của √a + √
b
Như đã trình bày trong Chương 1, nếu F là một trường chứa trường K và α là một phần tử của F đại số trên K thì tồn tại duy nhất một đa thức f(x) ∈ K[x]bất khả quy trên K có dạng chuẩn nhận α làm nghiệm. Khi đó đa thứcf(x) được gọi là đa thức bất khả quy củaα. Với a, blà hai số nguyên dương, số thực √a + √
b là đại số trên Q, do đó nó có đa thức bất khả quy trên Q. Mục tiêu của tiết này là xét tính khả quy của đa thức này trên trường Zp với mọi số nguyên tốp(chú ý rằng đa thức này là bất khả quy trênQtheo định nghĩa).
Định nghĩa 2.4.1. Nếu F là một trường chứa trường K thì ta viết K ⊆ F hay F/K là một mở rộng trường. Rõ ràng F có cấu trúc tự nhiên như một K-không gian véc tơ. Chiều của không gian này được gọi là bậc của mở rộng
F/K và kí hiệu là[F : K]. Nếu[F : K] < ∞thì ta nóiF/K làmở rộng hữu hạn. Chúy ý rằng nếu F/K và T /F là các mở rộng hữu hạn thì ta có công thức bậc [T : K] = [T : F][F : K]. Nếu mỗi phần tử của F đều đại số trên K thì ta nóiF/K làmở rộng đại số.
Kết quả sau đây đã được biết trong chương trình đại học.
Bổ đề 2.4.2. Nếu trường E là một mở rộng hữu hạn của trường K và trường
T là một mở rộng hữu hạn của trường E thì ta có công thức bậc
Cho E là một trường mở rộng của trường K và a1, a2, . . . an là các phần tử củaE. Kí hiệuK(a1, . . . , an)là trường con bé nhất củaE chứaK và chứa a1, . . . , an. Chú ý rằng nếu α ∈ E là phần tử đại số trên K thì trường K(α)
là một mở rộng hữu hạn củaK. Hơn nữa, nếu p(x) ∈ K[x]là đa thức bất khả quy củaα thì ta có công thức bậc
degp(x) = [K(α) : K]. Định lí sau đây là kết quả chính của tiết này.
Định lí 2.4.3. Choa 6= b ∈ Zsao choa vàbđều không là bội củap2 với mọi số nguyên tố p. Khi đó đa thức bất khả quy của √
a+ √
b trên Q là đa thức bậc4và khả quy trongZp[x]với mọi số nguyên tốp.
Chứng minh của Định lí cần đến một số kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm và lí thuyết trường. Trước hết chúng ta trình bày các kiến thức chuẩn bị này.
Bổ đề 2.4.4. Nếu a, bnguyên dương thì Q(√
a+√
b) =Q(√
a,√
b). Chứng minh. Hiển nhiênQ(√
a+√ b) ⊆ Q(√ a,√ b). Vìa 6= b nên ta có 1 a−b( √ a−√b) = 1 √ a+√ b ∈ Q(√ a+ √ b). Do đó√a−√b ∈ Q(√ a+√ b), vì vậy√a,√ b ∈ Q(√ a+√ b).
Bổ đề 2.4.5. Cho hai số nguyên dương a, b sao cho a và b đều không là bội củap2 với mọi số nguyên tố p. Khi đó
h Q(√ a+√ b) : Qi = hQ(√ a;√ b) : Qi = 4.
Chứng minh. Lấy p là một số nguyên tố. Vì a không là bội của p2 theo giả thiết nên đa thứcx2 −alà bất khả quy trênQtheo tiêu chuẩn Eisenstein. Do đóx2 −a là đa thức bất khả quy của√atrên Q. Suy ra
[Q(√
a) : Q] = deg(x2 −a) = 2. Theo công thức bậc của mở rộng trường ta có
h Q(√ a+√ b) : Qi = hQ(√ a+√ b) : Q(√ a)i.Q(√ a) : Q . Do đó ta chỉ cần chứng minh hQ(√ a+√ b) : Q(√ a)i = 2. Ta chú ý rằng √b là một nghiệm của x2 − b ∈ Q(√ a)[x]. Giả sử x2 − b là khả quy trên Q(√
a). Khi đó x2 − b là tích của hai đa thức bậc nhất với hệ số trên Q(√
a). Vì thế 2 nghiệm của đa thức x2 − b cũng phải thuộc vào trường Q(√
a). Một trong hai nghiệm này là √b. Do đó tồn tại c0, c1 ∈ Q thỏa mãn √b = c0 + c1√
a, nghĩa là b = c20 + c21a+ 2c0c1√
a. Nếu c0c1 6= 0 thì
√
a = (b−c20 −c21a)/(2c0c1) ∈ Q, mâu thuẫn với giả thiết vềa. Nếu c1 = 0
thì√b = c0 ∈ Q, mâu thuẫn với giả thiết vềb. Do đóc0 = 0. Suy rab = c21a. Vìbkhông là bội củap2 với mọi số nguyên tốpnênc1 = 1hoặcc1 = −1.Vì
√
b = c1√
a nênc1 là số dương, do đóc1 = 1. Suy ra√b = √
a, tức làa = b, mâu thuẫn với giả thiết. Do đó
h Q(√ a+√ b) : Q(√ a)i = Q(√ a) : Q = 2. Suy ra Q(√ a,√ b) : Q] = [Q(√ a+√ b) : Q(√ a)][Q(√ a) : Q] = 2×2 = 4.
