Cho H là không gian Hilbert và f là hàm chính thường nửa liên tục lồi của H trong(−∞,∞). Đã biết trong [9] rằng dưới vi phân ∂f của f được xác định như sau
∂f(x) ={z ∈ H :f(x) +hz, y−xi ≤ f(y), ∀y ∈ H}, x∈ H
là một toán tử đơn điệu cực đại, đặc biệt là một tập con đóng lồi khác rỗng của H, khi đó hàm chỉ của C, iC, xác định bởi
iC(x) =
(
0, nếu x∈ C
∞, nếu x /∈ C
là một hàm chính thường nửa liên tục lồi trên H, vì vậy ∂iC là toán tử đơn điệu cực đại. Nón chuẩn tắc của tập C tại u∈ C được xác định như
sau
NC(u) ={z ∈ H : hz, y−ui ≤ 0, ∀y ∈C}.
Dễ dàng chỉ ra rằng
(1) ∂iC(u) = NC(u) với u ∈C;
(2) Jλx = PCx với x ∈ H, ở đây Jλ = (I +λ∂iC)−1 là một toán tử giải của ∂iC với λ > 0.
Áp dụng Định lý 2.2.8 cho trường hợp B = ∂iC ta có kết quả sau. Định lý 2.2.10 (xem [12]) Cho C là một tập con đóng lồi khác rỗng của không gian Hilbert H và cho U : C → C là một ánh xạ không giãn sao cho Fix(U) 6= ∅. Với mỗi x1 = x∈ C, xác định
xn+1 = βnxn+ (1−βn)U xn ∀n ∈ N (2.45)
ở đây {βn} ⊂(0,1) thỏa mãn điều kiện
∞
X
n=1
βn(1−βn) =∞.
Khi đó xn * z0 ∈ Fix(U), ở đây z0 = lim
n→∞PFix(U)xn.
Chứng minh. Đặt H1 = H2 = H, B = ∂iC, T = U PC và A = I trong Định lý 2.2.8 ta có Fix(T) = Fix(U) và Jλ = PC với mọi λ > 0. Hơn nữa lấy λ = 1 với mọi n ∈ N ta thấy toán tử giải (2.26) của Định lý 2.2.8 là rút gọn của toán tử giải (2.45), kết thúc Định lý 2.2.10.
Áp dụng Định lý 2.2.9 cho chúng ta những kết quả sau đây.
Định lý 2.2.11 Cho H1 và H2 là không gian Hilbert và C là tập con lồi đóng khác rỗng của H1. Cho V : C → C là ánh xạ co hẹp và cho
T : H2 → H2 là ánh xạ không giãn. Cho A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính giới nội. Giả sử Fix(V)∩A−1 Fix(T) 6= ∅. Với mỗi x1 = x∈ C, định nghĩa dãy {xn} trong C như sau
ở đây dãy {βn} và {λn} thỏa mãn
0 < c ≤ βn ≤ d < 1và 0 < a ≤ λn ≤ b < 1
||A||2.
Khi đó xn * z0 ∈ Fix(V)∩A−1Fix(T) và z0 = lim
n→∞PFix(V)∩A−1Fix(T)xn.
Chứng minh. Một ánh xạ co hẹp V : C →C là (2,1)-lai ghép tổng quát. Hơn nữa, đặt B = ∂iC trong Định lý 2.2.9, ta có Jλ = PC với mọi λ > 0. Như vậy chúng ta có kết quả mong muốn từ Định lý 2.2.9.
Tiếp theo chúng ta giải quyết bài toán cân bằng với ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Định lý 2.2.12 (xem [11]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và f : C ×C → R là một song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)−(A4). Định nghĩa Af như sau
Af(x) =
(
{z ∈ H : f(x, y)≥ hy−x, zi,∀y ∈C}, nếu x∈ C,
∅, nếu x /∈ C. (2.46)
Khi đó EP(f) = A−1f (0) và Af là đơn điệu cực đại với miền xác định của
Af trong C. Hơn nữa
Tr(x) = (I +rAf)−1(x), ∀r >0.
Từ Định lý 2.2.8 ta có định lý sau.
