Một số bài toán liên quan
2.2 Một số bài toán sơ cấp liên quan
Tiết này dành để trình bày các bài toán sơ cấp liên quan đến chủ đề nghiên cứu của luận văn. Chúng ta bắt đầu từ các bài toán: Với điều kiện nào thì đa thức bậc ba có hệ số thực có ba nghiệm đều thực.
Cho đa thức bậc ba với hệ số thực: p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với
a 6= 0. Bằng cách chia cho hệ số cao nhất a, khi đó nghiệm của đa thức mới không đổi, ta có thể giả thiết a= 1. Bằng phép đặt t =x− b
3a (xem
Tiết 1.6 trong [1]), ta có thể giả thiết b= 0. Vì vậy, đối với đa thức bậc ba, ta chỉ cần xét trường hợp p(x) =x3 +qx+r với q, r ∈ R.
Khi q = 0, r = 0 thì p(x) có x = 0 là nghiệm bội ba. Khi q = 0, r 6= 0 thì p(x) chỉ có đúng một nghiệm thực.
Xét q 6= 0. Ta có p0(x) = 3x2 +q. Nếu đa thức p(x) có các nghiệm là thực, thì p0(x) = 0 có hai nghiệm thực phân biệt. Do đó q < 0 và đa thức p0(x) = 0 có các nghiệm là − r −q 3 , r −q 3 . Ta có p − r −q 3 ! = −2q 3 r −q 3 +r, p r −q 3 ! = 2q 3 r −q 3 +r.
Rõ ràng đa thức p(x) có các nghiệm là thực khi p
− r −q 3 ≥ 0 và p r −q 3 ≤ 0. Khi đó |r| ≥ −2q 3 r −q 3 hay 27r 2 + 4q3 ≤ 0.
Vậy đa thức p(x) = x3 +qx +r có tất cả các nghiệm đều thực khi và chỉ khi q ≤ 0 và 27r2 + 4q3 ≤ 0. Chú ý rằng nếu 27r2 + 4q3 ≤ 0 thì
4q3 ≤ −27r2 ≤ 0. Do đó q ≤ 0. Vì thế ta có kết quả sau.
2.2.1 Mệnh đề. Đa thức p(x) = x3 +qx + r có các nghiệm đều thực
nếu và chỉ nếu 27r2+ 4q3 ≤ 0.
Tổng quát cho đa thức bậc ba p(x) =ax3+bx2+cx+d với a 6= 0, ta có Hệ quả của Mệnh đề 2.2.1 sau.
2.2.2 Hệ quả. Đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= 0 có các nghiệm đều thực nếu và chỉ nếu
27a2d+ 2b3 −9abc2+ 4 3ac−b23 ≤ 0.
Chứng minh. Do a 6= 0 nên đa thức p(x) = ax3 +bx2 +cx + d có các nghiệm đều thực nếu và chỉ nếu đa thức mới p1(x) = x3+b1x2+c1x+d1
cũng có các nghiệm đều thực, trong đó
b1 = b a, c1 = c a, d1 = d a. (1) Đặt t = x− b1 3, ta được đa thức p2(t) = t 3 +qt+r, trong đó q =c1 − b 2 1 3, r = d1 + 2b31 −9b1c1 27 . (2)
Đa thức p1(x) =x3+b1x2+c1x+d1 có các nghiệm đều thực khi và chỉ khi đa thức p2(t) = t3+qt+r cũng có các nghiệm đều thực. Theo Mệnh đề 2.2.1, ta có điều kiện là
27r2+ 4q3 ≤ 0. (3)
Lần lượt thế các biểu thức (1),(2) vào (3), ta được điều kiện là
27a2d+ 2b3 −9abc2+ 4 3ac−b23 ≤ 0.
Hệ quả được chứng minh hoàn toàn.
2.2.3 Bài tập. Cho p(x) là đa thức một biến x với các hệ số đều bằng
1 hoặc −1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của p(x) đều là số thực thì degp(x) ≤ 3.
Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết hệ số cao nhất của đa thức là 1. Giả sử p(x) = xn + an−1xn−1 + · · · + a0 là đa thức một biến x bậc n với các hệ số ai đều bằng 1 hoặc −1, các nghiệm của
p(x) đều thực. Gọi x1, x2, . . . , xn là n nghiệm của p(x). Theo công thức Viete, ta có
Vì thế, tiếp tục áp dụng công thức Viete ta có
x21+x22+. . .+x2n = (x1+x2+. . .+xn)2 −2X
i<j
xixj
= 1−2an−2.
Nếu an−2 = 1 thì vế phải của đẳng thức trên là 1−2an−2 < 0, trong khi đó vế trái là một số thực không âm, điều này không thể xảy ra. Do đó
an−2 = −1. Suy ra
x21+x22 +. . .+x2n = 1−2an−2 = 3.
Theo công thức Viete,
x21x22. . . x2n = |(−1)nan| = 1.
Vì thế, theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM - GM Inequality) ta có 3 = x21+x22+. . .+x2n ≥ n n q x21x22. . . x2 n = n. Vì thế n ≤ 3.
Với đa thức hệ số thực bậc bốn p(x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e với
a 6= 0, bằng cách chia cho hệ số cao nhất a và và phép đặt t = x− b
4
tương tự như đa thức bậc ba, ta có thể giả thiết a = 1, b= 0. Vì vậy, đối với đa thức bậc bốn, ta chỉ cần xét trường hợp p(x) = x4+qx2+rx+s
với q, r, s∈ R. Để tìm điều kiện để các nghiệm của đa thức đều thực, ta
viết
p(x) =x4+qx2 +rx+s = x2 +kx+l x2 +tx+m,
trong đó k, l, m, t là các số thực nào đó mà ta cần tìm. Khi các hệ số
k, l, m, t tìm được thì hoàn toàn chúng ta có thể tìm điều kiện để đa
Chú ý rằng p(x) không có hạng tử bậc ba. Bằng cách đồng nhất các hệ số của hai đa thức ở hai vế của đẳng thức trên ta suy ra t =−k, và do đó
p(x) = x4+qx2 +rx+s = x2+kx+l x2 −kx+m.
Đồng nhất các hệ số của hai đa thức ta được hệ ba phương trình
q = l+m−k2, r =k(m−l), s= lm.
Từ hai phương trình đầu tiên của hệ trên ta suy ra
2m = k2 +q + r
k,2l = k
2 +q − r
k.
Từ đó ta tính được m, l theo k (ở đây q, r đã biết), sau đó thay vào phương trình thứ ba s =lm của hệ ở phía trên ta được
k6+ 2qk4 + q2 −4sk2 −r2 = 0.
Đây là phương trình bậc ba của ẩn k2. Vì thế, dùng công thức nghiệm của phương trình bậc ba ta tìm được một giá trị k2 và do đó sẽ tìm được một giá trị của k. Thay k vừa tìm được ta tính được m, l. Thay k, m, l
vào đa thức
p(x) = x2 +kx+l x2 −kx+m,
ta tìm được điều kiện để đa thức bậc bốn p(x) có tất cả các nghiệm đều thực.
Do đó, việc tìm điều kiện của các hệ số của đa thức bậc bốn có tất cả các nghiệm đều thực phụ thuộc vào việc tìm nghiệm của một phương trình bậc ba. Vì thế, ta không tìm được điều kiện cụ thể của hệ số để đa thức bậc bốn có tất cả các nghiệm đều thực như đa thức bậc ba.
Tiếp theo, chúng ta có một số bài toán sau.
2.2.4 Bài tập. Cho đa thức p(x) = x3 +mx2 +mx+ 1. Tìm m ∈ R
Lời giải. Ta có p(x) = (x+ 1) x2+ (m−1)x+ 1. Do đó để p(x) có cả 3 nghiệm đều là số thực thì đa thức q(x) = x2 + (m−1)x+ 1 cũng có 2 nghiệm đều thực.
