Hệ tiên đề Wayne cho ta một số thuận lợi sau đây:
(1) Người sử dụng hiểu được nhiều về không gian véc tơ với một trong các mô hình cụ thể.
(2) Dễ dàng mở rộng số chiều của không gian và xây dựng các loại không gian khác nhau.
(3) Dễ dàng đưa một số kết quả của Đại số, Giải tích, ... vào trong hình học và cũng dễ dàng vận dụng kết quả trong hình học vào nhiều bài toán trong Đại số, Giải tích,...
Tuy nhiên, hệ tiên đề này cũng có nhược điểm: Kém phát triển trí tưởng tượng không gian, hình thể và trực giác hình học. Mặc dù có tồn tại khuyết điểm như thế, Hệ tiên đề Wayne vẫn là một hệ tiên đề hiện đại nhất để xây dựng Hình học Euclid.
Chương 2
Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid
2.1 Hệ tiên đề Pogorelov và hệ quả trực tiếp
Trong tài liệu [3] viết cho sinh viên toán các trường đại học và đại học sư phạm ở Nga (Liên xô cũ), Viện sĩ A. Pogorelov đã trình bày một hệ tiên đề để xây dựng Hình học Euclid với mục đích làm giảm độ phức tạp của Hệ tiên đề Hilbert. Ông cũng giới thiệu mô hình Carte để kiểm tra hệ tiên đề của mình và thấy chúng thỏa mãn ba điều kiện:
Phi mâu thuẫn Độc lập
Đầy đủ.
Do vậy, mục này tập trung trình bày chi tiết Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid và một số kết quả thu được.
Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học phẳng
Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid gồm 6 khái niệm cơ bản và 12 tiên đề được chia ra làm bảy nhóm.
6 khái niệm cơ bản gồm 3 đối tượng cơ bản: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng và 3 tương quan cơ bản: Liên thuộc, nằm giữa, bằng nhau.
12 tiên đề được chia ra làm bảy nhóm: I. Nhóm tiên đề liên thuộc.
II. Nhóm tiên đề thứ tự.
III. Nhóm tiên đề đo độ dài đoạn thẳng và đo góc.
IV. Nhóm tiên đề tồn tại tam giác bằng tam giác đã cho. V. Nhóm tiên đề tồn tại đoạn thẳng với độ dài đã cho. VI. Nhóm tiên đề song song.
VII. Nhóm tiên đề không gian.
Nhận xét 2.1.1. Đường thẳng là một tập nhiều vô hạn điểm; mặt phẳng là một tập nhiều vô hạn đường thẳng hay một tập nhiều vô hạn điểm. Nhóm các tiên đề liên thuộc
Các tiên đề thuộc nhóm liên thuộc quyết định các tính chất về sự sắp đặt vị trí tương đối giữa các điểm, các đường thẳng và các mặt phẳng. Chúng được biểu thị bằng khái niệm “liên thuộc” hoặc "thuộc" hay một vài khái niệm khác tương đương. Các phát biểu: "điểm thuộc đường thẳng" hoặc "điểm nằm trên đường thẳng" hay "đường thẳng đi qua điểm" được coi như nhau. Nhóm này gồm hai tiên đề sau đây:
I1. Với hai điểm bất kì luôn luôn có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm ấy.
I2. Có ít nhất hai điểm thuộc một đường thẳng. Tồn tại ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng.
Từ hai tiên đề này ta suy ra một vài kết quả dưới đây:
Mệnh đề 2.1.2. Hai đường thẳng phân biệt hoặc không có điểm chung hoặc chúng cắt nhau tại đúng một điểm.
Chứng minh: Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì kết quả đã được chứng minh. Giả sử chúng có điểm chung. Nếu chúng có nhiều hơn một điểm chung thì có hai điểm phân biệt A và B cùng thuộc hai đường thẳng: Mâu thuẫn theo Tiên đề I1. Do vậy, hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại đúng một điểm.
Hệ quả 2.1.3. Đường thẳng được xác định duy nhất bởi hai điểm thuộc nó.
Mệnh đề 2.1.4. Với mỗi đường thẳng luôn tồn tại điểm không thuộc nó.
Chứng minh: Cho đường thẳng dvà lấy hai điểm phân biệt A, B thuộc
d. Theo Tiên đề I2, có điểm C để A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng. Vậy C là điểm không thuộc đường thẳng d.
