Tương tự như mục 3.2, trong mục này chúng tôi thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto loại II và bài toán tựa tối ưu Pareto loại II.
3.4.1. Bài toán tựa cân bằng loại II
Hệ quả 3.4.1. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.3 và F(y, x, x)∩C 6= ∅ với mọi (x, y) ∈ D ×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x¯) 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Chứng minh. Bởi chứng minh Định lý 3.3.3, tồn tại x¯ ∈ P1(¯x) và
max z∈F(y,¯x,x¯) hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,x¯) hξ, zi với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯), trong đó ξ ∈ C0+ cố định. Từ F(y,x,¯ x¯)∩C 6= ∅, max z∈F(y,x,¯x¯) hξ, zi ≥ 0. Suy ra max z∈F(y,x,x¯) hξ, zi ≥ 0 với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯). (3.10) Ta chỉ ra F(y, x,x¯) 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Giả sử tồn tại x∗ ∈ P2(¯x) và y∗ ∈ Q(x,x¯) sao cho
F(y∗, x∗,x¯) ⊆ −C\{0}.
Bao hàm thức này kéo theo
max
z∈F(y∗,x∗,x¯)
hξ, zi < 0.
Điều này mâu thuẫn với (3.10). Do vậy x¯∈ P1(¯x) và
F(y, x,x¯) 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Hệ quả 3.4.2. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.5 và F(y, x, x)∩C 6= ∅ với mọi (x, y) ∈ D ×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x¯) 6⊆ −C\{0} với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Chứng minh. Sử dụng Định lý 3.3.5 và chứng minh tương tự như Hệ quả 3.4.1.
Hệ quả 3.4.3. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.8 và F(y, x, x) ⊆C với mọi (x, y) ∈ D×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x¯)∩(−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Chứng minh. Theo chứng minh của Định lý 3.3.8, tồn tại x¯ ∈ P1(¯x) và
min
z∈F(y,¯x,x¯)hξ, zi ≤ min
z∈F(y,x,x¯)hξ, zi với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯),
trong đó ξ ∈ C0+. Vì F(y,x,¯ x¯) ⊆ C, nên min z∈F(y,x,¯x¯)hξ, zi ≥ 0. Từ đó suy ra min z∈F(y,x,x¯) hξ, zi ≥ 0 với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯). (3.11) Ta chỉ ra rằng F(y, x,x¯)∩ (−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Giả sử ngược lại, tồn tại x∗ ∈ P2(¯x) và y∗ ∈ Q(x∗,x¯) sao cho
F(y∗, x∗,x¯)∩(−C\{0}) 6= ∅.
Khi đó tồn tại ¯a ∈ Y sao cho ¯a ∈ F(y∗, x∗,x¯)∩(−C\{0}). Do đó
min
z∈F(y∗,x∗,x¯)
hξ, zi ≤ hξ,¯ai < 0.
Điều này mâu thuẫn với (3.11). Từ đó suy ra x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x¯)∩ (−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Hệ quả 3.4.4. Giả sử D, K, C, P1, P2, Q và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.3.9 và F(y, x, x) ⊆C với mọi (x, y) ∈ D×K. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
F(y, x,x¯)∩(−C\{0}) = ∅ với mọi x ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x,x¯).
Chứng minh. Sử dụng Định lý 3.3.9 và chứng minh tương tự như Hệ quả 3.4.3.
Nhận xét 3.4.5. Hệ quả 3.4.1 và Hệ quả 3.4.2 thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto trên loại II với giả thiết C0+ 6= ∅ và trong các hệ quả đó chúng tôi không sử dụng giả thiết về tính giả đơn điệu theo nón của ánh xạ đa trị trong Hệ quả 2.2.8. Hệ quả 3.4.3 và Hệ quả 3.4.4 cho ta điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto dưới loại II, sự tồn tại nghiệm của bài toán này cho đến nay chưa được xét đến.
3.4.2. Bài toán tựa tối ưu loại II
Giả sử D, K, C và F cho như trong mục 3.3.1. Với các ánh xạ đa trị
P : D → 2D và Q : D → 2K, ta xét bài toán tựa tối ưu Pareto loại II sau đây: Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯∈ P(¯x) và
F(y,x,¯ x¯)∩PMin(F(y, P(¯x),x¯) | C) 6= ∅ với mọi y ∈ Q(¯x).
