Bài toán 2.5.1. (Bài toán Newton)[7]
Cho cônic (Γ) và hai đường thẳng cắt nhau ∆1,∆2. Một góc uM v nào đó có M u//∆1 và M v//∆2, cạnh M u cắt (Γ) tại A, B và cạnh M v cắt
(Γ) tại C, D. Chứng minh rằng M A M C.
M B
M D là không đổi khi góc uM v di
Lời giải:
Giả sử ∆1 và ∆2 theo thứ tự hợp với trục tiêu các góc α1 và α2 không đổi (Hình 2.5).
Theo mục 1.3 ta có phương tích của điểm M đối với cônic (Γ) là
M A. M B 1−e2cos2α1 = M C . M D 1−e2cos2α2 . Do đó M A M C . M B M D = 1−e2cos2α2 1−e2cos2α1
là không đổi khi góc uM v di động.
Bài toán 2.5.2. (Bài toán Mac- Laurin)[7]
Cho cônic (Γ) và hai điểm cố định A1, A2. Qua A1 vẽ đường thẳng ∆1 nào đó và qua A2 vẽ đường thẳng ∆2 sao cho ∆2//∆1. Đường thẳng ∆1 cắt (Γ) tại B1, C1 và đường thẳng ∆2 cắt (Γ) tại B2, C2. Chứng minh rằng
A1B1 A2B2 .
A1C1
A2C2 là không đổi khi ∆1 di động.
Giả sử ∆1,∆1 cùng hợp với trục tiêu góc α (Hình 2.6)
Theo mục 1.3 ta có phương tích của điểm A1 đối với cônic (Γ) là
A1B1. A1C1 1−e2cos2α
Tương tự phương tích của điểm A2 đối với cônic (Γ) là
A2B2. A2C2 1−e2cos2α
Vì phương tích của điểm A1 và A2 đối với cônic (Γ)là các số không đổi nên
A1B1. A1C1 1−e2cos2α A2B2. A2C2 (1−e2cos2α) =
A1B1. A1C1 A2B2. A2C2
là không đổi khi ∆1 di động.
Bài toán 2.5.3. Bài toán (C.Michel-Cliffort)[7]
Cho cônic (Γ) có tâm O, A là một điểm cố định. Một đường thẳng ∆ nào đó đi qua A cắt (Γ) tại B, C. Vẽ đường kính d của (Γ) (đi qua O)
song song với ∆ và cắt (Γ) ở P, Q. Chứng minh rằng AB. AC
OP2 là không đổi khi ∆ di đông.
Giả sử ∆ và d cùng hợp với trục tiêu góc α (Hình 2.7)
Theo mục 1.3 ta có phương tích của điểm A đối với cônic (Γ) là
AB. AC 1−e2cos2α.
Phương tích của điểm O đối với cônic (Γ) là
OP . OQ 1−e2cos2α.
Vì phương tích của điểm A và O đối với cônic (Γ) là các số không đổi nên AB. AC OP2 = −AB. AC 1−e 2cos2α OP . OQ(1−e2cos2α) là không đổi.
Nhận xét 2.5.4. Do vai trò của P và Q là như nhau nên theo bài toán
trên ta cũng có thể chứng minh AB.AC
OQ2 không đổi khi ∆ di động.
Bài toán 2.5.5. [7] Cho họ đường thẳng
∆ (m) : 4−m2x−6my+ 3 4 +m2 = 0 (∗)
Chứng minh rằng các đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một cônic cố định
Theo mục 1.5.2 ta giả sử ∆ : Ax+By+C = 0(∗∗) là đường thẳng tiếp xúc với cônic (Γ). Từ (∗) ta có 4−m2 A = −6m B = 3 4 +m2 C
Nhân tử số và mẫu số của tỉ số đầu với 3 được
3(4−m2) 3A = 3 4 +m2 C = −6m B (∗ ∗ ∗)
Với hai tỉ số đầu của (∗ ∗ ∗) ta cộng hai tử số với nhau và hai mẫu số với nhau được
24 3A+C =
−6m
B ⇒ m = −4B
3A+ C (4∗)
Cũng với hai tỉ số đầu của (∗ ∗ ∗), ta trừ hai tử số với nhau và hai mẫu số với nhau được:
−6m2 3A−C = −6m B ⇒ m = 3A−C B (m 6= 0) (5∗) Từ (4∗) và (5∗) suy ra −4B 3A+C = 3A−C B ⇒ −4B2 = 9A2 −C2 ⇔ 9A2 + 4B2 = C2.
Đây là phương trình tiếp dạng của đường elip với phương trình
x2 9 +
y2 4 = 1.
Với m = 0 thì phương trình (∗) trở thành x = −3 cũng tiếp xúc với elip trên.