3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin
3.2 Chứng minh Định lý 2
Từ giờ trở đi ta giả sử R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen - Macaulay. Để chứng minh Định lý 2 ta cần một số kết quả bổ trợ.
Bổ đề 3.2.1. dim(R/AnnR(Hmi (M)))≤ivới mọi số nguyêni≥0.
Chứng minh. Vì R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen -
Macaulay, nên khi đó theo [4, Proposition 2.5] ta có PsuppiR(M) =CosR(Hmi (M)) với mọi số nguyêni≥0(trong đó
CosR(A) ={p∈Spec(R)|HomR(Rp,A)6=0}
theo [4, p. 226]). Chú ý rằng cũng theo [4] ta có CosRHmi (M) = [ p∈AttR(Hmi (M)) Var(p) = [ p∈min AttR(Hmi (M)) Var(p), mà
min AttR(Hmi (M) =min(AnnR(Hmi (M))), cho nên ta có CosRHmi (M) = [ p∈min AttR(Hmi (M)) Var(p) = [ p∈min AnnR(Hmi (M)) Var(p) =Var(AnnRHmi (M)).
PsuppiR(M)ta có
PsuppiR(M) ={p∈SuppRM|Hpi−Rpdim(R/p)(Mp)6=0}. Suy ra
Var(AnnRHmi (M)) ={p∈SuppRM |HpRi−dim(R/p)
p (Mp)6=0}.
Từ đó, lấy tùy ýp∈Var(AnnRHmi (M)), khi đó theo trên ta cóHpi−Rdim(R/p)
p (Mp)6=0. Do đódim(R/p)≤i. Vì thếdim(R/AnnR(Hmi(M)))≤i. Điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.2.2. Lấy (x1, . . . ,xk)là một M− dãy chặt từ chiều >s. Đặt M0 =M và Mt =
M/(x1, . . . ,xt)Mvớit =1, . . . ,k. Khi đó với mọii=1, . . . ,d ta có
(AttRHmi (Mk))>s= (AttR(0 :Hi+k m (M)(x1, . . . ,xk)R))>s, (AttRHmi (Mk))s⊆(AttR(0 :Hi+k m (M)(x1, . . . ,xk)R))s ∪ k−1 [ j=0 (AttRHmi+j(Mk−j−1))s.
Chứng minh. Vì (x1, . . . ,xk) là một M− dãy chặt từ chiều >s nên xt ∈/ p với mọi p∈
Sd
i=0(AttRHmi (Mt−1)>svới mọit =1, . . . ,k.Mặt khác ta có AssRMt−1⊆
d
[
i=0
AttR(Hmi (Mt−1))
theo [3, 11.3.9]. Do đóxt ∈/ pvới mọip∈(AssRMt−1)>svới mọit =1, . . . ,k. Cho nên dim(0 :Mt−1 xt)≤s, và vì thế theo Định lý 1.3.10, ta cóHmi (0 :Mt−1xt) =0với mọii>s.
Từ dãy khớp
0→(0 :Mt−1 xt)→Mt−1→Mt−1/(0 :Mt−1 xt)→0 ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
VìHmi (0 :Mt−1 xt) =0với mọii>snên ta có phép đẳng cấu
Hmi (Mt−1)∼=Hi
m(Mt−1/(0 :Mt−1 xt))với mọii>s. Lại từ dãy khớp
0→Mt−1/(0 :Mt−1xt)−→xt Mt−1→Mt →0 ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
· · · →Hmi (Mt−1)→Hmi (Mt)→Hmi+1(Mt−1/(0 :Mt−1 xt))→ · · ·
Áp dụng đẳng cấu trên ta có hai dãy khớp
Hms(Mt−1)→Hms(Mt)→(0 :Hs+1
m (Mt−1)xt)→0, (5) 0→Hmi (Mt−1)/xt Hmi (Mt−1)→Hmi (Mt)→(0 :Hi+1
m (Mt−1)xt)→0 (6) với mọii>s. Ta chia làm hai trường hợp.