Hệ quả sau chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán trên.
Hệ quả 3.4.6. Giả sử D, K, C, P và F thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả 3.3.11 và Q : D → 2K là nửa liên tục dưới với giá trị không rỗng, compắc. Khi đó tồn tại x¯∈ D sao cho x¯ ∈ P(¯x) và
F(y,x,¯ x¯)∩PMin(F(y, P(¯x),x¯) | C) 6= ∅ với mọi y ∈ Q(¯x).
Chứng minh. Theo Chứng minh Định lý 3.3.8, tồn tại x¯ ∈ P(¯x) sao cho
min
z∈F(y,x,¯x¯)hξ, zi ≤ min
z∈F(y,x,x¯)hξ, zi với mọi x ∈ P(¯x) và y ∈ Q(¯x), (3.12) trong đó ξ ∈ C0+ cố định. Giả sử tồn tại y¯∈ Q(¯x) sao cho
F(¯y,x,¯ x¯)∩PMin(F(¯y, P(¯x),x¯) | C) = ∅.
Ta chọn ¯v ∈ F(¯y,x,¯ x¯) thỏa mãn
hξ,v¯i = min
z∈F(¯y,x,¯x¯)
Vìv¯6∈ PMin(F(¯y, P(¯x),x¯) | C)nên tồn tại x∗ ∈ P(¯x)và v∗ ∈ F(¯y, x∗,x¯) sao cho ¯ v −v∗ ∈ C\{0}. Từ đó suy ra min z∈F(¯y,x,¯x¯)hξ, zi = hξ,v¯i > hξ, v∗i ≥ min z∈F(¯y,x∗,x¯)hξ, zi.
Điều này mâu thuẫn với (3.12). Vậy
F(y,x,¯ x¯)∩PMin(F(y, P(¯x),x¯) | C) 6= ∅ với mọi y ∈ Q(¯x).
Kết luận của luận án
Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau. 1. Thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
tựa cân bằng Pareto và yếu loại I liên quan đến nón trong không gian tuyến tính và ánh xạ đa trị.
2. Thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II với ánh xạ đa trị, không liên quan đến nón trong không gian tuyến tính.
3. Sử dụng Bổ đề Fan-KKM và định lý điểm bất động Ky Fan, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I.
4. Sử dụng phương pháp vô hướng hóa và định lý điểm bất động Fan- Browder, chúng tôi thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II.
Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu 1. Nghiên cứu các mở rộng khác của bài toán cân bằng.
2. Nghiên cứu ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto vào các lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ động lực, tối ưu điều khiển và các bài toán kinh tế.
3. Nghiên cứu các bài toán bao hàm thức tựa biến phân cho trường hợp yếu và thực sự, cùng các ứng dụng của chúng.
4. Nghiên cứu bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp. 5. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của bài
Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án
1. B. T. Hung, N. X. Tan (2011), "On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Vari- ational Inequalities, 14, No. 1, 1-16.
2. B. T. Hung, N. X. Tan (2012), "On the existence of solutions to Pareto and weak quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 15, No. 2, 1-16.
3. B. T. Hung (2013), "On the existence of solutions to Pareto quasi- variational inclusion problems of type I", Acta Math. Vietnamica, 38, No.3, 447-459.
4. B. T. Hung, "On the existence of solutions to Pareto quasivaria- tional inclusion problems of type II"(preprint).
5. B. T. Hung, "On the weak and Pareto quasi-equilibrium problems and their applications" (preprint).
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:
1. Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam (2009, 2010, 2011, 2012).
2. Hội thảo tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 10, Ba Vì- Hà Nội (2012).
3. Seminar của Phòng Giải tích, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
4. Seminar của Phòng Tối ưu và điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất bản giáo dục. Tiếng Pháp
[3] H. Kneser (1952), " Sur un theorème fondamental de la thérorie des jeux’", C. R. Acad. Sci., Paris, 234, No 25.
