ChoX là không gian Banach phản xạ vàX∗là không gian đối ngẫu của nó, mà cả hai được giả thiết là lồi chặt. Để cho đơn giản, chuẩn củaX vàX∗ được ký hiệu bởik · k. Ta sử dụng kí hiệuhx∗, xiđể biểu thị giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tụcx∗ tại điểmx ∈ X. Ngoài ra, ta giả thiết thêm rằng không gianX có tính chất ES.
Ta xét bài toán
Ai(x) =fi, f ∈ X∗, i= 0,1,2, . . . , N (2.34) trong đó N là một số nguyên dương cố định vàAi là một toán tử đơn điệu h-liên tục, đơn điệu và thế năng với miền xác định D(A) ≡ X vớii = 0,1, . . . , N. Nhắc
lại rằng, một toán tửAcủa miềnD(A) ⊆X vàoX∗được gọi làλ-ngược, đơn điệu mạnh, nếu đối với bất kỳ x, y ∈D(A)ta có
hA(x)−A(y), x−yi ≥ λkA(x)−A(y)k2,
ở đâyλlà một hằng số dương, đơn điệu, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây
hA(x)−A(y), x−yi ≥0
đơn điệu chặt tại một điểm y ∈ D(A) nếu dấu "=" ở bất đẳng thức cuối cùng xảy ra khi x= y, và thế năng, khi và chỉ khiA(x) = ϕ0(x), đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm lồiϕ(x). Ký hiệu Si là tập nghiệm của phương trình thứi trong (2.34). Giả thiết rằng S := ∩N
i=0Si 6= θ, giả sử fi chỉ được cho xấp xỉ bởi fiδ ∈ X∗ thỏa mãn
fi−fδi ≤δ, δ →0, vớii = 0,1, . . . , N. (2.35) Ta biết rằng trong [3], mỗi phương trình trong (2.34) là bài toán đặt không chỉnh, theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vàofi, do đó, hệ phương trình (2.34) là bài toán đặt không chỉnh. Năm 2006, để giải (2.34) trong các trường hợp fi = θ (phần tử θ trong X∗), và mỗi Ai là h-liên tục, đơn điệu và thế năng với D(Ai) = X, Nguyễn Bường đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh kiểu Browder- Tikhonov loại N P i=0 αµjAhi(x) +αU(x) =θ. µ0 = 0< µi < µi+1 <1, i = 1,2, . . . , N −1, (2.36)
khiAhi là một xấp xỉ củaAicó tính đơn điệu và h-liên tục.
Trong luận văn, ta xét phương trình hiệu chỉnh cho (2.34) bởi phương trình sau
N P i=0 αµi(Ai(x)−fiδ) +αU(x+x+) =θ µ0 = 0< µi < µi+1 <1, i = 1,2, . . . , N −1. (2.37)
Rõ ràng, ánh xạ A(·) := PNi=0αµi(Ai(·) − fiδ), với mỗi α cố định và dương là h-liên tục và đơn điệu với D(A) = X. Do đó,A là đơn điệu cực đại (xem [3]). Vì
vậy, phương trình (2.37) có nghiệm duy nhất đối với mỗiα >0. Ta sẽ chứng minh rằng nếu α, δ/α→ 0thìxδα hội tụ mạnh tớix0 ∈S, thỏa mãn
x0−x+= min
z∈S
z−x+. (2.38) Chọn tham sốα =α(δ)theo nguyên lý
ρ(α) :=αxαδ −x+= Kδp,
trong đóK > N + 2và0< p ≤1và đánh giá tốc độ hội tụ củaxδα(δ) với điều kiện
A0(y)−f0−A00(x)∗(y−x0)≤τ kA0(y)−f0k, (2.39) với y thuộc lân cận củax0 ∈ S,A00(x0)là đạo hàm củaA0 tại x0 ∈ X,A00(x0)∗là liên hợp củaA00(x0)vàτ là một hằng số cố định, và
hU(x)−U(y), x−yi ≥mUkx−yks, s≥ 2, mU >0. (2.40) Lưu ý rằng khi Ai(x) ≡ fi cho i = 1,2, . . . , N, ρ(α) = A0(xαδ)−f0δ, ta có được những nguyên lý độ lệch như trong [3]. Vì vậy, nguyên lý này được gọi là
nguyên lý tựa độ lệch.