2 Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị và các phép toán đồ
2.1.4 Định lý Kirchhoff
Định lý 2.1.13. ([2], [4]). Giả sử L là một ma trận Laplace của một đơn đồ thị liên thông G với n đỉnh. Khi đó, số lượng cây bao trùm của G, kí hiệu t(G)
được xác định bởi công thức
t(G) = 1 n n Y i=1 λi hay tG =Ckk(L)
với λi là các giá trị riêng không âm của LG (ma trận Laplace của đồ thị G). Nhận xét 2.1.14. Ta thấy rằng tổng của mọi phần tử trên mỗi hàng của ma trận Laplace G đều bằng 0. Do đó, vectơ [1,1, . . . ,1]T là vectơ riêng của L với giá trị riêng 0. Do đó mọi giá trị riêng của L đều không âm và 0 phải là giá trị riêng nhỏ nhất của L.
2.1.4.1 Hạng của ma trận con của ma trận liên thuộc B
Chú ý rằng mỗi một cột của ma trận liên thuộc có chính xác một giá trị 1 và một giá trị (-1). Do đó, tổng các thành phần của mỗi cột bằng 0. Tên tổng của tất cả các vectơ hàng của ma trận bằng 0. Do đó nó phụ thuộc tuyến tính. Vậy hạng của ma trận B phải nhỏ hơn n. Do đó chúng ta có những điều sau đây.
Hệ quả 2.1.15. ([2], [4]). Nếu G liên thông và BG là ma trận liên thuộc của G thì rank(BG)≤ n−1.
Bây giờ chúng ta xem xét ma trận con H của G trên k < n đỉnh mà
rank(BH) = k. Điều đó có nghĩa là mọi hàng của BH là độc lập tuyến tính. Do đó tồn tại ít nhất một cạnh e = (u, v) mà nối đỉnh của H với đỉnh không thuộc H. Nói một cách khác, H không thể là một thành phần liên thông của G. Do đó chúng ta có điều sau đây.
Hệ quả 2.1.16. ([2], [4]). Nếu hạng của ma trận liên thuộc BH là n−1 với H là ma trận con (n−1) đỉnh của G thì G liên thông.
Bổ đề 2.1.17. ([2], [4]). Định thức của mọi ma trận vuông (n−1)×(n−1)
của B đều bằng 0 hoặc 1 hoặc (−1).
2.1.4.2 Hạng của ma trận B và tính liên thông của G.
Giả sử Be là ma trận con cho bởi B bằng cách xóa đi chính xác một hàng củaB. Chú ý rằng có ít nhất một cột của B có tổng các giá trị khác 0. Vậy các hàng của Be sẽ độc lập tuyến tính và rank(Be) sẽ lớn hơn hoặc bằng số lượng hàng của B. Đo đó,e rank(Be)≥ n−1.
Tuy nhiên, hạng của ma trận liên thuộc B phải lớn hơn hoặc bằng bất kỳ hạng của ma trận con của nó mà trong đó có B. Mà ở đây, ma trận con lớne nhất của B có n−1 hàng.
Hệ quả 2.1.18. ([2], [4]). Nếu G liên thông và B là ma trận liên thuộc của G thì rank(B)≥ n−1.
Bổ đề 2.1.19. ([2], [4]). [Hạng của ma trận liên thuộc của ma trận liên thông]. Cho B là ma trận liên thuộc của đồ thị G. Khi đó G liên thông khi và chỉ khi
rankB = n−1.
Chứng minh. (⇒) Từ Hệ quả 2.1.15 và 2.1.18, ta thấyGliên thông thì(n−1) ≥ rankB ≥ (n−1) điều này có nghĩa rankB = n−1.
(⇐) Cho rankB = n− 1. Khi đó, tồn tại một ma trận con (n−1)× m của B gọi là B, mà có hạng bằnge n− 1. Giả sử Be là ma trận liên thuộc của ma trận con H(V ,e Ee) của G trên n−1 đỉnh hạng của Be khác với số hàng của B.e Chúng ta gắn là Bổ đề 2.1.23 và ở đó G liên thông.