Trường hợp 1: Lấyi≥s. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5 (iii) ta có
(AttRHmi (Mt−1)/xtHmi (Mt−1))s⊆(AttRHmi (Mt−1))s.
Vìxt ∈/pvới mọip∈(AttR(Hmi (Mt−1)))>s nên từ Bổ đề 2.1.2 (i) ta có
dim(R/AnnR(Hmi (Mt−1)/xtHmi (Mt−1)))≤s.
Hơn nữa, theo Bổ đề 3.2.1 ta códimR/AnnRHms(Mt−1))≤s. Từ đó ta có thể áp dụng Bổ đề 2.1.3 cho các dãy khớp(5)và(6)vớit =kvà ta có
(AttRHmi(Mk))>s= (AttR(0 :Hi+1
m (Mk−1)xk))>s;
(AttRHmi (Mk))s⊆(AttR(0 :Hi+1
với mọi i ≥s. Vì i+1>s, áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho mọi dãy khớp trong (6) với t =
k−1, . . . ,1tương ứng với dãy phần tử(xt+1, . . . ,xk)và ta thu được
(AttR(0 :Hi+1 m (Mk−1)xk))>s=(AttR(0 :Hi+2 m (Mk−2)(xk−1,xk)R))>s =(AttR(0 :Hi+3 m (Mk−3)(xk−2,xk−1,xk))R)>s .. . =(AttR(0 :Hi+k m (M)(x1, . . . ,xk)R))>s. Do đó (AttRHmi (Mk))>s= (AttR(0 :Hi+k m (M)(x1, . . . ,xk)R))>s. Vì i+1>s, ta có thể áp
dụng lại Bổ đề 2.1.4 cho tất cả dãy khớp trong(6)vớit =k−1, . . . ,1tương ứng với dãy
phần tử(xk+1, . . . ,xk)ta có (AttR(0 :Hi+1 m (Mk−1)xkR))s ⊆(AttR(0 :Hi+2 m (Mk−2)(xk−1,xk)R))s∪(AttR(Hmi+1(Mk−2)))s .. . ⊆(AttR(0 :Hi+k m (M)(x1, . . . ,xk)R))s∪ k−1 [ j=1 (AttRHmi+j(Mk−j−1))s. Vì vậy (AttR(Hmi (Mk)))s⊆(AttR(0 :Hi+k m (M)(x1, . . . ,xk)R))s∪ k−1 [ j=0 (AttRHmi+j(Mk−j−1))s,
như điều ta mong muốn.
Trường hợp 2: Lấy i<s. Theo Bổ đề 3.2.1 ta có dim(R/AnnR(Hmi (Mk)))≤i<s. Do đó theo Bổ đề 2.1.2(ii) ta có(AttR(Hmi (Mk)))≥s= /0. Vì thế bao hàm cuối của bổ đề là đúng. Bây giờ ta chứng minh (AttR(0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . ,xk)R))>s = /0. Nếu i+k≤s thì
(AttR(0 :Hi+k
tại số nguyênh>0sao choi+k=s+h. Chú ý rằng(AttR(Hms(Mh)))>s= /0theo Bổ đề 2.1.3 và 3.2.1. Do đó từ Trường hợp 1 dẫn đến (AttR(0 :Hs+h m (M)(x1, . . . ,xh)R))>s= (AttR(Hms(Mh)))>s= /0. Vì i<s nên ta có k>h. Do vậy (0 :Hi+k m (M)(x1, . . . ,xk)R)⊆(0 :Hs+h m (M) (x1, . . . ,xh)R). Điều đó kết hợp với Bổ đề 2.1.2(ii) ta thu được
(AttR(0 :Hi+k
m (M)(x1, . . . ,xk)R))>s= (AttR(0 :Hs+h
m (M)(x1, . . . ,xk)R))>s= /0, như vậy bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 3.2.3. Một dãy(x1, . . . ,xk)các phần tử củamlà mộtM−dãy chặt từ chiều>s
nếu và chỉ nếu nó là mộtHmi (M)−đối dãy từ chiều >svới mọii=0, . . . ,d.