[4] V. Pareto (1909), "Manuel d’e’conomic politique", Paris. Tiếng Anh
[5] Q. H. Ansari, W. Oettli and D. Schlager (1997), "A Generalization of Vectorial Equilibria", Mathematical Methods of Operation Research, 46, 147-152.
[6] Q. H. Ansari, I. V. Konnov, J. C. Yao (2001), "On generalized vector equilibrium problems", Nonlinear Analysis, 47, 543-554.
[7] J. P. Aubin, H. Frankowska (1990), "Set-valued analysis", Birkhauser.
[8] C. Begre (1997), "Topological spaces", Dover Publications, NY. [9] H. P. Benson (1983), "Efficiency and proper efficiency in vector
maximization with respect to cones", J. Math. Anal. Appl, 93, 273- 289.
[10] M. Bianchi and S. Schaible (1996), "Generalized monotone befunc- tions and equilibrium problems", J. Optim. Theory Appl, 90, 31-42. [11] E. Blum and W. Oettli (1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23.
[12] L. E. J. Brouwer (1912), " Uber abbildungenvon mannig- faltigheiten", Math. Ann, 79 , 97-115.
[13] F. E. Browder (1984), " Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26 , 67-80.
[14] S. Y. Chang (1990), "On the Nash equilibrium", Soochow J. math., 16, 241-248.
[15] H. W. Corley (1985), "On optimality conditions for maximizations with respect to cones", J. Optim. Theory Appl, 46, 67-78.
[16] G. Debreu (1954), "Valuation equilibrium and Pareto optimum", Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A, 40, 588-592.
[17] T. T. T. Duong and N. X. Tan (2010), "On the existence of solu- tions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Re- lated Problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, No. 1, 29-47.
[18] T. T. T. Duong and N. X. Tan (2012), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J. Global Optim, 52, No. 4, 711-728.
[19] X. P. Ding and J. Y. Park (2004), "Generalized Vector Equilibrium Problems in Generalized Convex Space", J. Optim. Theory Appl, 120, 327-353.
[20] F. Y. Edgeworth (1981), "Mathematical Psychics", C. Kegan Paul Co., London, England.
[21] A.P. Farajzadeh, A. Amini Harandi, K. R. Kazmi (2010), " Exis- tence of Solutions to Generalized Vector Variational-Like Inequali- ties", J. Optim. Theory Appl, 146, 95-104.
[22] K. Fan (1952), "Fixed- point and minimax theorems in locally con- vex topological linear spaces." Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.38, 121-126 .
[23] K. Fan (1961), "A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theo- rem", Mathematische Annalen, 142, 305-310.
[24] K. Fan (1972), "A minimax inequality and application, in Inequal- ities III (O. Shisha (Ed)), Aca Press, New York.
[25] Y. P. Fang and N. J. Huang (2005), "Existence results for general- ized implicit vector variational inequalities with multivalued map- pingpings", Indian Journal of Pure and Application Mathematics, 36 , 629-640.
[26] F. Ferro (1982), "Minimax Type Theorem for n-Valued Functions", Annali di Mathematica Pura ed Applicata, 32, 113-130.
[27] A. M. Geoffrion (1968), " Proper efficiency and the theory of vector maximization", J. Math. Anal. Appl, 22, 618-630.
[28] A. Gurraggio and N. X. Tan (2002), "On General Vector Quasi- Optimization Problems", Mathematical Methods of Operation Re- search, 55,347-358.
[29] N. Hadjisavvas and S. Schaible (1998), "From scalar to vector equi- librium problems in the quasimonotone case", J. Optim. Theory Appl, 96, 297-309.
[30] N. X. Hai and P. Q. Khanh (2007), "The solution existence of general variational inclusion problems", J. Math. Anal. Appl, 328 1268- 1277.
[31] N. X. Hai and P. Q. Khanh (2007), "Systems of set-valued quasi- variational inclusion problems", J. Optim. Theory Appl, 135, 55-67. [32] M. I. Henig (1982), " Existence and characterization of efficient decisions with respect to cones", Math. Programming, 23, 111-116. [33] B. T. Hung, N. X. Tan (2011), "On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Vari- ational Inequalities, 14, No. 1, 1-16.
[34] B. T. Hung, N. X. Tan (2012), "On the existence of solutions to Pareto and weak quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 15, No. 2, 1-16.
