song song
Dưới đây ta giới thiệu các thuật toán trong không gian hữu hạn chiều vì việc tính toán trong không gian vô hạn chiều cũng phải xấp xỉ qua không gian hữu hạn chiều.
Phương pháp chiếu lần lượt
Phương pháp chiếu lần lượt là thuật toán rất đơn giản để tính toán điểm trong giao một số tập lồi, sử dụng một dãy các phép chiếu lên tập hợp. Giống phương pháp
gradient hoặc subgradient, phương pháp chiếu lần lượt có thể chậm, nhưng phương pháp này có thể hữu ích khi ta có các phương pháp hiệu quả để tính hình chiếu. Trong bài này, ta chỉ sử dụng phép chiếu Euclide.
Giả sửCvàDlà các tập đóng lồi thuộcRn và choPC vàPDlần lượt là các toán tử chiếu trên C và D. Phương pháp xuất phát với bất kỳ x0 ∈ C, sau đó chiếu lần lượt lên C vàD: yk = PD(xk), xk+1 = PC(yk), k = 0,1,2, . . . Khi đó tạo ra các dãy điểmxk ∈C vàyk ∈D.
Theo kết quả của Cheney và Goldstein nếuC ∩D 6= ∅, thì dãyxk vàyk đều hội tụ đến điểmx∗ ∈C∩D.
Hình 2.1: Một số lần lặp đầu tiên của phương pháp chiếu lần lượt. Cả hai dãy đều hội tụ đến điểmx∗ ∈ C∩D
Phương pháp chiếu lần lượt cũng được sử dụng khi các tập không giao nhau. Trong trường hợp này ta có kết quả sau. Giả sử rằng tồn tại khoảng cách giữaC và
khác, chiếu lần lượt cho cặp điểm trong thuộcC vàDcó khoảng cách nhỏ nhất.
Hình 2.2: Một số lần lặp đầu tiên của phương pháp chiếu lần lượt, trong trường hợp
C ∩D = ∅. Dãy xk hội tụ đến x∗ ∈ C, và dãy yk hội tụ đến y∗ ∈ D, trong đó kx∗−y∗k2 =dist(C, D)
Chứng minh hội tụ
Ta sẽ chứng minh hội tụ phương pháp chiếu lần lượt trong trường hợpC∩D 6=∅. Chox¯là điểm bất kỳ thuộcC ∩D. Do yk là phép chiếu củaxk lênD, ta có
D ⊆ {z | (xk −yk)T(z−yk) ≤0}.
Nói cách khác, nửa không gian đi quayk, với pháp tuyến ngoàixk −yk chứaD. Bây giờ ta chú ý
kxk −x¯k2 =kxk−yk +yk −x¯k2
=kxk−ykk2+kyk −x¯k2+ 2(xk −yk)T(yk−x¯)
Theo như trên. Ta có
kyk −x¯k2 ≤ kxk−x¯k2− kyk −xkk2. (2.1)
Điều này cho thấyyk gầnx¯hơnxk. Tương tự ta thấy
kxk+1−x¯k2 ≤ kyk−x¯k2− kxk+1−ykk2, (2.2)
tức là,xk+1 gầnx¯hơnyk. Ta có:
kxk −x¯k ≤ kx0 −x¯k, kyk −x¯k ≤ kx0−x¯k, k = 1,2, . . .
Như vậy, ta kết luận dãy xk và yk đều bị chặn. Do đó dãy xk có điểm từ x∗. Vì C
đóng vàxk ∈C, ta cóx∗ ∈C. Ta chứng minh rằngx∗ ∈D, và các dãyxk vàyk đều hội tụ đếnx∗.
Từ (2.1) và (2.2) ta thấy rằng dãy
{kxk −xk}, {kyk−xk}
là giảm, nên chúng hội tụ. Từ (2.1) và (2.2) ta cókyk −xkkvàkxk+1−ykkphải hội tụ đến 0.
Một dãy con của{xk}hội tụ đếnx∗. Từ
dist(xk, D) =dist(xk, yk) → 0
do tính đóng củaD, ta cóx∗ ∈D. Do đó,x∗ ∈C ∩D.
Từ đóx∗ thuộc tập giao, ta lấyx= ¯x(vìx¯là điểm bất kỳ trong tập giao) để tìm khoảng cách của cảxk vàyk đếnx∗ là giảm. Do có một dãy con hội tụ đến 0, ta kết luận rằngkxk −x∗kvàkyk −x∗kđều hội tụ đến 0.
Phương pháp chiếu song song
Cho hai tập lồiC vàD khác rỗng thuộcRn.PC vàPD là các toán tử chiếu trên
C vàD. Giả sửC∩D6=∅. Để tìm một điểm trong tậpC ∩Dta làm như sau: Lấy điểm xuất phátx0 (bất kỳ). Tính
Lấy
x1 =λu0+ (1−λ)v0vớiλ ∈[0,1].
Sau đó ta tính
u1 = PC(x1) vàv1 =PD(x1),
và cứ thế tiếp tục.
Người ta đã chứng minh: nếu quá trình kéo dài vô hạn thì thu được một dãy vô hạn{xn}sao choxn → x∗ ∈C∩D.