Laplace trong hình cầu
Trước hết ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu.
Theo biểu diễn của Green của hàm điều hòa , nếu ta tìm được hàm Green của toán tử Laplace trong hình cầu thì ta sẽ có công thức biểu diễn nghiệm của bào toán Dirichlet tương ứng. Do vậy ta đi xây dựng hàm Green cho trường hợp Ω = BR = BR(0). Với mỗi ξ ∈BR, hàm Green G(x,ξ) =
Γ(|x−ξ|) +h(x) vớih(x) là hàm điều hòa trong BR và có giá trị trên biên
∂Ωbằng với−Γ(|x−ξ|).
Để ý rằng hàmh(x) =Γ(λ|x−η|),λ ∈Rlà hàm điều hòa tại mọix6=η, nên nếu ta chọn η 6∈BR thì hàm đó sẽ điều hòa trong BR, do vậy chúng ta chỉ cần chọn hệ sốλ thích hợp đểh(x) =−Γ(|x−ξ|)hay|x−ξ|=λ|x−η|
khix∈R là được.
qua mặt cầu∂BR. Cụ thể, kí hiệu
ξ =
( R2
|ξ|2,ξ 6=0
∞,ξ =0
là điểm đối xứng (nghich đảo) củaξ qua mặt cầu∂BR.
Rõ ràng, nếu ξ ∈ BR thì ξ 6∈ BR nên ta có thể chọn η = ξ. Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng nếux∈∂BR thì
|x−ξ|= |ξ|
R |x−ξ|,∀ξ 6=0
nên chúng ta có thể chọnλ = |ξR|. Từ đây ta xác định được hàm Green như sau G(x,ξ) = ( Γ(|x−ξ|)−Γ |ξ| R |x−ξ|,ξ 6=0 Γ(|x|)−Γ(R),ξ =0 (2.20) Tính toán trực tiếp ta có ∂G ∂v = R 2− |ξ|2 nωnR |x−ξ|−n≥0,∀x∈∂BR
Do vậy theo biểu diễn Green (2.10), nếu u∈C(BR) là hàm điều hòa trong
BR thì ta có công thức Poisson u(ξ) = R 2− |ξ|2 nωnR Z ∂BR u |x−ξ|ndS,ξ ∈BR. (2.21) Vế phải của (2.17) được gọi là tích phân Poisson của hàmu.
Bây giờ chúng ta chủ việc chứng tỏ rằng hàm u xác định bởi công thức (2.17) đúng là nghiệm cần tìm. Điều này được khẳng định trong định lý sau:
bởi u(ξ) = R2−|ξ|2 nωnR R ∂BR u |x−ξ|ndS,ξ ∈BR ψ(x),ξ ∈∂BR (2.22)
thuộcC2(BR)∩C(BR)và thỏa mãn phương trình δu= 0 trong BR hay u là nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu
BR.
Việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong miềnΩtổng quát.