3 Địnhlý đếm Polya
3.2 Địnhlý đếm Polya (Polya’s Enumeration Theorem)
ta kí hiệuci(g) là số các xích của g có độ dàii. Khi đó, đa thức nbiến
ZG(x1, . . . , xn) = 1 |G| X g∈G xc1(g) 1 xc2(g) 2 . . . xcn(g) n ,
được gọi là đa thức chỉ số xích củaG, hay có người còn gọi đó là đa thức chỉ số các chu trình của G.
Ví dụ, xét nhóm xyclicG = {id; (1234); (13)(24); (1423)}. Khi đó|G|= 4, dễ thấy phép đồng nhấtidcó 4 xích độ dài 1; các hoán vị (1234) và (1423) có 1 xích độ dài 4; hoán vị (13)(24) có 2 xích độ dài 2. Vậy đa thức chỉ số xích củaGlà ZG(x1, x2, x3, x4) = 1 4(x 4 1 + x22 + 2x4).
Xét bài toán tô mầu trong tiết trước để tính đa thứcFix(g)(x1, x2, . . . , xn) := P
ω=(t1,t2,...,tn)
|Fix(g)ω|xt1
1 xt2
2 . . . xtn
n (∗), ta cần xét xem khi nào một phép tô mầu T ∈ F ix(g)ω. Với mỗi g ∈ G, ta phân tích g thành tích các xích
g1g2. . . gr (xem Ví dụ1.1.2 (c)). Khi đó T ∈ Fix(g) tức là những mảnh vải thuộc cùng một xíchgi sẽ được tô cùng một mầu qua cách tôT.
Như vậy một phép tô mầu T ∈ F ix(g)ω khi và chỉ khi những mảnh vải thuộc cùng một xích thì tô cùng một mầu và mầuMi được tôti lần. Thay vào công thức (*) ta có Fix(g)(x1, x2, . . . , xn) = X ω=(t1,t2,...,tn) |Fix(g)ω|xt1 1 xt2 2 . . . xtn n = (x1 +x2 +· · ·+xn)c1(g).(x21 +x22 +· · ·+x2n)c2(g) . . .(xm1 +xm2 +· · ·+xmn)cm(g) . Vậy FG(x1, x2, . . . , xn) = 1 |G| X g∈G Fix(g)(x1, x2, . . . , xn) = ZG(x1 + · · ·+xn;x21 +· · ·+x2n;. . .;x1m +· · ·+xmn).
Kết quả của bài toán này chính là nội dung định lý đếm Polya (Polya’s Enu- meration Theorem).
Định lí 3.2.1. Định lý đếm Polya (Polya’s Enumeration Theorem) Cho tập màu M gồm n màu và tập X có m đối tượng cần tô màu và Glà một nhóm các hoán vị trên tập X. Khi đó
FG(x1, x2, . . . , xn) =ZG(x1 +· · ·+xn;x21 +· · ·+x2n;. . .;xm1 +· · ·+xmn).
Kết quả của định lý đếm Polya là số cách tô màu khác nhau sao cho màu
Mi được tô đúng ti lần chính là hệ số của đơn thức chứa xt1
1 xt2
2 . . . xtn
n trong đa thức trên.
Chú ý, nếu x1 = x2 = · · · = xn = 1 thì ta có định lý Polya con.
Kết quả của định lý đếm Polya áp dụng vào bài toán tô mầu cụ thể được minh họa qua các ví dụ dưới đây.
3.3 Ví dụ
Ví dụ 3.3.1. Tô 4 đỉnh của một hình vuông bởi ba màu xanh, vàng, đỏ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu khác nhau sao cho có đúng 2 đỉnh tô màu đỏ. Hai cách tô màu là như nhau nếu cách này có được từ cách kia thông qua phép xoay hình vuông quanh tâm hay phép đối xứng qua trục là các trục đối xứng của hình vuông đó.
Giải.Quay lại Ví dụ 2.3.2thì số cách tô màu khác nhau với 3 màu xanh, đỏ, vàng là 1
8(3
4 + 2.33 + 3.32 + 2.3) = 21cách tô màu khác nhau. Nhưng vấn đề ở đây là ta phải tô sao cho có đúng 2 đỉnh mang màu đỏ. Vậy vấn đề này theo định lý đếm Polya ta sẽ giải quyết như sau:
Gọi τi là phép quay hình vuông góc iπ
2 vớii = 0,1,2,3.
