2 Tổng lũy thừa các hệ số nhị thức
2.2.1 Các hàm phản xạ
Để chứng minh định lý Faulhaber cho tổng lũy thừa các hệ số nhị thức ta cần một số kiến thức về các hàm phản xạ được giới thiệu bởi Knuth [6].
Định nghĩa 2.6. Hàm f(x) được gọi là r-phản xạ nếu với mọi x, ta có
f(x) = f(−x−r);
và f(x) được gọi là đối -r-phản xạ nếu với mọi x, ta có
f(x) =−f(−x−r).
Dễ thấy, hàm chẵn hàm 0-phản xạ và hàm lẻ là hàm đối-0-phản xạ. Chú ý rằng
• tổng của hai hàm (đối)-r-phản xạ là một hàm (đối)-r-phản xạ;
• tích của hai hàm r-phản xạ là một hàm r-phản xạ;
• tích của một hàm đối-r-phản xạ và r-phản xạ là một hàm đối-r-phản xạ và
• tích của hai hàm đối-r-phản xạ là một hàm r-phản xạ.
Mệnh đề 2.7. Cho∇f(x) =f(x)−f(x−1). Giả sử rằng f(0) = f(−r) = 0
và hàm f được định nghĩa trên tập các số nguyên. Khi đó các điều sau là đúng:
• nếu hàm ∇f là (r −1)-phản xạ, thì f là đối-r-phản xạ;
Chứng minh. Giả sử rằng ∇f là (r −1)-phản xạ. Khi đó ta có f(N)−f(0) = N X i=1 ∇f(i) = N X i=1 ∇f(−i−r+ 1) = f(−r)−f(−N −r),
điều này kéo theo f(N) = −f(−N −r) và ta có f là đối-r-phản xạ. Nếu ∇f là đối-(r −1)-phản xạ, thì f(N)−f(0) = N X i=1 ∇f(i) = − N X i=1 ∇f(−i−r+ 1) = −f(−r) +f(−N −r). Do đó, f(N) = f(−N −r) và f là r-phản xạ. Mệnh đề 2.8 ([6], Mệnh đề 4). Một đa thức f(x) là r-phản xạ khi và chỉ khi nó biểu diễn được thành một đa thức của x(x +r) (hoặc (2x+ r)2); nó là đối-r-phản xạ khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới dạng 2x + r lần của đa thức đối với x(x+r) (hoặc (2x+r)2).
Mệnh đề 2.9. Đa thức x+kk−1 là (k −1)-phản xạ nếu k chẵn và là đối-
(k −1)-phản xạ nếu k là lẻ. Chứng minh. Ta có x+k −1 k ! = (−1)k −x k ! .
Từ đồng nhất này ta có ngay chứng minh của mệnh đề. Theo Định lý 2.4, tồn tại đa thức gk,m(x) ∈ Q[x], sao cho
fk,m(x) = x+k −1
k + 1
!
gk,m(x).
Mệnh đề 2.10. Tính chất phản xạ của hàm fk,m và gk,m như sau
• fk,m(x) là (k−2)-phản xạ nếu km+ 1 chẵn và đối-(k−2)-phản xạ nếu
km+ 1 lẻ.
Chứng minh. Đặt ∇f = f(x)−f(x−1). Vì ∇fk,m(x) = x+kk−2m, ta thấy rằng ∇fk,m(x) là (k−3)-phản xạ nếu km chẵn và đối-(k−3)-phản xạ, trong các trường hợp còn lại. Theo Định lý 2.4, f(0) = f(−(k−2)) = 0. Như vậy, theo Mệnh đề 2.7,fk,m(x)là đối-(k−2)-phản xạ nếukmchẵn và(k−2)-phản xạ, trong các trường hợp ngược lại.
Chú ý rằng gk,m = fk,m/ x+k+1k−1. Bởi vậy theo Mệnh đề 2.9, gk,m(x) là
(k −2)-phản xạ nếu km−k chẵn và đối-(k−2)-phản xạ, trong trường hợp ngược lại.
Mệnh đề 2.11. Cho k là một số lẻ. Khi đó fk,m(x) chia hết x+k+1k−1(2x+
k −2) nếu m chẵn và chia hết x+k+1k−12 nếu m lẻ và m > 1.
Chứng minh. Giả sử rằng m chẵn. Theo Mệnh đề 2.10, hàm gk,m là đối-
(k −2)-phản xạ. Điều kiện đối-(k − 2)-phản xạ đối với x = 2−2k được cho bởi
gk,m(−2−k
2 −k + 2) = gk,m(2−k
2 ) =−gk,m(2−k
2 ).
Như vậy, gk,m(2−2k) = 0 và g(x) chia hết (2x+k−2).
Bây giờ ta xét trường hợp m lẻ (m > 1). Theo Mệnh đề 2.10, hàm gk,m là
(k −2)-phản xạ. Ta có fk,m(x+ 1)−fk,m(x) = x+k k+ 1 ! gk,m(x+ 1)− x+k −1 k + 1 ! gk,m(x) = x+k−1 k !m . Như vậy, (x+k)gk,m(x+ 1)−(x−1)gk,m(x) = (k+ 1) x+k −1 k !m−1 .
Bởi vậy, đối với i = 0,−1, . . . ,−(k −1), ta có
Nói cách khác, kgk,m(1) = −gk,m(0), (k−1)gk,m(0) = −2gk,m(−1), (k −2)gk,m(−1) = −3gk,m(−2), ... gk,m(−(k −2)) = −kgk,m(−(k −1)). Như vậy, gk,m(1) = (−1)kgk,m(−(k−1)) = −gk,m(−(k −1)).
Vì gk,m(x) là (k−2)-phản xạ, điều kiện phản xạ đối với x = 1 cho bởi
gk,m(1) = gk,m(−(k −1)).
Do đó, gk,m(1) = 0 và
gk,m(−(k −1)) = · · · = gk,m(−1) = gk,m(0) = gk,m(1) = 0.
Như vậy, gk,m(x) chia hết x+k+1k−1 và fk,m(x) chia hết x+k+1k−12.