Nhóm các tiên đề thứ tự
Nhóm tiên đề thứ tự diễn đạt những tính chất về sự sắp xếp các điểm thuộc một đường thẳng và mặt phẳng. Vị trí các điểm thuộc một đường thẳng được biểu thị bằng các khái niệm “ở giữa” hoặc "nằm giữa." Nhóm này bao gồm hai tiên đề:
II1. Với ba điểm tùy ý cùng thuộc một đường thẳng có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
II2. Một đường thẳng chia tập các điểm trong mặt phẳng, không thuộc nó, ra làm hai tập con (nửa mặt phẳng) sao cho đoạn thẳng nối hai điểm trong cùng một nửa mặt phẳng không cắt đường thẳng, còn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau thì cắt đường thẳng.
Định nghĩa 2.1.5. Giả sử đường thẳng d chia mặt phẳng ra làm hai nửa mặt phẳng. Đường thẳng d được gọi là bờ của mỗi nửa mặt phẳng. Cách diễn đạt "điểm B nằm giữa hai điểm A và C" cũng chính là diễn đạt "điểm B tách hai điểm A và C" hay "hai điểm A và C ở hai phía khác nhau đối với điểm B." Khi B tách hai điểm A và C thì B và
C nằm cùng một phía của điểm A. Khái niệm đoạn thẳng ra đời từ các điểm nằm giữa. Đó là phần đường thẳng nằm giữa hai điểm A và B hay tập tất cả các điểm thuộc đường thẳng nằm giữa hai điểm A và B. Tập này được gọi là đoạn AB.
Phần đường thẳng gồm tất cả các điểm cùng điểmB nằm cùng một phía của điểm A được gọi là nửa đường thẳng hay tia AB. Điểm A được gọi là điểm gốc của tia AB. Hai tia được gọi là bù nhau nếu có chung gốc và tạo thành một đường thẳng.
Mệnh đề 2.1.6. Xét nửa đường thẳng AB với điểm gốc A. Qua A kẻ một đường thẳng d sao cho B không thuộc d. Khi đó nửa đường thẳng
AB chứa những điểm và chỉ những điểm thuộc đường thẳng AB nằm
trong nửa mặt phẳng chứa B đối với đường thẳng d.
Chứng minh: Với đường thẳng tùy ý d, mỗi đoạn thẳng thuộc đường thẳng AB mà cắt d thì điểm cắt chính là A. Từ đây suy ra rằng, nếu điểm C thuộc nửa đường thẳng AB với gốc A và C 6= A thì đoạn thẳng
BC không cắt d. Điều này có nghĩa B và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng. Ngược lại, nếu điểm D thuộc đường thẳng AB nằm trong cùng một nửa mặt phẳng chứa B thì đoạn thẳng BD không thể cắt d.
Điều này có nghĩa hai điểm B và D thuộc đường thẳng AB ở cùng một phía đối với A. Như vậy, điểm D thuộc nửa đường thẳng AB với điểm gốc A.
Mệnh đề 2.1.7. Điểm A thuộc đường thẳng d chia đường thẳng d thành hai nửa đường thẳng, được ký hiệu Ad1 và Ad2, chung điểm gốc A. Khi đó, những điểm khác điểm A thuộc nửa đường thẳng Ad1 sẽ khác những điểm khác A thuộc nửa đường thẳng Ad2.
Chứng minh: Qua điểm A dựng đường thẳng d0 khác đường thẳng d.
Khi đó đường thẳng d0 chia mặt phẳng chứa d và d0 thành hai nửa mặt phẳng, trong đó mỗi nửa mặt phẳng chỉ chứa một trong hai nửa đường thẳng Ad1, Ad2. Theo Mệnh đề 2.1.6 ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 2.1.8. Tam giác là một hình bao gồm ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng và ba đoạn thẳng nối từng cặp điểm. Ba điểm được gọi là ba đỉnh và ba đoạn được gọi là ba cạnh của tam giác. Giả sử tam giác ABC với ba đỉnh A, B, C và ba cạnh BC, CA, AB. Ta gọi BC
là cạnh đối diện đỉnh A, CA là cạnh đối diện đỉnh B và AB là cạnh đối diện đỉnh C.
Mệnh đề dưới đây là Tiên đề Pasch trong Hệ tiên đề Hilbert.
Mệnh đề 2.1.9. Nếu đường thẳng không qua đỉnh của tam giác mà cắt một cạnh thì nó cắt đúng một trong hai cạnh còn lại của tam giác.
Chứng minh: Xét tam giác ABC. Giả sử đường thẳng d không đi qua một đỉnh nào và cắt cạnh AB của tam giác ABC. Khi đó hai điểm A
và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau do d chia mặt phẳng. Điểm
C thuộc đúng một nửa mặt phẳng. Nếu điểm C và điểm A thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì d không cắt cạnh AC, nhưng d cắt cạnh BC.