δj là phép lấy đối xứng qua trục vớij = 1,2.
µk là phép lấy đối xứng qua đường chéo với k = 1,2.
Mỗi phép quay hay lấy đối xứng các đỉnh của hình vuông có thể được mô tả thông qua các phép hoán vị các đỉnh của vuông như sau:
Ta có τ0 = id, τ1 = (1234), τ2 = (13)(24), τ3 = (1432), δ0 = (12)(34), δ1 = (14)(23), µ1 = (24), µ1 = (13). Như vậy tập G = {id, τ1, τ2, τ3, δ1, δ2, µ1, µ2}là một nhóm với|G| = 8. Trong 8 phần tử của nhóm G có:
2 phần tử có 1 xích độ dài 4; 3 phần tử có 2 xích độ dài 2; 2 phần tử có 3 xích gồm 2 xích độ dài 1 và 1 xích độ dài 2; 1 phần tử có 4 xích độ dài 1.
Áp dụng định lý đếm Polya, ta có FG(x, y, z) =ZG(x+y +z, x2 +y2 +z2, x3 +y3 +z3, x4 +y4 +z4) = 1 8[(x+ y+ z) 4 + 3(x2 + y2 +z2) + 2(x+y +z)2(x2 + y2 +z2) + 2(x4 +y4 +z4)] = x4 +y4 +z4 + 2(x2y2 +y2z2 +z2x2) + (x3y +y3x+ y3z+z3y +x3z+z3x) + 2(x2yz +xy2z +xyz2).
Theo định lý đếm Polya thì hệ số củaxaybzc là số cách tô màu sao cho màux
xuất hiện alần; mầuy xuất hiện blần; mầuz xuất hiện clần.
Vì vậy để tìm số cách tô màu mà có đúng hai đỉnh màu đỏ ta chỉ tìm hệ số của tất cả các số hạng chứa x2 đó là 2x2y2,2x2yz,2z2x2.
Như vậy, số cách tô màu khác nhau thu được làN = 2 + 2 + 2 = 6cách.
Ví dụ 3.3.2. Trong một cuộc hội thảo có 7 nhà toán học, trong đó có 4 nhà toán học nữ; 3 nhà toán học nam. Người ta bố trí xếp chỗ ngồi cho 7 người vào một bàn tròn có 7 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau? Hai cách xếp chỗ ngồi là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia thông qua phép xoay chỗ ngồi.
Giải.Ta coi 7 chỗ ngồi được xếp cho các nhà toán học là 7 đỉnh của một thất giác đều. Hai chất màu để tô làx =Nữ, y = Nam. Như vậy, bài toán quay về tìm cách tô màu 7 đỉnh của thất giác đều với hai màux, y và có đúng 4 đỉnh màux, 3 đỉnh màuy.
Như vậy hai cách tô hay cách xếp chỗ ngồi là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia qua phép quay thất giác quanh tâm hay phép đối xứng qua trục.
Như Ví dụ2.3.3, kí hiệuτi là các phép xoay hình thất giác đều quanh tâm với góc quay i2π
7 vớii = 0,1,2,3,4,5,6. Như vậy
τ0 = id, τ1 = (1234567), τ2 = (1357246), τ3 = (147362)
τ4 = (152637), τ5 = (1642753), τ6 = (1765432).
Phép lấy đối xứng qua trụcδj tương ứng với trục là đường nối đỉnhj và trung điểm cạnh đối diện với j = 1,2, . . . ,7. Như vậy
δ1 = (27)(36)(45), δ2 = (13)(74)(56), δ3 = (24)(15)(67), δ4 = (35)(26)(17), δ5 = (46)(37)(12), δ6 = (57)(14)(23), δ7 = (16)(25)(34). Ta có tậpG = {id, τ1, τ2, τ3, τ4, τ5, τ6, δ1, δ2, δ3, δ4, δ5, δ6, δ7}là một nhóm và có cấp|G|= 14. Trong 14 phần tử của nhóm G có: 1 phần tử có 7 xích độ dài 1; 7 phần tử có 4 xích gồm 3 xích độ dài 2 và 1 xích độ dài 1; 6 phần tử có 1 xích độ dài 7. Áp dụng định lý đếm Polya, ta có FG(x, y) =ZG(x+y, x2 +y2, x3 +y3, x4 +y4, x5 + y5, x6 +y6, x7 +y7) = 1 14 (x+y) 7 + 7(x+y)(x2 +y2)3 + 6(x7 +y7) = x7 +x6y+ 3x5y2 + 4x4y3 + 4x3y4 + 3x2y5 +xy6 + y7.
của các số hạng chứax4. Vậy có 4 cách xếp chỗ ngồi khác nhau.
