Với bài toán có dạng
y' f (y, z)
0 g(y, z) ( 2.15 )
phương pháp Runge-Kutta hiện có thể được áp dụng như sau
i 1 ni n ij nj nj j 1 Y y h a f (Y , Z ), i 1, ..., s ( 2.16.a) ni ni s n 1 n i ni ni i 1 0 g(Y , Z ), i 1, ..., s ( 2.16.b) y y h b f (Y , Z ), ( 2.16.c)
Đầu tiên ta xét trường hợp chỉ số 1 trong (1.4), (1.5), với gz là khả nghịch. Bắt đầu từ Yn1 = yn, giá trị Zn1 có thể được tính theo (2.16.b). Chèn Zn1
vào (2.16.a) giúp ta tính được Yn2 trong một bước hiện. Từ đó ta tính được Zn2
theo (2.16.b), .... Trong trường hợp này, cấp hội tụ của cả hai phần tử là như nhau đối với các phương trình vi phân thường. Các phương pháp của Dormand & Prince (1980) là thích hợp và thuật toán ngoại suy của Gragg (1965).
Trong trường hợp chỉ số 2 (1.10), (1.11), trong đó g không phụ thuộc vào
z và gyfz là khả nghịch, công thức trên vẫn có thể áp dụng được. Tương tự như trên, ta bắt đầu với Yn1 = yn. Chèn công thức (2.16.a) với i = 2 vào (2.16.b)
giúp ta tính được Zn1, sau đó Yn2 được tính từ bước hiện (2.16.a). Tiếp tục theo cách này, ta tìm được Zns và yn+1 nhưng ta không thể xác định zn+1. Để có giá trị
xấp xỉ của z(xn+1), ta xem xét các phương pháp với cs = 1 và sẽ có
n 1 ns ( 2.17 )
z z .
Tuy nhiên, đối với cả hai phần tử, bậc đều thấp hơn đối với phương trình vi phân thường. Sự mở rộng được đưa ra bằng việc mở rộng phương pháp ngoại suy h2 của Gragg. Trong phương pháp này, bậc đầy đủ được duy trì nếu f
là tuyến tính theo z.
Đối với bài toán chỉ số 3 trong (1.17), (1.18) với k tuyến tính theo u, ngoại suy của phương pháp Euler ẩn được xét ở phần sau.