Nếu điểm C và điểm B thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì d không cắt cạnh BC, nhưng d cắt cạnh AC. Như vậy, d cắt một và chỉ một trong hai cạnh AC và BC của tam giác ABC.
Nhóm các tiên đề về đo độ dài đoạn thẳng và đo góc
Nhóm tiên đề đo độ dài đoạn thẳng và đo góc gồm hai tiên đề sau: III1. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài lớn hơn 0. Nếu điểm C nằm giữa hai
điểm A và B thì độ dài đoạn AB bằng tổng hai độ dài của đoạn
AC và đoạn BC.
Dễ dàng nhận ra rằng, Tiên đề III1 cho phép chúng ta hình thành khái niệm tọa độ trên một đường thẳng qua việc liên kết mỗi điểm thuộc đường thẳng với một số thực và nó cũng dẫn ta đến khái niệm khoảng cách giữa hai điểm. Nếu x(A), x(B) là tọa độ của hai điểm phân biệt
A và B thì độ dài đoạn AB, ký hiệu `(AB), đúng bằng |x(A)−x(B)|
và khoảng cách d(A, B) giữa hai điểm A, B được định nghĩa d(A, B) =
(
`(A, B) khiA 6= B
0 khiA ≡ B.
Ta lậptrục tọa độnhư sau: Lấy điểmO thuộc đường thẳngd.Ta cho điểm
O liên kết với số 0 như tọa độ của nó. ĐiểmO chia đường thẳng d thành hai nửa đường thẳng, một nửa đường thẳng d được gọi là chiều dương
hay phía dương và nửa còn lại được gọi là chiều âm hay phía âm của O.
Nếu điểm A thuộc chiều dương thì tọa độ điểm A bằng x(A) = `(OA),
còn nếu điểm A thuộc chiều âm thì x(A) = −`(OA). Hiển nhiên, với một trục tọa độ và tọa độ điểm A, B trên trục tọa độ này là x(A), x(B) thì AB = `(AB) =|x(A)−x(B)|.
Định nghĩa 2.1.10. Hai nửa đường thẳng chung gốc lập thành một hình được gọi là một góc. Gốc chung được gọi là đỉnh, hai nửa đường thẳng của góc được gọi là cạnh của góc. Một góc có hai cạnh là hai nửa đường thẳng chung gốc của một đường thẳng được gọi là góc bẹt.
Với góc đỉnh O và hai cạnh Oa, Ob ta ký hiệu góc (aOb) hoặc aObd hay đơn giản hơn nữa là (ab). Ta nói tia c nằm gữahai cạnh của góc aObd nếu
tia c chứa đỉnh của góc và tia c cắt một đoạn AB nào đó với A thuộc cạnh Oa và B thuộc cạnh Ob. Khi góc là góc bẹt, thì tia xuất phát từ đỉnh của góc và khác hai cạnh của góc bẹt sẽ là tia nằm giữa hai cạnh của góc. Với khái niệm tia nằm giữa hai cạnh của góc ta có kết quả dưới đây:
Mệnh đề 2.1.11. Nếu tia c nằm gữa hai cạnh của góc aObd thì tia c cắt một đoạn CD tùy ý với C thuộc cạnh Oa và D thuộc cạnh Ob.
Chứng minh: Theo định nghĩa, tia c cắt một đoạn AB nào đó với A
thuộc cạnh Oa và B thuộc cạnh Ob. Giả sử CD là một đoạn tùy ý với
C thuộc cạnh Oa và D thuộc cạnh Ob. Theo Mệnh đề 2.1.9 đối với tam giác ABC và đường thẳng chứa tia c ta thấy ccắt đoạn BC. Lại áp dụng Mệnh đề 2.1.9 đối với tam giác BCD và đường thẳng chứa tia c ta thấy
c cắt đoạn CD.
III2. Mỗi góc có số đo bằng độ lớn hơn 0. Một góc bẹt có số đo1800. Nếu tia c ở giữa hai cạnh của góc (ab) thì số đo độ của góc (ab) bằng tổng hai số độ của hai góc (ac) và (bc).
Định lý 2.1.12. Giả sử tia Oa thuộc bờ của nửa mặt phẳng (P). Trong nửa mặt phẳng (P) ta dựng hai tia phân biệt Ob và Oc. Khi đó hoặc tia
c nằm giữa hai cạnh của góc (ab) hoặc tia b nằm giữa hai cạnh của góc
(ac). Trong cả hai trường hợp ta đều có (bc) =|(ab)−(ac)|.