Ví dụ 3.3.3. Dùng hai màu xanh và đỏ tô các ô vuông của một lưới vuông kích thước 3×3. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khác nhau sao cho trong 9 ô vuông có đúng 4 ô tô màu đỏ. Hai cách tô màu là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia qua phép xoay hình vuông quanh tâm.
Giải.Giả sử các ô vuông được đánh số từ 1 đến 9 như hình vẽ.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Mỗi phép quay của bảng ô vuông có thể được mô tả thông qua các phép hoán vị các ô vuông như sau:
Khi xoay hình vuông quanh tâm góc quay iπ
2, với i = 0,1,2,3, ta có:
τ0 = id; τ1 = (1397)(2684); τ2 = (19)(37)(28)(46); τ3 = (1793)(2486).
VậyG = {id, τ1, τ2, τ3} là một nhóm với|G| = 4. Trong 4 phần tử của nhóm G có:
1 phần tử có 9 xích độ dài 1; 2 phần tử có 3 xích gồm 2 xích độ dài 4 và 1 xích độ dài 1; 1 phần tử có 5 gồm 4 xích độ dài 2 và 1 xích độ dài 1.
Theo định lý đếm Polya, ta có FG(x, y) = ZG(x+y, x2 + y2, . . . , x9 +y9) = 1 4 (x+y) 9 + 2(x+y)(x2 +y2)4 + (x4 +y4)2(x+y) = x9 + 3x8y + 11x7y2 + 23x6y3 + 35x5y4 + 35x4y5 + 23x3y6 + 11x2y7 +y9.
Như vậy, số cách tô màu khác nhau mà có đúng 4 ô tô màu đỏ chính là hệ số củax4. Ta có 35 cách tô khác nhau.
Ví dụ 3.3.4. Dùng 3 màu xanh, đỏ và vàng để tô 4 đỉnh của một tứ diện đều. Trong đó có đúng 2 đỉnh tô màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách tô khác nhau. Biết hai cách tô là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia thông qua phép xoay khối tứ diện đều trong không gian.
Giải.Khi xoay khối tứ diện đều, ta có hai phép xoay sau đây:
Mỗi phép xoay các đỉnh của tứ diện đều có thể mô tả thông qua các phép hoán vị các đỉnh của tứ diện đều như sau:
Phép quay quanh đường thẳng nối đỉnh và tâm mặt đáy. Ta có 3 trục xoay như vậy với góc xoay i2π
3 vớii = 1,2. Như vậy, ta có các kết quả sau: (234); (243); (134); (143); (124); (142); (123); (132).
Phép quay quanh đường thẳng nối trung điểm 2 cạnh đối diện, ta có 3 trục xoay như vậy với góc quayπ. Như vậy, ta có các kết quả sau:
(12)(43); (14)(23); (12)(34).
Ta có nhómGlà tập hợp tất cả các phép xoay trình bày ở trên cùng với phép đồng nhất và|G| = 12.
Trong 12 phần tử của nhóm G có:
1 phần tử có 4 xích độ dài 1; 8 phần tử có 2 xích gồm 1 xích độ dài 1 và 1 xích độ dài 3; 3 phần tử có 2 xích độ dài 2.
Theo định lý đếm Polya, ta có FG(x, y, z) =ZG(x+y +z, x2 +y2 +z2, x3 +y3 +z3, x4 +y4 +z4) = 1 12 (x+y +z) 4 + 8(x+ y+ z)(x3 +y3 +z3) + 3(x2 +y2 +z2)2 = x4 +x3y+ x2y2 +xy3 +y4 +x3z+x2yz+xy2z+y3z +x2z2 +xyz2 +y2z2 +xz3 +yz3 +z4.
Như vậy, số cách tô màu thỏa mãn chính là tổng hệ số của các biểu thức chứa làx2, vậy có 1 + 1 + 1 = 3 cách tô mầu thỏa mãn có đúng hai đỉnh tô mầu xanh.
Ví dụ 3.3.5. Tô 12 cạnh của hình lập phương bởi hai màu đỏ và đen, ta có bao nhiêu cách tô màu khác nhau sao cho có ít nhất một nửa số cạnh được tô màu đỏ? Hai cách tô màu là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia qua phép xoay khối lập phương.