Cho plà số nguyên tố, a, blà số nguyên vàa ∈ Zp. Ta nói rằnga là chính phương trong Zp nếu tồn tại b ∈ Zp sao cho a = b2 ∈ Zp. Bổ đề sau đây chỉ
ra rằng trong trườngZp, tích của hai phần tử không chính phương là một phần tử chính phương.
Bổ đề 2.4.6. Cho plà số nguyên tố vàa, b ∈ Zp. Nếuavà bđều không chính phương trong Zp thìab là chính phương trongZp.
Chứng minh. Kí hiệu Z∗
p là tập các phần tử khả nghịch trong Zp. Khi đó Z∗ p
là một nhóm với phép nhân. Vì p là số nguyên tố nên Z∗
p = Zp\{0}. Do đó nhóm Z∗ p có cấp p−1. Ta định nghĩa đồng cấu nhómϕ : Z∗ p → Z∗ p cho bởi ϕ(x) =x2.
Đặt H = Imϕ. Khi đó H là tập các phần tử chính phương trong Z∗ p. Tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.1, ta có thể chỉ ra rằng Kerϕ =
{1, p−1}.
Đặt H := Imψ từ Kerψ = {1;p−1}. Theo Định lí đồng cấu nhóm ta có H ∼= Z∗
p/Kerϕ. Vì nhóm Z∗
p có cấp p− 1 và Kerϕ có cấp 2 nên theo Định lí Lagrange ta suy ra Kerϕ có chỉ số (p − 1)/2. Chú ý rằng chỉ số của nhóm conKerϕchính là số phần tử của nhóm thương Z∗
p/Kerϕ. Vì thế nhóm Z∗
p/Kerϕ có cấp (p − 1)/2, và từ đẳng cấu trên ta suy ra H có cấp
(p − 1)/2. lại theo Định lí Lagrange ta suy ra H có chỉ số 2, tức là nhóm thươngZ∗
p/H chỉ có2phần tử, phần tử thứ nhất là H1và phần tử thứ hai giả sử là Hc. Cho a, b ∈ Zp không là phần tử chính phương. Khi đó a, b không thuộc H. Do đó ta phải có Ha 6= H1 và Hb 6= H1. Suy ra Ha = Hc và Hb = Hc. Do c2 ∈ H nên Hc2 = H1 và vì thế ta có Hab = Hc2 = H1. Điều này chứng tỏab ∈ H, tức là ablà phần tử chính phương trong Zp.
Chứng minh Định lý 2.4.3. Đa thức φ(x) = x4 − 2(a + b)x2 + (a − b)2
có nghiệm√a+√
b. Vì đa thức này có bậc 4và có dạng chuẩn nên theo Bổ đề 2.4.5 ta suy ra nó là đa thức bất khả quy của √a + √
b trên Q. Bây giờ xétφ[p](x)là ảnh củaφ(x)trong vànhZp[x]bằng cách lấy các hệ số modunp
nguyên tố. Nếup= 2thìφ[2](x) =x4+ (a+b)2 = [x2−(a+b)][x2+ (a+b)], do đó φ[2](x) là khả quy trên Z2. Giả sử p ≥ 3là số nguyên tố. Nếu a chính phương trong Zp, tức là tồn tại α ∈ Zp sao cho α2 = a thì Z(√
a+ √ b) = Zp(√ b). Do vậy [Zp(√ a +√ b) : Zp] = 2, điều này chứng tỏ ϕ[p](x) là khả quy trên Zp. Tương tự, nếu b chính phương trong Zp, tức là tồn tại β ∈ Zp
sao choβ2 = bthìZ[p](x) là khả quy trên Zp. Nếu cả avàb đều không chính phương trong Zpthì theo Bổ đề 2.4.6 ta suy raab chính phương trongZp, tức là tồn tại γ0 ∈ Zp sao choγ02 = ab, do đó
φ[p](x) = x4 −2(a+b)x2 + (a−b)2 = [x2 −(a+b)]2 −4ab
= [x2 −(a+ b)2]2 −(2γ0)2
= [x2 −(a+ b)−2γ0][x2 −(a+b) + 2γ0].
Do vậyφ[p](x) khả quy trên Zp. Vậy đa thức bất khả quy của√a+√
b là bất khả quy trên Qnhưng khả quy trên mọi trườngZp.
Ví dụ 2.4.7. (i) Chona = 2vàb = 3. Rõ ràngavàbđều không là bội của bình phương một số nguyên tố. Do đó đa thức bất khả quy của√2 + √
3bất khả quy trênQnhưng khả quy trên mọi trườngZp. Đa thức này là x4−10x2+ 1. (ii) Chọn a = 6và b = 2. Rõ ràng a, b đều không là bội của bình phương một số nguyên tố. Do đó đa thức bất khả quy của √6 + √
2 là bất khả quy trên Qnhưng khả quy trên mọi trường Zp.Đa thức này là x4 −16x2 + 16.
Kết luận
Trong luận văn chúng tôi đã trình bày được các kết quả sau:
(1) Trình bày khái niệm và tính chất cơ sở về đa thức bất khả quy, đa thức bất khả quy của một phần tử đại số trên một trường;
(2) Trình bày một số tiêu chuẩn bất khả quy quen biết trên Q;
(3) Chứng minh mối quan hệ giữa tính bất khả quy trên Qvà trênZp; (4) Chứng minh lại tiêu chuẩn bất khả quy trên Q và khả quy trên mọi trường Zp của đa thức bậc4trùng phương trong bài báo [2].
(5) Chứng minh lại tiêu chuẩn khả quy trên mọi trườngZp của đa thức bất khả quy của phần tử √a+√