→β Y −→ 0
các Γ-môđun hữu hạn sinh và một phần tử t ∈ m\p thỏa mãn những điều kiện sau
(i) depthR(X) ≥ 2;
(ii) tlà X-chính quy và tY = (0).
Chứng minh. Cho K = KR/p là môđun chính tắc của R/p. Ta đặt
và kí hiệu α : Γ →X là đồng cấu chính tắc của Γ-môđun. Khi đó X là hữu hạn sinh, theo Mệnh đề 1.1.9 có dimR/p = dim Γ ≥ 2 do đó theo Bổ đề 2.2.2, (v) ta có depthRX ≥2.
Vì theo Bổ đề 2.2.2, (iv) ta có Kp ∼= K
(Rp/pRp) = Rp/pRp nên ta có thể xem đồng cấu Rp ⊗R α là một đẳng cấu. Do đó α là một đơn cấu vì
R/p-môđun Γ là xoắn tự do. Khi đó đặt Y = Cokerα ta có một dãy khớp ngắn
0−→ Γ −→α X −→β Y −→ 0
Mặt khác ta có Yp = (0), tồn tạit ∈ m\p sao chotY = (0) do đó theo Bổ đề 2.2.2, (v) ta có tlà R/p-chính quy kéo theo phần tửtlà X-chính quy.
Nhắc lại rằng vành R (không nhất thiết phải giao hoán) được gọi là vành nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan nguyên tố. Trong khuôn khổ luận văn luôn giả thiết vành là giao hoán, có đơn vị nên một vành là vành nguyên tố khi và chỉ khi nó là một miền nguyên. Mệnh đề sau đây là kết quả mấu chốt để chứng minh định lý chính của [GN].
Mệnh đề 2.2.4. [GN] Cho(R,m) là một vành địa phương catenary phổ dụng và giả sử rằng Λ là một vành nguyên tố. Khi đó, nếu Λ chứa một iđêan cực đại Q vàhtΛQ= 1 thì dim Λ = 1.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng f : R → Λ là đơn cấu. Theo Mệnh đề 1.1.9 ta có R là một miền nguyên địa phương và dimR = dim Λ. Đầu tiên ta xét trường hợp R là ảnh đồng cấu của vành địa phương Gorenstein. Giả sử rằng dim Λ ≥ 2. Khi đó theo Bổ đề 2.2.3 ta có một phép nhúng Λ → X
giữa các Λ-môđun hữu hạn sinh và một phần tử 0 6= t ∈ m thỏa mãn những điều kiện
(1) depthRX ≥ 2 và
Ta đặt Z = X/tX và ∆ =EndΛZ. Cho I = ((0) :Λ Z). Từ điều kiện (2) cóIX ⊆ tX ⊆ Λvà theo giả thiết cóQ ∈ Max Λnên I2 ⊆ I2X ⊆ tΛ ⊆ Q
do tΛ ⊆ I ⊆ Q. Vì t là Λ-chính quy nên t không là ước của 0, theo Bổ đề 1.2.6 t /∈ P ∩ R với bất kì P ∈ Min Λ. Mà theo giả thiết htΛQ = 1 nên
Q/I ∈ Min Λ/I do đó Q/I ∈ Min Λ/I ∩Max Λ/I. Vì thế áp dụng Bổ đề 1.2.7 ta có depthRΛ/I = 0.
Mặt khác từ đồng cấu chính tắc λ : Λ → End∆Z cảm sinh phép nhúng
Λ/I → EndΛZ nên depthRZ = depthRX−1> 0do đódepthRΛ/I > 0, mâu thuẫn.
Bây giờ chúng ta chứng minh trong trường hợp tổng quát. Cho Rb là vành đầy đủ theo tô pô m-adic của R. Vì Q là iđêan cực đại của Λ nên
b
Q = Rb⊗R Q là iđêan cực đại của Λ =b Rb⊗R Λ. Theo Hệ quả 1.2.10 ta có
ht
b
ΛQb = htΛQ = 1. Do đó với Pb ∈ MinΛb thì ht
b
Λ/PbQ/b Pb = 1. Vì Rblà ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein, địa phương nên dimΛb/Pb = 1.