Định lý 2.2.13 Cho H1 và H2 là không gian Hilbert. Cho C là tập con đóng lồi khác rỗng của H1. Cho f : C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A1) − (A4) và ký hiệu Tλ là toán tử giải của Af (như định nghĩa trong (2.46)) với chỉ số λ > 0. Cho T : H2 → H2 là ánh xạ không giãn. Cho A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính giới nội. Giả sử EP(f) ∩
A−1Fix(T) 6=∅. Với x1 =x ∈ H1, định nghĩa
ở đây {βn} ⊂(0,1) và {λn} ⊂ (0,∞) thỏa mãn điều kiện sau đây ∞ X n=1 βn(1−βn) =∞, 0 < a ≤ λn ≤ 1 ||A||2, ∞ X n=1 |λn −λn+1|< ∞.
Khi đó, xn * z0 ∈EP(f)∩A−1Fix(T), ở đâyz0 = lim
n→∞PEP(f)∩A−1Fix(T)xn.
Chứng minh. Áp dụng dụng Định lý 2.2.8 cho trường hợp B = Af Có ngay kết quả của Định lý 2.2.13.
Định lý 2.2.14 Cho H1 và H2 là không gian Hilbert. Cho C là tập con đóng lồi khác rỗng của H1. Cho f : C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A1) − (A4) và cho Tλn là toán tử giải của Af với λn > 0 trong Định lý 2.2.12. Cho V : C → C là một ánh xạ lai ghép tổng quát và cho
T :H2 → H2 là ánh xạ không giãn. Cho A :H1 → H2 là một toán tử tuyến tính giới nội. Giả sử Fix(V)∩EP(f)∩A−1Fix(T) 6= ∅. Với x1 = x ∈ C, định nghĩa
xn+1 = βnxn+ (1−βn)V Tλn(I −λnA∗(I −T)A)xn, ∀n ∈ N,
ở đây {βn} và {λn} thỏa mãn
0 < c≤ βn ≤ d < 1, 0 < a≤ λn ≤ b < 1
kAk2.
Khi đó xn * z0 ∈ Fix(V)∩EP(f)∩A−1Fix(T), ở đây
z0 = lim
Kết luận
Những vấn đề chính của luận văn:
(1) Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian Hilbert như tích vô hướng, sự trực giao, trực chuẩn. . . đồng thời trình bày một số kiến thức của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi cùng một số ví dụ minh họa.
(2) Phần trọng tâm của luận văn trình bày các kiến thức về bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert, ứng dụng phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và giải bài toán cân bằng.
Do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp, hơn nữa do thời gian và khả năng còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô giáo và những người quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005),Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.
[2] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu (2003), Nhập môn Giải tích lồi và ứng dụng, Viện Toán học, Hà Nội.
[3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[4] Đỗ Văn Lưu, Nguyễn Đức Lạng (2010), Giáo trình Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.
[5] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.
[6] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội.
Tiếng Anh
[7] Blum E., Oettli W. (1994), "From Optimization and Variational In- equalities to Equilibrium Problems", Math. Student 63, 123–145. [8] Kocourek, P., Takahashi, W., Yao, J.C. (2010), "Fixed Point Theo-
rems and Weak Convergence Theorems for Genelalized Hybrid Map- pings in Hilbert Spaces", Taiwan. J. Math., 14, 2497–2511.
[9] Opial, Z. (1967), "Weak Covergence of the Sequence of Successive Ap- proximations for Nonexpansive Mappings", Bull. Amer. Math. Soc., 73, 591-597.
[10] Reich, S. (1979), "Weak Covergence Theorems for Nonexpansive Map- pings in Banach Spaces", J. Math. Anal. Appl., 67, 274-276.
[11] Rockafellar, R.T. (1970), "On The Maximal Monotonicity of Subdif- ferential Mappings", Pac. J. Math., 33, 209-216.
[12] Takahashi W., Xu H.K., Yao J.C. (2015), "Iterative Methods for Gen- eralized Split Feasibility Problems in Hilbert Spaces", Springer, 23, 205-221.
[13] Xu H.K. (2006), "A Variable Krasnosel’skii–Mann Algorithm and the Multiple-set Split Feasibility Problem",Inverse Probl.,22, 2021-2034.