Chứng minh. Giả sử(x1, . . . ,xk)là mộtM−dãy chặt từ chiều>s. Lấyi≥0là số nguyên và lấy j∈ {1, . . . ,k}. Giả sử rằngp∈(AttR(0 :Hi
m(M)(x1, . . . ,xj)R))>s. Ta cần chứng tỏ
rằngxj+1∈/p. Nếui≥ j thì
(AttR(0 :Hi
m(M)(x1, . . . ,xj)R))>s= (AttRHmi−j(M/(x1, . . . ,xj)M))>s
theo Bổ đề 3.2.2. Do đóp∈(AttRHmi−j(M/(x1, . . . ,xj)M))>s, và vì thế xj+1∈/p. Giả sử i< j. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5(ii) và Bổ đề 3.2.2 ta có
(AttR(0 :Hi
m(M)(x1, . . . ,xi)R))>s= (AttRHm0(M/(x1, . . . ,xi)M))>s⊆ {m}.
Nếu(AttRHm0(M/(x1, . . . ,xi)M))>s=/0thì(AttR(0 :Hi
m(M)(x1, . . . ,xi)R))>s= /0. Vìi< j, ta nhận được từ Bổ đề 2.1.2(ii) rằngp∈(AttR(0 :Hi
m(M)(x1, . . . ,xj)R))>s= /0, đây là điều
mâu thuẫn. Như vậy
Từ đó nếu lấy p∈(AttRHm0(M/(x1, . . . ,xi)M))>s, thì dim(R/p) =dim(R/m) =0>s. Suy ra s=−1vàxi+1 không là một phần tử M/(x1, . . . ,xi)M−chính quy chặt từ chiều >−1, đó là điều mâu thuẫn. Vì thế(x1, . . . ,xk)là mộtHmi (M)−đối dãy từ chiều>svới mọii=0, . . . ,d.
Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại bằng quy nạp theok. Trường hợp k=1 được
suy ra ngay lập tức từ định nghĩa củaM−dãy chặt từ chiều>s. Lấyk>1. Rõ ràng rằng
(x1, . . . ,xk−1)là mộtHmi (M)− đối dãy từ chiều>svới mọi i=0, . . . ,d. Do đó ta nhận
được từ giả thiết quy nạp rằng(x1, . . . ,xk−1)là mộtM−dãy chặt từ chiều>s. Từ đó kết hợp với Bổ đề 3.2.2 ta được
(AttR(Hmi(M/(x1, . . . ,xk−1)M)))>s= (AttR(0 :Hi+k−1
m (M)(x1, . . . ,xk−1)R))>s
với mọii≥0. Do đó theo giả thiết ta cóxk ∈/pvới mọi
p∈(AttR(Hmi (M/(x1, . . . ,xk−1)M))>s
với i≥0. Vì thế ta được (x1, . . . ,xk) là một M− dãy chặt từ chiều >s, đó là điều phải chứng minh.
Từ các Hệ quả 2.1.6 và 3.2.3 ta có kết quả sau đây.
Hệ quả 3.2.4. Nếu (x1, . . . ,xk)là mộtM− dãy chặt từ chiều >s thì (xn1
1 , . . . ,xnk
k )cũng là mộtM−dãy chặt từ chiều>svới mọi số nguyên dươngn1, . . . ,nk.
Dưới đây ta phát biểu lại Định lý 2 và đưa ra chứng minh.