2.1.4.3 Sự liên hệ giữa cây bao trùm và ma trận liên thuộc
Ma trận con T(V,Ee)là cây bao trùm của đồ thị G(V, E) nếu có những tính chất sau:
1. T có n đỉnh và n−1 cạnh. 2. T liên thông.
Chúng ta xem xét BT là ma trận n×m ra. Ở đó T liên thông, theo Bổ đề 2.1.19 ta có rank(BT) = n−1, điều đó có nghĩa là tổng hàng của BT không bằng 0, và do đó bộ(n−1) hàng của BT là độc lập tuyến tính. Do đó, mọi tập hàng Be của BT bao gồm n−1 hàng (và tất cả (n−1) cột) sẽ có hạng n−1. Bây giờ vì Be là một ma trận vuông với (n−1) hàng và (n−1) cột với hạng
(n−1), nó có nghĩa det(Be)6= 0. Do đó, chúng ta chứng minh các bổ đề sau Bổ đề 2.1.20. ([2], [4]). [Định thức của ma trận vuông bất kỳ (n−1) của BT]. Nếu BT là ma trận liên thuộc của cây bao trùm T của G thì mọi ma trận con, vuông cấp (n−1)×(n−1) của BT không suy biến.
Chứng minh. Do BT là ma trận liên thuộc của cây bao trùm G nên hạng của ma trận BT phải là (n−1) và định thức của ma trận (n−1)×(n−1) của BT phải thỏa mãn det(BT)6= 0 do đó BT không suy biến.
Bổ đề 2.1.21. ([2], [4]). Cho G là đồ thị với n đỉnh và B là ma trận liên thuộc của nó. Lấy H là ma trận con của G với n−1 cạnh và BH là ma trận liên thuộc của nó. Khi đó H là cây bao trùm của G khi và chỉ khi mọi ma trận con, vuông cấp (n−1)×(n−1) của BH là không suy biến.
Chứng minh. (⇒) Lấy G liên thông. Khi ấy G là đồ thị vớin đỉnh và B là ma trận liên thuộc của nó. Lấy H là ma trận con của G với n−1 cạnh và BH là ma trận liên thuộc của nó. Khi đó H là cây bao trùm của G. Vận dụng Bổ đề 2.1.20 ta có BH là không suy biến.
(⇐). Mọi ma trận vuông con cấp (n−1)× (n−1) của BH là không suy biến. Thật vậy:
Nếu mọi ma trận con Be cấp (n−1)×(n−1) của ma trận B là không suy biến điều đó có nghĩa là rank(Be) = n−1. Do đó áp dụng Hệ quả 2.1.16 chúng ta thấy H liên thông. Do đó H có đúng n−1 cạnh với n đỉnh nên H phải là một cây. Do đó H là cây bao trùm.
Từ hai bổ đề trên ta thu được các hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.22. ([2], [4]). Mối một ma trận vuông không suy biến của B tương ứng với một cây bao trùm cảm sinh bởi chính những cột của nó.
Chứng minh. Cho G = (V, E) là một đồ thị liên thông. Lấy Q là một ma trận con, vuông cấp (n− 1) × (n− 1) của B và lấy GQ(VQ, EQ) là ma trận con với mỗi Q là một ma trận liên thuộc. Không mất tính tổng quát ta giả sử
VQ = {v1, v2, . . . , vn−1} ở đó rank(Q) = n−1 (bởi nó không suy biến), có ít nhất một cột có tổng hàng khác 0 và do đó có một cạnh liên thông với đỉnh u mà u∈ V\VQ. Do đó ma trận con T(VQ∪ {u}, EQ) liên thông có n đỉnh và n−1 cạnh và do vậy nó là cây bao trùm của đồ thị G với cùng các cạnh tương ứng với các cột ở Q.
Hệ quả này dẫn chúng ta tới một kết quả quan trọng sau đây.
Bổ đề 2.1.23. ([2], [4]). [Số cây bao trùm và ma trận liên thuộc của B]. Giả sử Bek là ma trận con của ma trận B có được bằng cách xóa hàng thứ k từ B. Khi đó Bek có n−1hàng và m cột. Do đó số lượng cây bao trùm củaG, ký hiệu t(G), bằng số lượng ma trận con không suy biến cấp (n−1)×(n−1) của Bek. Chứng minh. Theo Hệ quả 2.1.22 mỗi một ma trận con Q không suy biến cấp
(n−1)×(n−1) của Bek tương ứng cho một cây bao trùm. Tuy nhiên Bek có n−1 hàng và mcột, mỗi Q có một bộ cạnh khác nhau. Do đó số cây bao trùm của G bằng số ma trận không suy biến Bek với số chiều (n−1)×(n−1). 2.1.4.4 Một số kết quả giải tích ma trận
F1: Bek là ma trận con cấp (n−1)×m của ma trận liên thuộc B cấp n×m bằng cách xóa bỏ hàng thứ k. Khi đó phần bù đại số của phần tử đường chéo thứ k của ma trận Laplace được tính như sau:
Ckk = det Bek ·BekT !