Giải.Ta đánh số các cạnh của khối lập phương như hình vẽ và như phân tích ở Ví dụ 2.3.5. Khi xoay khối lập phương trong không gian ta có 3 phép xoay được mô tả cụ thể thông qua các phép hoán vị các cạnh của khối lập phương như sau:
a) Phép xoay quanh trục là đường thẳng nối tâm hai mặt đối diện góc quay
iπ
(1234)(5678)(9 10 11 12); (1432)(5876)(9 12 11 10); (13)(24)(57)(68)(9 11)(10 12); (184 12)(263 10)(57 11 9); (1 12 48)(2 10 36)(59 11 7); (14)(23)(5 11)(6 10)(79)(8 12); (1925)(374 11)(68 12 10); (1526)(3 11 47)(6 10 12 8); (12)(34)(59)(6 12)(7 11)(8 10).
b) Phép xoay quay quanh đường nối hai đỉnh đối diện góc quay j2π 3 , j = 1,2. Ta có 4 trục như vậy, cụ thể (185)(2 12 7)(3 10 11)(469); (158)(27 12)(3 11 10)(496); (17 10)(256)(398)(4 11 12); (1 10 7)(265)(389)(4 12 11); (1 12 9)(28 11)(367)(4 10 5); (19 12)(2 11 8)(376)(45 10); (16 11)(2 10 9)(3 12 5)(487); (1 11 6)(29 10)(35 12)(478).
c) Phép xoay quanh đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện góc quayπ. Ta có 6 trục như vậy, cụ thể ta có
(24)(5 12)(6 11)(7 10)(89); (13)(5 10)(69)(7 12)(8 11); (1 11)(27)(35)(49)(8 10); (17)( 2 11)(39)(45)(6 12); (1 10)(2 12)(38)(46)(5 11); (16)(28)(3 12)(4 10)(79).
Như vậy, ta xác định nhóm G là tập hợp 23 các phép xoay và phép đối xứng ở trên cùng với phép đồng nhấtidvậy |G| = 24.
Trong nhóm G có: 1 phần tử có 12 xích độ dài 1; 6 phần tử có 7 xích gồm 2 xích độ dài 1 và 5 xích độ dài 2; 3 phần tử có 6 xích độ dài 2; 8 phần tử có 4 xích độ dài 3; 6 phần tử có 3 xích độ dài 4. Theo định lý đếm Polya, ta có FG(x, y) =ZG(x+y, x2 +y2, . . . , x12 +y12) = 1 24[(x+y) 12 + 6(x+y)2(x2 + y2)5 + 3(x2 +y2)6
+ 8(x3 +y3)4 + 6(x4 +y4)3] = x12 +x11y+ 5x10y2 + 13x9y3 + 27x8y4 + 38x7y5 + 48x6y6
+ 38x5y7 + 27x4y8 + 13x3y9 + 5x2y10+xy11 +y12.
Như vậy, số cách tô màu khác nhau để ít nhất một nửa số cạnh được tô màu đỏ là tổng hệ số của các số hạngxayb màa ≥ 6. Vậy có
48 + 38 + 27 + 13 + 5 + 1 + 1 = 133 cách.
Trong hóa học, định lý Polya có thể dùng để xác định số lượng đồng phân của một phân tử hợp chất. Hai phân tử được gọi là đồng phân nếu chúng được cấu tạo cùng một loại các nguyên tử nhưng có câu trúc khác nhau. Để minh họa điều này, chúng ta quan sát hai đồng phân tử của C5H12 trong hình vẽ dưới đây.
Ví dụ 3.3.6. Xét phân tử BenzenC6H6 có cấu trúc như hình vẽ sau:
Bây giờ ta thay 3 nguyên tử H bởi 3 gốc OH, hỏi ta thu được bao nhiêu đồng phân khác nhau.
Giải.Do cấu tạo phân tử của Benzen như trên nên ta coi 6 nguyên tử H nằm ở 6 đỉnh của một lục giác đều nên hai phần tử là đồng phân của nhau nến cấu tao phân tử này nhận được từ cấu tạo phân tử kia thông qua phép xoay lục giác đều quanh tâm hoặc đối xứng qua trục đối xứng của lục giác đều.