Định lý 3.2.5. Giả sửRlà vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen - Macaulay. Lấy(x1, . . . ,xk)làM−dãy chặt từ chiều>s. Khi đó ta có
(i) Các tập hợp(AttRHmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M))>svà(AttR(0 :Hi m(M)(xn1 1 , . . . ,xnk k )R))>slà độc lập vớin1, . . . ,nk với mọii≥0;
(ii)(AttRHmi (M/(x1, . . . ,xk)M))>s= (AttR(0 :Hi+k
m (M)(x1, . . . ,xk)R))>svới mọi i≥0; (iii) Các tập hợp [ n1,...,nk (AttR(0 :Hi m(M)(xn1 1 , . . . ,xnk k )R))≥svà [ n1,...,nk (AttR(Hmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M))≥s
là hữu hạn với mọii≥0.
Chứng minh. (i) Lấyn1, . . . ,nk là các số nguyên dương. Khi đó(xn1
1 , . . . ,xnk
k )là mộtM−
dãy chặt từ chiều>stheo Hệ quả 3.2.4. Khi đó theo Hệ quả 3.2.3 ta thu được(x1, . . . ,xk)
là một Hmi (M)− đối dãy từ chiều >s với mọi i= 0, . . . ,d. Do đó từ Định lý 1 ta có
(AttR(0 :Hi
m(M) (xn1
1 , . . . ,xnk
k )R))>s không phụ thuộc vào n1, . . . ,nk với mọii ≥0. Theo Bổ đề 3.2.2, ta có đẳng thức (AttRHmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M))>s= (AttR(0 :Hi+k m (M)(xn1 1 , . . . ,xnk k )R))>s. Do đó(AttRHmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk
k )M))>sđộc lập vớin1, . . . ,nk với mọii≥0. (ii) được suy ra bởi Bổ đề 3.2.2.
(iii) Lấy i∈ {0,1, . . . ,d}. Vì (x1, . . . ,xk)là mộtHmi (M)− đối dãy từ chiều>s, nên kết hợp với Định lý 1 ta có [ n1,...,nk AttR(0 :Hi m(M)(xn1 1 , . . . ,xnk k )R))>s
là một tập hữu hạn. Từ khẳng định (i) ta thu được rằng
[
n1,...,nk
(AttRHmi (M/(xn1
1 , . . . ,xnk
là tập hữu hạn. Do đó ta chỉ cần chứng tỏ rằng [ n1,...,nk (AttRHmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M))s
là một tập hợp hữu hạn. Ta chứng minh điều đó bằng quy nạp theo k. Lấy k=1 và đặt
x=x1. Khi đóxn là mộtM−dãy chặt từ chiều>stheo Hệ quả 3.2.4. Từ đó kết hợp với Bổ đề 3.2.2 ta suy ra rằng
(AttRHmi(M/xnM))s⊆(AttR(0 :Hi+1
m (M)xn))s∪(AttRHmi (M))s. Vì S
n(AttR(0 :Hi+1
m (M)xn))s là tập hữu hạn, nên ta thu được S
n(AttRHmi (M/xnM))s là tập hữu hạn, do vậy kết quả là đúng vớik=1. Giả sửk>1. Lấy các số nguyên dương
n1, . . . ,nk tùy ý, khi đó theo Hệ quả 3.2.4 ta được(xn1
1 , . . . ,xnk
k )là một M− dãy chặt từ chiều >s. Từ đó theo Bổ đề 3.2.2 ta suy ra rằng (AttRHmi (M/(xn1
1 , . . . ,xnk k )M))s được chứa trong tập (AttR(0 :Hi+k m (M)(xn1 1 , . . . ,xnk k )R))s∪ k−1 [ j=0 (AttRHmi+j(M/(xn1 1 , . . . ,xkn−k−jj−−11)M))s. Vìk− j−1≤k−1với mọi j =0, . . . ,k−1, nên ta có theo giả thiết quy nạp rằng tập
hợp k−1 [ j=0 [ n1,...,nk−j−1 (AttRHmi+j(M/(xn1 1 , . . . ,xknk−−jj−−11)M))s
là hữu hạn. Hơn nữa tập hợpS
n1,...,nk(AttR(0 :Hi+k m (M)(xn1 1 , . . . ,xnk k )R))s là hữu hạn theo Định lý 1. Vì thế S n1,...,nk(AttRHmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M))s là một tập hữu hạn. Định lý được chứng minh.