Chứng minh: Lấy điểm A thuộc tia Oa, A 6= O và điểm C thuộc tia
Oc, C 6= O. Lấy điểm A1 thuộc phần bù của tia Oa. Nếu đoạn AC cắt tia Ob thì b nằm giữa hai cạnh của góc (ac) và (ac) = (ab) + (bc). Do vậy (bc) = (ac)−(ab). Nếu AC không cắt tia Ob thì A1C cắt tia Ob tại
điểm D. Khi đó tia Oc cắt đoạn AD. Vậy tia Oc nằm gữa hai cạnh của góc (ab) và ta có (ab) = (ac) + (bc). Do vậy (bc) = (ab)−(ac). Tóm lại hoặc tia c nằm giữa hai cạnh của góc (ab) hoặc tia b nằm giữa hai cạnh của góc (ac). Trong cả hai trường hợp ta đều có (bc) = |(ab)−(ac)|.
Nhóm tiên đề tồn tại tam giác bằng tam giác đã cho
Định nghĩa 2.1.13. Hai đoạn thẳng được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo chiều dài. Hai góc được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo độ. Hai tam giác ABC và A1B1C1 được gọi là bằng nhau và viết ∆ABC = ∆A1B1C1, nếu AB = A1B1, BC = B1C1, CA = C1A1 và
b
A = Ac1, Bb = Bc1, Cb = Cc1.
Nhóm tiên đề về sự tồn tại một tam giác bằng một tam giác đã cho bao gồm đúng một tiên đề sau đây:
IV. Cho tam giác ABC và nửa đường thẳng a. Khi đó luôn luôn tồn tại tam giác A1B1C1 bằng tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đỉnh
A1 trùng với gốc của nửa đường thẳng a, đỉnh B1 thuộc nửa đường thẳng a và đỉnh C1 thuộc nửa đường thẳng tương ứng đối với a.
Mệnh đề 2.1.14. Có một và chỉ một điểm B thuộc nửa đường thẳng
Aa để đoạn thẳng AB bằng một đoạn thẳng đã cho.
Chứng minh: Giả sử đã có nửa đường thẳng Aa và đoạn thẳng M N.
Lấy điểm B không thuộc đường thẳng M N. Theo Tiên đề IV, có đúng một tam giác ABC bằng tam giác M N P với AB = M N. Tính duy nhất của điểm B: Nếu có điểm B0 thuộc tia Aa để AB0 = M N. Khi đó
AB = AB0 và dễ dàng suy ra B ≡ B0.
Mệnh đề 2.1.15. Cho nửa mặt phẳng (P) với bờ a. Lấy O thuộc a. Khi đó có đúng một tia Ob trong nửa mặt phẳng (P) để aObd bằng một góc đã cho.
Nhóm tiên đề tồn tại một đoạn thẳng với độ dài đã cho
Nhóm tiên đề về sự tồn tại một đoạn thẳng với độ dài đã cho bao gồm đúng một tiên đề sau đây:
V. Với mỗi số thực ` > 0 luôn có một đoạn thẳng với độ dài bằng `.
Nhóm tiên đề song song
Định nghĩa 2.1.16. Hai đường thẳng d và d0 cùng nằm trong một mặt phẳng và không cắt nhau được gọi là song song và ký hiệu dkd0.
Nhóm tiên đề song song chỉ có một tiên đề.
VI. Trong mặt phẳng, qua một điểm không thuộc đường thẳng kẻ được đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Mệnh đề 2.1.17. Trong mặt phẳng cho ba đường thẳng phân biệt đôi một d1, d2, d3. Nếu d1kd2 và d2kd3 thì d1kd3.
Chứng minh: Nếu d1 không song song với d3 thì d1 cắt d3 tại điểm A
chẳng hạn. Như vậy, qua A có hai đường thẳng d1, d3 cùng song song với
d2. Điều này mâu thuẫn với Tiên đề V I. Từ đây suy ra d1kd3.
Hệ quả 2.1.18. Trong mặt phẳng, nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cắt đường thẳng song song còn lại.
Chứng minh: Giả sử d1kd2 và đường thẳng d cắt đường thẳng d1 tại điểm A. Nếu d không cắt d2 thìdkd2. Như vậy, qua A kẻ được hai đường thẳng d, d1 cùng song song với d2. Điều này mâu thuẫn với Tiên đề V I.
Từ đây suy ra d cắt d2.
Nhóm các tiên đề cho Hình không gian
Nhóm tiên đề cho không gian gồm ba tiên đề sau đây:
VII1. Với mỗi mặt phẳng, tồn tại những điểm thuộc nó và những điểm không thuộc nó.
VII2. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cắt nhau thành một đường thẳng.
VII3. Nếu hai đường thẳng phân biệt có một điểm chung thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
Với nhóm ba tiên đề trên và thuật ngữ "thuộc" hoặc "nằm trong" được