[35] B. T. Hung (2013), "On the existence of solutions to Pareto quasi- variational inclusion problems of type I", Acta Math. Vietnamica, 38, No.3, 447-459.
[36] B. T. Hung, "On the existence of solutions to Pareto quasivariational inclusion problems of type II" (preprint ).
[37] B. T. Hung, "On the weak and Pareto quasi-equilibrium problems and their applications" ( preprint).
[38] C. J. Himmelberg (1972), "Fixed points of compact multifunctions", J. Math. Anal. Appl, 38, 205-207.
[39] L. J. Lin (2007), "Systems of generalized quasivariational inclusion problems with applications to variational analysis and optimization problems", J. Global Optim, 38, 21- 39.
[40] L. J. Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclu- sion problems and systems of generalized quasi-variational inclusion problems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49.
[41] L. J. Lin and H. W. Hsu (2007), "Existences theorems of systems of vector quasi-equilibrium problems and mathematical programs with equilibrium constraint", J. Global Optim, 37, 195-213.
[42] L. J. Lin and S. Park (1998), "On some generalized quasi- equilibrium problems", J. Math. Anal. Appl, 224, 167-181.
[43] L. J. Lin and Y. L. Tsai (2005), "On vector quasi-saddle points of set- valued maps. Generalized convexity, generalized monotonicity and applications" Nonconvex Optim. Appl., Springer, New York, 77, 311-319 .
[44] L. J. Lin and N. X. Tan (2007), "On quasivariational inclusion prob- lems of type I and related problems", J. Global Optim, 39, No 3, 393-407.
[45] L. J. Lin , Z. T. Yu and G. Kassay (2002), "Existence of Equi- libria for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial Equilibria", J. Optim. Theory Appl, 114, 189-208.
[46] D. T. Luc (1989), "Theory of vector optimization", Lect. Notes in Eco. and Math. System, Springer Verlag, Berlin, Germany, 319. [47] D. T. Luc (2008), "An abstract problem in variational analysis", J.
Optim. Theory Appl, 138, 65-76.
[48] D. T. Luc and N. X. Tan (2004), "Existence conditions in variational inclusions with constraints" Optimization, 53, 505- 515.
[49] G. J. Minty (1978), " On variational inequalities for monotone op- erators", I. Advances in Math, 30, 1-7.
[50] J. von Neumann (1928), " Zur Theorie der Gesellschaftsspiele", Math. Ann, 100, 295-320.
[51] S. Kakutani (1944), " A generalization of Brouwers fixed point the- orem", Duke Math. J, 8, 457-459.
[52] B. Knaster, C. Kuratowski and S. Mazurkiewicz (1929), "Ein bewies des fixpunktzes fur n- dimensional simplexe", Fund. Math, 14, 132- 137.
[53] H. W. Kuhn and A. W. Tucker (1951), "Nonlinear programming", in Proceedings of the second berveley, California, 481-492.
[54] W. Oettli and D. Schlager (1998), "Existence of Equilibria for Mono- tone Multivalued Mappings", Mathemetical Methods of Operations Research, 48, 219-228.
[55] N. X. Tan (2004), "On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems", J. Optim. Theory Appl, 123, 619-638.
[56] N. X. Tan and P. N. Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Numer. Funct. Anal. And Optimiz, 19, 141-156.
[57] Tian G. Q, and Zhou J. X (1993), "Quasi- variational inequalities without the concavity assumption", J. Math. Anal. Appl 172, 289- 299.
[58] L.A. Tuan and P. H. Sach (2009), "Generalizations of vector qua- sivariational inclusion problems with set-valued maps", J. Global Optim, 43, No1, 23-45.
[59] H. Tuy (1972), " Convex inequalities and the Hahn- Banach theo- rem", Dissertationes Mathematical, XCVII.
[60] N. C. Yannelis (1987), "Equilibria in Noncooperative Models of Competition", Journal of Economical Theory, 41 , 96-111.
[61] N. C. Yannelis and N. D. Prabhaker (1983), "Existence of maxi- mal elements and equilibria in linear topological spaces", Journal of Mathematical Economics, 12 , 233-245.