. Chỳ ý hệ thức này đỳng với mọi tam giỏc
I.37)Định lớ Morley
Định lớ:
Trong tam giỏc ABC. D,E,F lần lượt là giao điểm của cỏc đường chia ba gúc trong và cựng kề cỏc cạnh tam giỏc ABC. Khi đú ta cú tam giỏc DEF đều và được gọi là tam giỏc Morley.
Chứng minh:
Để ngắn gọn ta đặt và tương tự với cỏc gúc kia Như hỡnh vẽ kẻ cỏc đường chia trong ở B và C và lần lượt cắt tại D,I. Dễ thấy ID là phõn giỏc của gúc . Tại D dựng gúc sao cho Di là phõn giỏc của gúc DEF và E thuộc CI và F thuộc BI DEF đều.
Lấy và lần lượt là điểm dối xứng với D qua CI và BI
và dễ dàng c/m được là hỡnh thang cõn với Vỡ định lớ Morley chỉ cú một trường hợp nờn em xin phộp chỉ sử dụng gúc thường cho nú đơn giản:
Ta lại cú là hỡnh thang cõn và trong đường trũn ngoại tiếp thỡ sđ A thuộc đường trũn
. Từ đú ta cú đpcm
Định lý Morley cú thể mở rộng cỏc đường chia trong thành cỏc đường chia ngoài, và cú thể là giao của đường chia trong với đường chia ngoài(mỗi trường hợp này lại cho ta một tam giỏc Morley khỏc nhau và theo thống kờ cú 36 tam giỏc Morley như vậy). Sau đú bài toỏn cũn được phỏt triển và tương ứng được đặt thờm nhiều định nghĩa mới như "gúc lửng", "tam giỏc ngoại lai", "tập hợp đẳng cấu", ... Sau đõy là bài toỏn mở rộng nhất định lý Morley:
Nếu chia n (n nguyờn dương, n 3) tất cả cỏc gúc của một đa giỏc m cạnh, thỡ tất cả cỏc giao của cỏc đường thẳng là cỏc đỉnh phõn biệt của một hệ
đa giỏc n cạnh đều, cú thể phõn chia làm họ, mỗi họ cú đa giỏc cú tõm thẳng hàng.
Cỏch chứng minh và cỏc khỏi niệm liờn quan xin xem thờm tại sỏch "Lóng mạn toỏn học" tỏc giả Hoàng Quý nhà xuất bản giỏo dục
Cho đường trũn (O) và dõy cung AB. I là trung điểm của AB. Qua I vẽ hai dõy cung tựy ý MN và PQ sao cho MP và NQ cắt AB tại E,F. Khi đú I là trung điểm của EF.
Chứng minh:
Gọi K,T là trung điểm MP và NQ. Nờn OIEK, OIFT là tứ giỏc nội tiếp
(mod ) (mod )
Ta lại cú (mod ) cõn
tại O I là trung điểm EF