Đặt p = Pb∩Rb ta chứng minh các khẳng định sau: (1) Pb∩Λ = 0 và (2)
p ∈ MinRb. Thật vậy, ta có Pb ∩Λ là iđêan nguyên tố của Λ và Q là iđêan cực đại của Λnên Qb ∩Λ = Q. Do đó, nếu Pb∩Λ 6= (0) thì xích nguyên tố
Q ⊇ P ∩Λ ⊃ (0) mà htΛQ = 1 suy ra Q = Pb∩ Λ. Từ đó Qb ⊇ Pb mâu thuẫn với ht
b
Λ/PbQ/b Pb = 1. Do đó Pb ∩ Λ = (0). Mặt khác f : R → Λ là đơn cấu nên p∩ R = (0). Kí hiệu Q(R) là trường thương của R. Khi đó, vì
b Rp ⊗
b
R Λb ∼= Rb
p ⊗Q(R) (Q(R) ⊗R Λ) nên ta có Λbp là một Rbp-mô đun tự do với PΛbp ∈ MaxΛbp ∩MinΛbp (theo Mệnh đề 1.1.5 và 1.1.9). Do đó theo Bổ đề 1.2.7 có dimRbp = 0. Theo khẳng định (2) và theo Mệnh đề 2.1.15, ta có
dimR = dimR/b p = dimΛb/P = 1mà dim Λ = dimR nên dim Λ = 1
Định lý 2.2.5. [GN] Giả sử rằng R là một vành địa phương catenary phổ dụng và Λ là một vành nguyên tố. Khi đó ta có đẳng thức
với mọi Q ∈ Spec Λ
Chứng minh. Có thể giả sử f : R → Λlà đơn cấu. Trước hết xét trường hợp
Q ∈ Max Λ. Đặt h = htΛQ. Theo Mệnh đề 2.2.4 ta có thể giả sử h ≥ 2 và khẳng định đúng đến h −1. Cho (0) = P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ . . . ⊂ Ph = Q
là một xích bão hoà các iđêan nguyên tố của Λ. Đặt p = Ph−1 ∩ R. Khi đó theo Mệnh đề 2.2.4 dim Λ/Ph−1 = 1. Mặt khác vì Ph−1Λp là iđêan cực đại của Λp và htΛp(Ph−1Λp) = htΛPh−1 = h− 1 (theo Mệnh đề 1.1.10 ) nên theo giả thiết quy nạp, vành Λp có chiều Krull bằng h − 1. Từ Mệnh đề 1.1.9 và Mệnh đề 2.1.15 ta có dim Λ = dimR = dimR/p + dimRp = dim Λ/Ph−1 + dim Λp = 1 + (h−1) = h.
Bây giờ cho Q ∈ Spec Λ và đặt q = Q ∩ R. Vì QΛq ∈ Max Λq
nên dim Λq = htΛqQΛq = htΛQ. Do đó dimRq = htΛQ. Mặt khác vì
dim Λ/Q = dimR/q và theo Mệnh đề 2.1.15 ta có
dim Λ = dimR = dimR/q+ dimRq
nên dim Λ = dim Λ/Q+ htΛQ.
Sau đây là kết quả chính của bài báo cho ta mối liên hệ giữa tính catenary của một R-đại số hữu hạn sinh như môđun và vành R.
Định lý 2.2.6. [GN, Định lý 1.1] Giả sử R là vành giao hoán, Noether, Λ
là R-đại số hữu hạn sinh như R-môđun (không nhất thiết giao hoán). Khi đó
Λ là catenary nếu R là catenary phổ dụng.
Chứng minh. Cho P ⊂ Q là cặp iđêan nguyên tố của Λ. Ta sẽ chứng minh mọi xích nguyên tố bão hoà giữa P và Q có cùng độ dài. Bằng cách chuyển qua xét vành Λ/P ta có thể giả sử P = (0). Đặt q = Q∩R, bằng cách địa phương hoá tại q ta có thể giả sử thêm R là địa phương và Q ∈ Max Λ.