.
F2: Công thức Cauchy - Binet
det(AB) = detA·detB.
F3: Phần phụ đại số thứ k đường chéo chính của ma trận vuông cấp (n×n) bằng với định thức con chính thứ k. Nghĩa là
Ckk = [L]kk với 1< k ≤n.
F4: Tích của tất cả các giá trị riêng không âm của tổ hợp Laplace L bằng tích của mọi định thức con chính của L. Nghĩa là
(λ2λ3. . . λn) =
n X
k=1
Chứng minh. Do [L]kk =Ckk mà Ckk là ma trận vuông cấp n với giá trị riêng λ2, . . . , λn.
Bởi vì giá gị riêng là n nghiệm của đa thức đặc trưng pL(λ)
det(λIn−Ck) = n X p=0 (−1)n−pCn−pλp pA(λ) = (λ−λ2)(λ−λ3). . .(λ−λn) =λn−1 −(λ2 +λ3+. . .+λn)λn−2 +. . .+ (−1)nλ2λ3. . . λn. So sánh với hệ số của đa thức đặc trưng. Chúng ta có
C11 = trA=λ2+λ3+. . .+λn = [L]11
C(n−1)(n−1) =λ2λ3. . . λn = [L](n−1)(n−1).
2.1.4.5 Chứng minh định lý Kirchhoff
Định lý 2.1.24. ([2], [4]). Cho 0 = λ1 ≤ λ2 ≤λ3 ≤ . . .≤ λn là ngiá trị riêng của ma trận Laplace L của đồ thị G
t(G) = 1 n × n Y k=1 λk.
Chứng minh. Bước 1: (Sử dụng F1) Lấy P là một ma trận con cấp (n−1)×m của ma trận liên thuộc B bằng cách bỏ đi hàng thứ k của B.
Ckk = det(P ·PT).
Bước 2: Chúng ta xây dựng tất cả các ma trận con cấp (n−1)×(n−1) từ P như sau: Lấy s là một dãy bất kỳ từ n−1 phần tử lấy từ 1,2,3, . . . , m sao cho Si < Si+1. Lấy S là bộ tất cả các dãy s. Bây giờ, xây dựng một dãy điển hình s, là Ps là ma trận con cấp (n−1)×(n−1) của P bao gồm bởi giữ chỉ những cột từ P mà những phần tử trong s.
Bước 3: (Sử dụng F2) Chúng ta muốn đánh giá từ bước 1 sử dụng công thức Cauchy - Binet như sau:
Ckk = det(P ·PT)
=X
s∈S
det(Ps)×det(PsT)
=Xdet(Ps)2 do det(Ps) = det(PsT).
Bước 4: Ps phải bằng 0 hoặc 1 hoặc (-1), do đó phương trình ở trên có dạng sau Ckk = X s∈S det(Ps)2 = X s∈S,detPs=0 02 + X s∈S,detPs6=0 (±1)2 = X s∈S,detPs6=0 1
= ma trận vuông không suy biến cấp (n−1) của P
= ma trận vuông không suy biến cấp (n−1) của Bek.
Bước 5: Ta có số lượng cây bao trùm trong G tương đương với số lượng ma trận con không suy biến cấp (n−1)×(n−1) của B. Do đó phương trình trên trở thành:
Ckk = số lượng cây bao trùm của G= t(G).
Bước 6: Chú ý t(G)không phụ thuộc vào cách lấy k và do đó mỗi một phần bù đại số đường chéo của tổ hợp Laplace Ct bằng t(G)
t(G) =C11 = C22 =. . .= Cnn. Bước 7: (Sử dụng F4 và F5) λ2λ3. . . λn = n X k=1 [L]k,k (bởi F4) = n X k=1 Ck,k (bởi F5) = n×t(G) (bởi Bước 6). Do đó chúng ta chứng minh được định lý.