Hệ quả 3.2.6. Giả sử s∈ {−1,0,1}. Lấy(x1, . . . ,xk)là một M− dãy chặt từ chiều>s. Khi đó với mỗi số nguyên i≥0, các tập hợp S
n1,...,nkAttR(0 :Hi m(M) (xn1 1 , . . . ,xnk k )R) và S n1,...,nkAttRHmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M)là hữu hạn.
Kết luận
Tóm lại, luận văn này đã trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả chính trong bài báo “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules” của L.T. Nhàn và N. V. Hoàng đăng trên tạp chíJournal of Algebra and Its Applicationsnăm 2014. Kết quả chính của luận văn gồm những nội dung sau:
1. Hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả chính của luận văn: môđun Artin, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, tập Att của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, đối ngẫu Matlis, vành Cohen - Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, đối dãy từ chiều >s, khái niệm dãy chặt từ chiều>s.
2. Chứng minh được: Giả sử(x1, . . . ,xk) là mộtA− đối dãy từ chiều>s. Khi đó tập
(AttR(0 :A(xn1
1 , . . . ,xnk
k )R))>skhông phụ thuộc vào sự lựa chọn củan1, . . . ,nk và tập S
n1,...,nk(AttR(0 :A(xn1
1 , . . . ,xnk
k )R))≥slà hữu hạn.
3. Chứng minh được: Giả sửRlà vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen - Macaulay. Lấy(x1, . . . ,xk)làM−dãy chặt từ chiều >s. Khi đó
(i) các tập(AttRHmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M))>svà(AttR(0 :Hi m(M)(xn1 1 , . . . ,xnk k )R))>slà độc lập vớin1, . . . ,nk với mọii≥0.
(ii)(AttRHmi (M/(x1, ...,xk)M))>s= (AttR(0 :Hi+k
m (M)(x1, ...,xk)R))>svới mọii≥0.
(iii) Với mỗi i ≥0, tập hợp S
n1,...,nk(AttR(0 :Hi m(M) (xn1 1 , . . . ,xnk k )R))≥s và tập hợp S n1,...,nk(AttR(Hmi (M/(xn1 1 , . . . ,xnk k )M))≥slà hữu hạn.
Tài liệu tham khảo
[1] M.Brodmann (1979), “Asymptotic stability of AssR(M/InM)”, Proc. Amer. Math. Soc., 74, 16 -18.
[2] M. Brodmann and L. T. Nhan (2008), “A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules”,Comm. Algebra, 36, 1527-1536.
[3] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), “Local Cohomology: An Algebraic Intro- duction with Geometric Applications”, Cambridge University Press.
[4] M. Brodmann and R. Y. Sharp (2002), “On the dimension and multiplicity of local cohomology modules”,Nagoya Math. J., 167, 217-233.
[5] N. T. Cuong, M. Morales and L. T. Nhan (2004), “The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions”, J. Pure Appl. Algebra, 189, 109-121.
[6] M. Katzman (2002), “An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module”,J. Algebra, 252, 161-166.
[7] I. G. Macdonald (1973), “Secondary representation of modules over a commutative ring”,Sympos. Math, 11, 23-43.
[8] H. Matsumura (1986),Commutative ring theory, Cambridge University Press.
[9] L. T. Nhan and N. V. Hoang (2014), “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications, 13, 1350063 (14 pages).
[10] A. Ooishi (1976), “Matlis duality and the width of a module”,Hiroshima Math. J., 6, 573-587.
[11] R. Y. Sharp (1975), “Some results on the vanishing of local cohomology modules”,
Proc. London Math. Soc., 30, 177-195.
[12] R. Y. Sharp (1986), “Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals”,