Cho (0) = P0 ⊂ P1 ⊂ . . . ⊂ Pn = Q là một xích bão hoà các iđêan nguyên tố của Λ. Ta sẽ chỉ ra rằng n = dim Λ bằng quy nạp theo n. Theo
giả thiết R là catenary phổ dụng nên theo Mệnh đề 2.2.4 ta có khẳng định đúng với n = 1. Ta có thể giả sử n ≥ 2 và khẳng định là đúng đến n− 1. Khi đó từ dim Λ/P1 = n− 1 và htΛP1 = 1, áp dụng Định lý 2.2.5 ta có
n = dim Λ/P1 + 1 = dim Λ/P1 + htΛP1 = dim Λ. Vậy khẳng định đúng với n, hayΛ là catenary.
Hệ quả 2.2.7. Giả sử R là một vành Cohen-Macaulay, Λ là một R-đại số hữu hạn sinh như R-mô đun. Khi đóΛ là catenary.
Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của định lý chính vì một vành Cohen- Macaulay là catenary phổ dụng.
Hệ quả 2.2.8. [GN] Giả sử (R,m) là một vành địa phương Noether, Λ là một R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó Λ là catenary và ta có công thức
dim Λ = dim Λ/Q+ htΛQ
với mọi Q ∈ Spec(Λ) và đẳng thức n = htΛQ−htΛP đúng với mọi cặp iđêan P ⊆ Q của Λ và mọi xích bão hoà các iđêan nguyên tố P = P0 ⊂ P1 ⊂ . . .⊂ Pn = Qgiữa P và Q.
Chứng minh. Ta có thể giả sử f : R → Λ là đơn cấu. Đặt d = dimR. Ta có đồng cấu nhúng Rb → Λb của các Rb-môđun. Vì Λ là R-mô đun Cohen- Macaulay nênΛb cũng làRb-mô đun Cohen-Macaulay vớidim
b RΛ =b d. Do đó Ass b RRb ⊆ Ass b
RΛb và dimR/b bp = d với mọi bp ∈ Ass
b
RRb [Ma2, trang 107], hay R/b bp là vành địa phương tựa không trộn lẫn, vì thế R/p là tựa không trộn lẫn. Khi đó theo Mệnh đề 2.1.15 ta có R/p là catenary phổ dụng, kéo theo
R là catenary phổ dụng. Theo Định lý 2.2.6 ta có Λlà catenary.
Lấy Q ∈ Min Λ và đặt q = Q ∩ R. Ta sẽ chỉ ra dim Λ/Q = d. Theo Mệnh đề 1.2.6, q bao gồm các ước của 0 trong Λ. Do đó q ⊆ S
p∈AssRΛp
[Ma2, trang 50]. Theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại một iđêan nguyên tố p ∈ AssRΛ sao cho q ⊆ p. Vì dimR/p = d và Λ là Cohen-Macaulay,
dimRΛ = d nên q = p vàp ∈ MinR. Do đó dimR/q = dmà Λ/Q là R/q
môđun bởi vậy theo Mệnh đề 1.1.9 ta códim Λ/Q = d với mọi Q ∈ Min Λ. Nhờ tính catenary phổ dụng củaR, áp dụng Định lý 2.2.6 và Định lý 2.2.5 ta có thể dễ dàng thấy được rằng bất kì một cặp iđêan nguyên tố P ⊆ Q
trong Λ với P ∈ Min Λ và Q ∈ Max Λ, xích bão hoà các iđêan nguyên tố nằm giữa P và Q có cùng độ dài và bằng d = dim Λ. Do đó ta có công thức dim Λ = dim Λ/Q + htΛQ đúng với mọi Q ∈ Spec Λ. Ta cũng có
n = htΛQ−htΛP đúng với mọi cặp P ⊆ Qvà mọi xích bão hoà các iđêan nguyên tố
P = P0 ⊂ P1 ⊂ . . . ⊂ Pn = Q
giữa P và Q trong Λ. Do đó bổ đề được chứng minh.
