Định lí 2.2. Giả sử p, q ∈ N∗ là hai số nguyên tố và hai số nguyên không âm m, n.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm cấp pnqm, trong đó p, q là những số nguyên tố và
m, n là những số nguyên không âm. Nếu p = q hoặc mn = 0 thì G là p-nhóm. Khi đó Glà nhóm giải được theo Định lý 1.12. Bây giờ ta xét trường hợp p 6= q và
n, m∈N∗.
Giả sử G là nhóm cấp nhỏ nhất để G không là nhóm giải được. Nếu G không là nhóm đơn thìGcó một nhóm con chuẩn tắcN không tầm thường. Theo giả thiết,N
và G/N phải là những nhóm giải được bởi vì cả hai có cấp nhỏ hơn cấp của nhóm
G.Như vậy,Gcũng là một nhóm giải được theo Định lý 1.11.
Giả sửP làp-nhóm con Sylow của nhómG. Khi đó|P| = pn vàZ(P) 6= {e}theo Hệ quả 1.6. Như vậy, có phần tử g ∈ Z(P), g 6=evà suy raP là một nhóm con của
CG(g).Như trong chứng minh của Định lý 1.8 về phương trình lớp, cấp của lớp liên hợp của phần tử g bằng |G : CG(g)|. Tuy nhiên, dopn = |P| 6 |CG(g)| ta suy ra cấp của lớp liên hợp củagphải là một lũy thừa củaq.Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.5. Do vậy,Glà nhóm giải được.
Hệ quả 2.1. Mọi nhóm hữu hạn có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố đều là nhóm giải được.
Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Định lý 2.2 vớim= 0,chẳng hạn.
Hệ quả 2.2. Mọi nhóm hữu hạn có cấp là một hợp số thì nó có một nhóm con không tầm thường giải được.
Chứng minh. Kết quả suy ra từ Hệ quả 1.5 và Hệ quả 2.1.