2 Một vài loại số đặc biệt
2.5.1 Ứng dụng của số Fibonacci
Như ta đã biết, các số Fibonacci có ứng dụng rất rộng và một trong những ứng dụng đó là dùng để giải một số bài toán tổ hợp, bài toán thi Olympic và thi học sinh giỏi.
Bài 1 (Ireland National Olympiad 1999). Chứng minh rằng với mỗi số n
nguyên dương bất kì, luôn tồn tại vô hạn các số Fibonacci chia hết cho n.
Giải. Ta xét các cặp (Fi, Fi+1) theo modn với i ∈ N. Do có vô số cặp như vậy nhưng chỉ cón2 cặp theomodn, nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai cặp(Fi, Fi+1)và (Fi+m, Fi+m+1), m > 0sao cho:
Fi ≡ Fi+m(modn) Fi+1 ≡ Fi+m+1(modn)
⇒Fi−1 ≡ Fi+m−1(modn).
Lặp lại quá trình trên với mọij ∈ Nta có
Fj ≡ Fj+m(modn).
Vậy với mọi số nguyên dươngk thì
Ta có điều cần chứng minh.
Bài 2.Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiênnvớin≥ 6thì giữa Fn vàFn+1
luôn tồn tại một số chính phương.
Giải.Ta sẽ chứng minh
p
Fn+1 −pFn > 1, ∀n ≥6.
- Với trường hợp6 ≤ n ≤7bằng cách thử trực tiếp ta thấy bài toán đúng trong trường hợp này.
- Trường hợp n≥ 8, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
p Fn +Fn−1 −pFn = √ Fn−1 Fn +Fn−1 +√ Fn > 1 ⇔Fn−1 > pFn+ Fn−1 +pFn. Ta cóFn = Fn−1 +Fn−2 < 2Fn−1. Do đó p Fn+ Fn−1 +pFn < p3Fn−1 + p2Fn−1. Lại có √Fn−1 ≥ √F7 > √ 3 +√
2. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Do bất đẳng thức trên nên giữa √Fn+1 và √Fn tồn tại một số nguyên tức giữa
Fn+1 vàFn tồn tại một số chính phương.
Bài 3 (Đề chọn đội tuyển Đà Nẵng 2009-2010). Cho dãy(an)thỏa mãn:
a0 = 1, a1 = 1, an+2 = 7an+1−an−2, ∀n∈ N.
Chứng minh rằngan là một số chính phương với mọi n∈ N.
Giải. Chứng minh bằng quy nạp ta có an = (F2n−1)2. Từ đó, ta có điều cần chứng minh.
Bài 4.Đếm tất cả số cách xếp nquân Domino kích thước2×1phủ kín bảng có kích thước2×n.
1 2 3 4 . . . n−1 n n+ 1 n+ 2 n+ 3 n+ 4 . . . 2n−1 2n
Nếu 1 quân Domino phủ lên cặp ô(n,2n)thì phần còn lại là 1 bảng2×(n−1)
nên cóS(n−1).
Nếu 1 quân Domino phủ lên cặp ô(n−1, n)hoặc(2n−1,2n) thì ta bắt buộc phải phủ lên cặp ô còn lại (nếu Domino đầu tiên phủ lên (n−1, n) thì các thứ 2 phải phủ lên (2n −1,2n) và ngược lại), khi đó phần còn lại là 1 bảng2×n−2nên cóS(n−2)cách chọn.
Ta có công thức tổng quát S(n) = S(n − 1) + S(n − 2) với S(1) = 1, S(2) = 2. Dễ thấy đây là dãy Fibonacci.
Bài 5 (Bulgaria National Olympiad 1997).Cho tập Sn = {1,2, . . . , n}, hỏi có bao nhiêu tập khác rỗngSαn ⊂ Sn thỏa mãnSαn không chứa bất kì hai số tự nhiên liên tiếp nào?
Giải.Gọi An là số tập khác rỗng Sαn ⊂ Sn thỏa mãn Sαn không chứa bất kì hai số tự nhiên liên tiếp nào. Ta sẽ chứng minh
An+2 = An+1+An.
Ta có:
- Số tập Sαn+2 không chứa phần tửn+ 2sẽ bằng số tập Sαn+1.
- Số tập Sαn+2 chứa phần tử n + 2 sẽ bằng số tập Sαn (do những tập đó không chứan+ 1). Theo quy tắc cộng ta có
An+2 = An+1+An.
Lại có A1 = 1, A2 = 2. Từ đó ta có An = Fn, ∀n ∈ N∗.