Đánh số 6 đỉnh của lục giác đều là 1, 2, 3, 4, 5, 6. Khi đó, ta có các phép quay và đối xứng được mô tả qua các phép hoán vị các đỉnh của lục giác đều như sau:
Gọi τi là phép quay quanh tâm góc quay iπ
3 vớii = 0,1,2,3,4,5. Cụ thể
τ0 = id, τ1 = (123456), τ2 = (135)(246),
τ3 = (14)(25)(37), τ4 = (153)(264), τ5 = (165432).
Gọiδj là phép đối xứng qua đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện vớij = 1,2,3. Ta có 3 trục loại này, cụ thể
δ1 = (12)(36)(45), δ2 = (23)(14)(56), δ3 = (34)(25)(16).
Gọi µk là phép đối xứng qua đường thẳng nối hai đỉnh đối diện với k = 1,2,3. Ta có 3 trục loại này, cụ thể
µ1 = (26)(35), µ2 = (13)(46), µ3 = (15)(24).
Ta có nhómG = {id, τ1, τ2, τ3, τ4, τ5, τ6, δ1, δ2, δ3, µ1, µ2, µ3}với|G| = 12. Trong nhóm G có: 1 phần tử có 6 xích độ dài 1; 3 phần tử có 4 xích gồm 2 xích độ dài 1 và 2 xích độ dài 2; 4 phần tử có 3 xích độ dài 2; 2 phần tử có 2 xích độ dài 3; 2 phần tử có 1 xích độ dài 6. Theo định lý đếm Polya, ta có:
= 1 12 (x+y)6 + 4(x2 +y2)3 + 2(x3 +y3)2 + 3(x+y)2(x2 +y2)2 + 2(x6 +y6) = x6 +x5y + 3x4y2 + 3x3y3 + 3x2y4 +xy5 + y6.
Bây giờ, ta muốn tìm số đồng phân của hợp chất khi thay 3 nguyên tử hyđrô bởi 3 gốcOH ta tìm hệ số của x3y3. Vậy có 3 đồng phân khác nhau.
Ví dụ 3.3.7. Naphthalene là hợp chất hữu cơ có công thức hóa học là C10H8
được sử dụng nhiều trong thuốc trừ sâu, nhưng khi thay thế 1 nguyên tử H
bởi 1 gốc OH thì ta thu được các hợp chất Naphthol dùng để tạo các hiệu ứng đặc biệt mô phỏng các vụ nổ và khói đen. Hãy tìm số các đồng phân của Naphthol khi thay một nguyên tử H trong Naphthalene bởi bởi một gốcOH.
Giải.Ta có cấu trúc của hợp chấtC10H8 gồm 10 nguyên tử Cacbon xếp ở các đỉnh của một hình lục giác đều đôi và liên kết với 8 nguyên tử Hydro như hình vẽ mô phỏng dưới
Như vậy, ta có các phép quay theo trục xgócπ hay trụcy gócπ hay thực hiện đồng thời cảxvà y.
Cụ thể, ta mô tả thông qua các phép hoán vị các đỉnh như sau:
x = (18)(27)(36)(45); y = (23)(14)(58)(67); xy = (15)(26)(37)(48).
Cùng vớiid, ta có nhóm G = {id, x, y, xy}, suy ra|G|=4.
Trong đó x, y, xy đều có 4 xích độ dài 3; id có 8 xích độ dài 1. Theo định lý đếm Polya ta có FG(x, y) = ZG(x+ y, x2 +y2, . . . , x8 +y8) = 1 4 (x+y) 8 + 3(x2 +y2)4 = x8 + 2x7y + 10x6y2 + 14x5y3 + 22x4y4 + 14x3y5 + 10x2y6 + 2xy7 +y8.
Như vậy, khi thay 1 nguyên tử Hydro bởi một gốc Hydroxyl (OH) thì số đồng phân chính là hệ số của đơn thức x7y . Vậy ta có 2 đồng phân tương ứng.
Trong thực tế hình bát diện đều là hình có cấu trúc rất đẹp và được sử dụng rất nhiều trong chế tác đá quý, kim cương. Trong hóa học hai hợp chất (phổ biến) có cấu trúc phân tử là hình bát diện đều là SF6 - Sulphur Hex- afluoride (chất sử dụng để cách nhiệt cách điện tại các máy biến áp điện) và
KCL(SO4)2 - Chrome alum (chất sử dụng thuộc da và mạ kim loại). Bây giờ ta xét ví dụ cụ thể sau đây để xét nhóm các phép quay của bát diện đều.
Ví dụ 3.3.8. Ta có một viên kim cương chế tác thô ở dạng một hình bát diện