Phương pháp lặp ẩn (2.6) được biểu diễn dưới dạng phương trình ma trận:
Akxk =bk,
trong đó Ak, xk, và bk lần lượt là các ma trận xác định bởi
Ak = ϑ1 σ1 0 −σ1 ϑ1 0 0 0 1 uk = xk1, xk2, xk3 T , bk = −2γkλk,−2γkλk,−2γkλk T , (2.28)
ở đây các phần tử ϑ1 và σ1 ở trong ma trận Ak được xác định như sau:
ϑ1 = −1 + (1−2λk)) sin(2tk) 2tk
và
σ1 = (1−2λk)[cos(2tk)−1] 2tk .
Trong tính toán thử nghiệm, chọn các dãy số
thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.6. Bảng dưới đây thể hiện kết quả tính toán cho phương pháp lặp (2.6):
k err = kxk−x0k k err = kxk −x0k 1 0.27149 50 8.0665×10−9 2 0.01044 100 2.6921×10−10 3 0.0078081 300 7.0048×10−10 5 0.0010703 500 5.4645×10−9 10 1.7409×10−5 1000 1.2275×10−8
Kết luận
Các phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu do lợi thế của phương pháp là các điều kiện đặt lên các dãy tham số của dãy lặp là khá nhẹ và sự hội tụ của phương pháp lặp ẩn luôn được đảm bảo dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach.
Mục đích của đề tài luận văn nhằm giới thiệu ba phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Nội dung của luận văn đề cập đến các vấn đề sau:
1. Giới thiệu một số đặc trưng hình học của không gian Banach, toán tử đơn điệu, toán tử j-đơn điệu, bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach và phương pháp lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân.
2. Giới thiệu phương pháp lặp ẩn dựa trên phương pháp lai ghép đường dốc nhất để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach và các tính chất liên tục đều mạnh-yếu∗ của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j cùng một số điều kiện đặt lên các dãy tham số của phương pháp, cùng một ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] R.P. Agarwal, D. O’Regan, D.R. Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[4] Y. Alber (1996), "Metric and generalized projection operators in Banach spaces: Properties and applications" in: Kartsatos A. G. (Ed), Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 178, 15–50.
[5] I. Cioranescu (1990),Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [6] R. Chen, Y. Song (2000), "Convergence to common fixed point of
nonexpansive semigroup", J. Comput. Appl. Math., 200, 566–575. [7] Ng. Buong, P.T. Hieu, and Ng.T.T. Thuy (2013), "An explicit itera-
tion method for a class of variational inequalites in Banach spaces",
Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông", NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[8] L.-C. Ceng, Q.H. Ansari, J.-C. Yao (2008), "Mann-type steepest- descent and modified hybrid steepest descent methods for varia- tional inequalities in Banach spaces", Numer. Funct. Anal. Optim.,
29(9-10), 987–1033.
[9] P.T. Hieu, Ng.T.T. Thuy, and J.J. Strodiot (2017), "Explicit iter- ative methods for variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc. DOI 10.1007/s40840-017-0494-8 (online). [10] D. Kinderlehrer, G. Stampacchia (1980), An Introduction to Vari-
ational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York.
[11] J.L. Lions, G. Stampacchia (1967), "Variational inequalities",
Comm. Pure Appl. Math., 20, 493–519.
[12] W.R. Mann (1953), "Mean value methods in iteration",Proc. Amer. Math. Soc., 4, 506–510.
[13] J.M. Neerven (2002), "Approximating Bochner integrals by Rie- mann sums", Indagationes Mathematicae, 13(2), 197–208.
[14] W.V. Petryshyn (1970), "A characterization on strict convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings", J. Funct. Anal.,
6, 282–291.
[15] F. Schoepfer (2007), "Iterative regularization methods for the solu- tion of the split feasibility problem in Banach spaces", PhD Disser- tation, Saarbrucken.
[16] G. Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les en- sembles convexes", C. R. Acad. Sci. Paris, 258, 4413–4416.
[17] Ng.T.T. Thuy, P.T Hieu (2013), "Implicit iteration methods for variational inequalites in Banach spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 36(4), 917–926.
[18] I. Yamada (2001), "The hybrid steepest descent method for varia- tional inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings", Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Chapter 8, pp. 473–504.
[19] E. Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applica- tions, II/B - Nonlinear Monotone Operator, Springer–Verlag.