7. Kết cấu của luận án
1.1.3 Mô hình toán học và phương trình động học tổng quát của AUV
Mô hình hóa AUV thường dựa trên thiết kế cơ khí, các nguyên lí động học và tĩnh học. Tĩnh học ở đây là quan tâm tới vấn đề cân bằng của AUV khi không có lực tác dụng hoặc đang di chuyển với vận tốc không đổi. Động học giải quyết bài toán gia tốc chuyển động khi có sự tác động của lực từ chân vịt hoặc lực bên ngoài [4], [7], [8], [9], [10].
Để xây dựng mô hình toán học cho AUV, chúng ta có thể xem AUV trong không gian như một robot có 6 bậc tự do độc lập (6 DOF), xem AUV như một vật rắn, chuyển động xoay của Trái Đất không ảnh hưởng đến gia tốc của khối tâm và các hệ số thủy động lực học là hằng số [21], [22], [26- 28], [31].
Khi phân tích chuyển động của tàu trong 6 DOF, để thuận tiện người ta đưa ra 2 hệ trục tọa độ có tâm trái đất làm tham chiếu như hình dưới. Ngoài ra cũng còn có thêm nhiều hệ trục tọa độ khác phù hợp với từng mục đích nghiên cứu.
Hình 1.3 Hệ trục tọa độ ECEF Hệ trục tọa độ tham chiếu tâm Trái Đất:
•Hệ trục tọa độ ECI (the Earth-centered Earth-fixed): {i} = (xi, yi, zi) là một hệ trục tọa độ quán tính được dùng trong định hướng trên mặt đất,
thống định hướng quán tính. Gốc {i} được đặt tại tâm Oi của Trái Đất như hình 1.3
•Hệ trục tọa độ ECEF (the Earth-centered Earth-fixed): {e} = (xe, ye, ze) có tâm Oe đặt tại tâm của Trái Đất nhưng các trục thì lại quay tương đối so với hệ trục ECI ( được cố định trong không gian) với vận tốc góc là = 7.2921 × 10−5 rad/s. Đối với các thiết bị di chuyển với tốc độ tương đối thấp, ảnh hưởng do sự xoay của Trái Đất có thể được loại bỏ, do đó hệ {e} có thể được xem như là hệ quán tính. Tuy nhiên khi xét đến sự trôi của tàu thì không nên loại bỏ sự quay của Trái Đất. Hệ tọa độ {e} thường được sử dụng cho định hướng, dẫn đường và điều khiển toàn cầu, ví dụ để mô tả chuyển động và vị trí của tàu bè khi di chuyển từ lục địa này sang lục địa khác.
Các hệ trục tọa độ địa lý:
• Hệ trục tọa độ NED (the North-East-Down): Đây là hệ trục tọa độ mà chúng ta luôn đề cập đến thường ngày. {n} = (xn, yn, zn) với gốc On được
định nghĩa liên quan tới mặt ellipsoid tham chiếu của Trái Đất. Nó thường được định nghĩa như là một mặt phẳng tiếp xúc trên bề mặt Trái Đất di chuyển cùng với AUV, nhưng có các trục hướng theo các hướng khác so với các trục cố định của AUV. Đối với hệ trục này thì trục x hướng về phương Bắc, trục y hướng về hướng Đông còn trục z thì chỉ xuống dưới bề mặt Trái Đất. Vị trí của {n} tương đối so với {e} được xác định bằng việc sử dụng hai góc l và μ( kinh độ và vĩ độ).
•Hệ trục tọa độ BODY của AUV (the body-fixed reference frame):
{b}=(xb, yb, zb) với gốc Ob là một hệ tọa độ chuyển động, nhưng cố định so với AUV. Vị trí và hướng của AUV được mô tả tương đối so với hệ trục quán tính (xấp xỉ bởi {e} hoặc {n} ) trong khi đó vận tốc dài và vận tốc góc của AUV nên được mô tả trong hệ trục tọa độ body-fixed. Gốc Ob thường được chọn trùng với điểm giữa của AUV, được gọi là CO. Đối với các phương tiện hàng hải, các trục của hệ BODY được chọn như hình 1.4:
Hình 1.4 Các vận tốc u, v, w, p, q, r trong hệ tọa độ Body-fixed.
- xb: trục dọc (từ đuôi tàu đến mũi tàu)
- yb: trục ngang (mạn tàu hướng từ trái qua phải). - zb: trục vuông góc (hướng từ trên xuống đáy tàu).
Bảng 1. 3 Bảng quy ước các đại lượng
Lực và Vận tốc dài Vị trí và
DOF Chuyển động Moment và vận tốc góc góc
Euler 1 Chuyển động trong trục x X u x (surge) 2 Chuyển động trong trục y Y v y (sway) 3 Chuyển động trong trục z Z w z (heave)
4 Quay quanh trục x (roll, heel) K p
5 Quay quanh trục y (pitch, M q
trim)
6 Quay quanh trục z (yaw) N r
Các chuyển động chung của AUV trong hệ tọa độ 6 DOF có thể được mô tả thành các vector sau:
= [ ,Θ ], = [ , , ] ,Θ = [ , , ] ;
Trong đó:
: vector vị trí và hướng của AUV trong hệ trục tọa độ {n}. : vị trí của hệ trục tọa độ {b} so với hệ trục tọa độ {n}. Θ: góc xoay giữa hệ trục tọa độ {b} và hệ trục tọa độ {n}.