Khi đó ∆ = (m−1)2 −4 ≥ 0. Vậy m∈ (−∞,−1]∪[3,+∞)
2.2.5 Bài tập. Chứng minh rằng đa thức p(x) = 2x5 + 3x4 + 2x+ 16
có duy nhất một nghiệm thực.
Lời giải. Ta có p0(x) = 10x4 + 12x3+ 2. Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM - GM Inequality) ta có
3x4+ 1 ≥ 4|x|3.
Khi đó 9x4+ 2 ≥ −12x3. Hay p0(x) = 10x4+ 12x3+ 2 > 0với mọi x∈ R. Điều đó chứng tỏ rằng đa thức p(x) có nhiều nhất 1 nghiệm thực. Do đa thức p(x) có bậc 5 nên p(x) có duy nhất một nghiệm thực.
2.2.6 Bài tập. Cho đa thức p(x) = x4+ 4x3+ax2+ 4x+ 1. Tìm a∈ R
sao cho p(x) có cả 4 nghiệm đều là số thực.
Lời giải. Điều kiện cần. Áp dụng Định lý 1.2.5 ta được
a∈ (−∞,−6]∪ {6}.
Điều kiện đủ. Khi a = 6 thì
p(x) =x4+ 4x3 + 6x2 + 4x+ 1 = (x+ 1)4
có tất cả các nghiệm đều thực. Do đó a= 6 thỏa mãn. Khi a ≤ −6, ta có
p(x) = x4 + 4x3+ 6x2+ 4x+ 1 + (a−6)x2
= (x+ 1)4 + (a−6)x2.
Khi đó phương trình p(x) = 0 có dạng (x+ 1)4 = (6 −a)x2. Dễ thấy
trình cho x2 ta được x+ 1 x + 2 = 6−a. Dễ thấy rằng x+ 1 x
≥ 2. Do đó phương trình có nghiệm khi a≤ −10. Vậy p(x) có cả 4 nghiệm đều là số thực khi a∈ (−∞,−10]∪ {6}.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về đa thức hệ số thực bậc n có n nghiệm thực trong các tài liệu [3], [4], [5]:
1. Phát biểu lại một số kết quả cơ sở về nghiệm của đa thức như Định lý cơ bản của đại số, Định lý Viete, Định lý Rolle, Điều kiện không lồi Newton về đa thức có tất cả các nghiệm đều thực.
2. Phát biểu và chứng minh một số điều kiện cần cho một đa thức hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực (Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.5, Định lý 1.2.8, Định lý 1.2.11).
3. Phát biểu và chứng minh một điều kiện đủ để mọi nghiệm của đa thức đều là thực (Định lý 1.3.2).
4. Phát biểu và chứng minh mối liên hệ giữa nghiệm thực của đạo hàm và nghiệm thực của đa thức (Định lý 2.1.1).
5. Một số bài toán sơ cấp liên quan, trong đó trình bày chi tiết về đa thức bậc ba và đa thức bậc bốn.
Tiếng Việt
[1] Lê Thị Thanh Nhàn (2015), Lí thuyết đa thức, NXB ĐHQGHN.
Tiếng Anh
[2] G. H. Hardy, J. E. Littlewood and G. Pólya (1952), Inequalities, Cambridge University Press.
[3] D. C. Kurtz (1992), A sufficient condition for all the roots of a polynomial to be real, The American Mathematical Monthly, 99,
259−263.
[4] C. H. Harris Kwong, A. Tripathi (2004), Some necessary conditions for a real polynomial to have only real roots, Canadian Mathematical Society, 102−105.
[5] G. Peyser (1967), On the roots of the derivative of a polynomial with real roots, The American Mathematical Monthly, 74, 1102−1104.