Cho tứ giác lồiABCDnội tiếp trong đường tròn tâmObán kínhR.Ký hiệuHa,Hb,Hc,Hd
là trực tâm tam giácBCD,CDA,DAB,ABC,tương ứng.
Bổ đề 1.3.1. Ta luôn cóHaHd =ADvàHaHd kAD.
Chứng minh. GọiLlà trung điểm cạnhBC.Khi đóAHdkOLvàAHd=2OL.Tương tự, ta cũng có DHa kOL và DHa =2OL. Vậy DHa kAHd và DHa =AHd. Từ đây suy ra tứ giácAHdHaDlà một hình bình hành và ta nhận đượcHaHd kAD,HaHd =
AD.
Định lí 1.3.2. Bốn đoạn thẳngAHa,BHb,CHc,DHd đồng quy tại một điểm.
Chứng minh. Vì tứ giác AHdHaDlà một hình bình hành nên AHa vàDHd cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đoạn. Tương tự,BHb,CHc cũng đều cắtAHa tại H. Như vậy, bốn đoạn thẳng AHa,BHb,CHc,DHd đồng quy tại điểm H, trung điểm mỗi đoạn.
Hệ quả 1.3.2. Với tứ giác lồi ABCDnội tiếp trong đường tròn vàHa,Hb,Hc,Hd là trực tâm tam giácBCD,CDA,DAB,ABC,tương ứng, ta luôn luôn có hệ thức
AHa2+BHb2+CHc2+DHd2=AB2+BC2+CD2+DA2+BHa2+CHb2+DHc2+AHd2.
Chứng minh. Vì các tứ giác ABHaHb,BCHbHc,CDHcHd,DAHdHa là những hình bình hành theo Định lý 1.3.2 nên ta nhận được các hệ thức dưới đây:
AHa2+BHb2 = 2(AB2+BHa2),BHb2+CHc2 =2(BC2+CHb2)
CHc2+DHd2 = 2(CD2+DHc2),DHd2+AHa2=2(DA2+AHd2). Cộng các hệ thức vế theo vế, ta nhận được hệ thức cần chứng minh.
Định lí 1.3.3. Ký hiệuK,L,M,Nlà trung điểm các cạnhAB,BC,CD,DAtương ứng. Khi đó các đường thẳng vuông góc với cạnh đối như sau: KH ⊥CD, LH ⊥ DA,
MH ⊥ABvàNH ⊥BC.ĐiểmH được gọi làtrực tâmcủa tứ giácABCD.
Chứng minh. VìLHkAHd nênLH⊥DA.Tương tự,KH⊥CD,MH⊥ABvàNH⊥
BC.
Ví dụ 1.3.9. Cho tứ giác lồi ABCDnội tiếp trong một đường tròn vàHa,Hb,Hc,Hd
là trực tâm tam giác BCD,CDA,DAB,ABC,tương ứng. Khi đó tứ giác ABCD bằng tứ giácHaHbHcHd.
Bài giải. Vì các tứ giác ABCD vàHaHbHcHd đối xứng với nhau qua điểm H theo Định lý 1.3.2 nên tứ giácABCDbằng tứ giácHaHbHcHd.
Ví dụ 1.3.10. Cho tứ giác lồi ABCDvừa nội tiếp trong đường tròn, ngoại tiếp một đường tròn khác vàHa,Hb,Hc,Hd là trực tâm tam giácBCD,CDA,DAB,ABC,tương ứng. Khi đó tứ giácHaHbHcHd vừa nội tiếp trong một đường tròn và ngoại tiếp một đường tròn khác.
Bài giải. Vì các tứ giác ABCD vàHaHbHcHd đối xứng với nhau qua điểm H theo Định lý 1.3.2 nên tứ giác ABCD bằng tứ giác HaHbHcHd. Vậy, tứ giác HaHbHcHd
vừa nội tiếp một đường tròn và ngoại tiếp một đường tròn khác.