: vector vận tốc dài và vận tốc góc của AUV ({b} so với {n}) trong hệ tọa độ {b}.
: vận tốc dài của AUV ({b} so với {n}) trong hệ tọa độ {b}. : vận tốc góc của AUV ({b} so với {n}) trong hệ tọa độ {b}. : lực và moment tác động lên AUV trong hệ trục tọa độ {b}. : lực tác động lên AUV trong hệ trục tọa độ {b}.
ɱ: moment tác động lên AUV trong hệ trục tọa độ {b}.
Sự chuyển đổi giữa hệ BODY và hệ NED:
Hệ trục tọa độ {b} được xác định hướng so với hệ trục tọa độ quy chiếu {n} bằng 3 góc roll ( ), pitch ( ) và yaw ( ).
Nếu xoay hệ trục tọa độ {b} xung quanh trục z, y, x của hệ trục tọa độ {n} ta có các ma trận chuyển đổi lần lượt như sau:
1 0 0 0 − = [0 ] , = [ 0 1 0 ] , , , 0 − 0 (1.1) 0 , = [− 0] 0 0 1
Chúng ta kết hợp 3 phép xoay ở trên để có được ma trận chuyển đổi :
= , , , (1.2) = [ − − + + − ]
Hình 1.5 Các góc xoay Euler.
Ta được công thức:
̇= /
(1.3) Theo tài liệu [5], ta có được ma trận chuyển đổi vận tốc góc từ hệ tọa độ {b} sang hệ tọa độ {n} như sau:
= Θ ̇
(1.4)
1 (1.5)
= [0 − ]
0 / /
Cần lưu ý là ma trận không xác định tại góc pitch Với một lượng góc xoay nhỏ , , ma trận giản thành: 1 0 0 1 − ] = [ 0 1
= ±900 . được viết đơn
Động học:
Tổng kết lại những phần trên, ta được phương trình động học 6 DOF dưới dạng vector như sau:
= ( )V ̇ ̇ = [ 03 3 / (1.7) [ ] ] [ ] Θ ̇ 0 3 3 / Động lực học:
Phương trình chuyển động của vật rắn:
/ /
trình cân bằng lực và moment như sau: [ ̇ + ̇ × + × + × ( × )] = (1.8) / / / / / / ̇ + × ( ) + × ( ̇ + × ) = ɱ (1.9) / / / / / / Trong đó:
= [ , , ] : lực tác dụng qua tâm Ob được biểu diễn trong {b}.
ɱ = [ , , ] : moment đối với Ob được biểu diễn trong {b}.
= [ , v, ] : vận tốc dài của Ob đối với On được biểu diễn trong
{b}.
= [ , , ] : vận tốc góc của {b} so với {n} được biểu diễn trong
{b}.
= [ , , ] : vector từ Ob đến CG được biểu diễn trong {b}.
Từ trên ta suy ra phương trình các lực và moment trên AUV:
[ ̇− v + − ( 2 +2) + ( − ̇)+ ( + ̇)] = [v ̇− + − ( 2 +2) + ( − ̇)+ ( + ̇)] = [ ̇− + v − ( 2 + 2) + ( − ̇) + ( + ̇)] = ̇+ ( − ) − ( ̇+ ) + ( 2 − 2) + ( − ̇)
(1.10)
+ [ ( ̇− v + ) − ( ̇− + v )] =
̇+ ( − ) − ( ̇+ ) + ( 2 − 2)
+ ( − ̇)
+ [ (v ̇− + ) − ( ̇− v + )] =
Với Ib là moment quán tính đối với gốc Ob , ta có:
− − (1.11)
= [− − ], = > 0
− −
Với , , là momen quán tính đối với trục xb , yb, zb và = ,
= ,=là momen quán tính ly tâm được định nghĩa như sau:
= ∫( 2 +2) ; = ∫ = ∫ = (1.12) = ∫( 2 +2) ; = ∫ = ∫ = = ∫( 2 + 2) ; = ∫ = ∫ =
Nếu chọn gốc tọa độ Ob trùng với trọng tâm của AUV thì phương trình sẽ đơn giản hơn trong quá trình tính toán.
( ̇− v + ) = (v ̇− + ) = ( ̇− + v ) = ̇+ ( − ) = ̇+ ( − ) = ̇+ ( − ) = = [0,0 , 0] , (1.13)
Phương trình tổng quát của AUV khi độ sâu không đổi được viết lại thành: ̇ 0 − − − (1.14) [ ̇] = [ ̇ ̇] [ ] + [ ̇] ̇ ̇ 0 0 − 0 1 0 0 0
Trong đó: là góc bánh lái ở đuôi của AUV, là vận tốc của AUV.