Kết quả sau là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.6 và Định lý 2.2.5 và Mệnh đề 2.1.15
Hệ quả 2.2.9. Cho R là một miền nguyên địa phương giao hoán, Noether. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng. (ii) R là tựa không trộn lẫn.
(iii) Mọi R-đại số nguyên tố, hữu hạn sinh như mô đun Λ là catenary và với mọi Q∈ Spec Λ ta có đẳng thức
Kết luận
Tóm lại, luận văn trình bày các kết quả sau.
1. Nhắc lại các khái niệm, đồng thời chứng minh chi tiết các tính chất liên quan đến mở rộng nguyên trên một vành, các định lý không so sánh được, định lý nằm trên, định lý going-up, ... Trình bày các khái niệm, ví dụ và một số tính chất của R-môđun hữu hạn sinh.
2. Nhắc lại các khái niệm và chứng minh một số kết quả cơ bản về tính catenary, catenary phổ dụng của vành.
3. Trình bày lại và chứng minh chi tiết một số kết quả chính trong bài báo "CATENARITY IN MODULE-FINITE ALGEBRAS" đăng trên tạp chí Proceedings of the American Mathematical Societycủa S. Goto và K. Nishida [GN] về tính catenary củaR-môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán Noether.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Anh
[A] Y. Aoyama (1983), Some basic results on canonical modules, J. Math. Kyoto Univ. 23, no. 1, 85-94. MR 692731 (84i:13015)
[AM] M. F. Atiyah and I. G. MacDonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969. MR 0242802 (39 - 4129)
[BH] W. Bruns and J. Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. MR 1251956 (95h:13020)
[C1] I. S. Cohen (1946), On the structure and ideal theory of complete local rings,Trans. Amer. Math. Soc. 59, 54-106. MR 0016094 (7,509h) [C2] I. S. Cohen (1954), Length of prime ideal chains, Amer. J. Math. 76,
654-668. MR 0062116 (15,929f)
[GN] S. Goto and K. Nishida (1999), Catenarity in module-finite algebras Proceedings of the american mathematical society.127, no. 12, pp. 3495- 3502
[HK] J. Herzog and E. Kunz (1971), Der Kanonische Modul eines Cohen- Macaulay-Rings, Lecưture Notes in Math., 238, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1971. MR 54:304
[K] I. Kaplansky (1970), Commutative rings, Allyn and Bacon, Boston. MR 40:7234
[Kr] W. Krull (1937), Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie, Math. Z., 42, pp. 745-766.
[Ma1] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Cambridge University Press, Cambridge. Translated from the Japanese by M. Reid. MR 879273 (88h:13001)f [Ma2] H. Matsumura (1980), Commutative Algebra (second edition), Math-
ematics Lecture Note Series, vol. 56, Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass. MR 575344 (82i:13003)
[McR] S. McAdam and L. J. Ratliff (1977), Semi-local taut rings, Indiana Univ. Math. J.26, 73-79.
[MR] J. C. McConnell and J. C. Robson (1987), Noncommutative Noetherian rings, Pure and Applied Mathematics (New York), John Wiley and Sons, Ltd., Chichester, 1987. With the cooperation of L. W. Small; A Wiley- Interscience Publication. MR 934572 (89j:16023)
[N1] M. Nagata (1956), On the chain problem of prime ideals, Nagoya Math. J. 56 (1956), 51-64. MR 18:8e
[N2] M. Nagata (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13, MR 0155856 (27 - 5790)
[R1] L. J. Ratliff (1965), On quasi-unmixed semi-local rings and the altitude formula, Amer. J. Math. 87, 278-284. MR 31:3448
[R2] L. J. Ratliff (1969), On quasi-unmixed local domains, the altitude formula, and the chain condition for prime ideals (I), Amer. J. Math. 91, 508-528. MR 40:136
[R3] L. J. Ratliff (1971) , Characterizations of catenary rings, Amer. J. Math. 93, pp. 1070-1108
[Sh] R. Y. Sharp (1990), Step in Commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, Cambridge.