Xét bài tốn quy hoạch lồi (P). Trong đó f(x) là một hàm thực xác định trên một tập mở chứaD. Khi đó, có một trong bốn khả năng sau có thể xảy ra:
(i) Bài tốn(P) khơng có phương án chấp nhận được, tứcD =∅. (ii) Bài tốn có nghiệm tối ưu, tức tồn tạix∗ ∈D sao cho
f(x∗) ≤f(x) ∀x∈D, và giá trị tối ưu của bài toán là:f(x∗) = min
x∈Df(x).
(iii) Bài toán khơng có nghiệm tối ưu và giá trị hàm mục tiêuf(x)giảm vô hạn trên tập chấp nhận đượcD, tức giá trị tối ưuinf{f(x)| x∈ D}=−∞.
(iv) Bài tốn khơng có nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu inf{f(x) | x ∈ D}là hữu hạn.
Như vậy, trừ trường hợp tập chấp nhận được bằng rỗng, giá trị tối ưu của bài tốn
(P)ln tồn tại nhưng nghiệm tối ưu thì khơng nhất thiết tồn tại. Việc tìm kiếm điều kiện đảm bảo để bài tốn có nghiệm tối ưu là vấn đề quan trọng.
Mệnh đề 2.2. Điều kiện cần và đủ để bài tốn(P) có nghiệm tối ưu là tập
f(D)+ ={t∈R | t≥f(x), vớix∈D}
đóng và có một cận dưới hữu hạn.
Chứng minh. (⇒)Giả sử x0là nghiệm tối ưu của bài tốn(P). Khi đó, ta có
f(x0) = min
x∈Df(x)vàf(D)+ = [f(x0),+∞).
Hiển nhiênf(D)+ là tập đóng và nhậnf(x0)là một cận dưới.
(⇐) Ngược lại nếu tập f(D)+ có một cận dưới hữu hạn thì cận dưới lớn nhất (hay infimum) của tập này là hữu hạn và ta ký hiệu nó là t0. Theo định nghĩa của infimum,t≥ t0 với mọit∈f(D)+ và tồn tại một dãy{tn} ⊂f(D)+hội tụ đếnt0. Vìf(D)+là tập đóng nênt0 ∈f(D)+.
Theo định nghĩa của tậpf(D)+, tồn tại x0 ∈ Dsao chot0 ≥ f(x0). Hiển nhiên
là f(x0) cũng thuộc f(D)+ và vì t0 là cận dưới lớn nhất của tập f(D)+ nên ta có f(x0) ≥ t0. Suy ra, t0 = f(x0). Điều đó chứng tỏ x0 là nghiệm tối ưu của bài tốn(P).
Định lí 2.1. ChoD là tập compact khác rỗng. Khi đó, nếu hàmf nửa liên tục dưới trênDthì bài tốn(P)có nghiệm tối ưu.
Chứng minh. Giả sử giá trị tối ưu của bài toán (P) là t0 = inff(D). Theo định
nghĩa,
f(x)≥ t0 ∀x∈D (2.3)
và
∃dãy{xn} ⊂D sao cho lim
n→∞f(xn) =t0.
DoDlà tập compact nên có một dãy con của dãy{xn}hội tụ đến một điểmx0 ∈D. Để đơn giản ta có thể giả thiết ln rằng
lim
Dof nửa liên tục dưới tạix0 ∈Dnên
f(x0) ≤ lim
n→∞f(xn) =t0. Kết hợp với (2.3) ta có
t0 = inff(D) =f(x0),
chứng tỏx0 là nghiệm tối ưu của bài tốn(P).
Nếu tập khác rỗngDchỉ đóng mà khơng bị chặn và hàmf nửa lên tục dưới trên Dthì, nói chung, có thể hàmf khơng đạt cực tiểu trênD, tức bài tốn(P)khơng có nghiệm tối ưu. Tuy nhiên,
Định lí 2.2. Cho tập đóng khác rỗngD ⊂ Rn. Nếu hàm f là nửa lên tục dưới trên
Dvà thỏa mãn điều kiện bức trên D,
f(x) →+∞khix∈ D, vàkxk →+∞
thì bài tốn(P) có nghiệm tối ưu.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ D. Trước hết ta chứng minh rằng tập mức dưới
¯
D ={x∈D | f(x)≤ f(x0)}
là tập compact. Thật vậy, dof là nửa liên tục dưới trênDnên với mỗi dãy{xn} ⊂D,¯
{xn} →x¯mà dãy{f(xn)}hội tụ, ta có f(¯x)≤ lim
n→∞f(xn) ≤ f(x0).
Suy ra x¯ ∈ D, chứng tỏ¯ D là tập đóng. Hơn nữa nếu D¯ khơng bị chặn thì phải tồn tại một dãy{xk} ⊂D¯, tứcf(xk) ≤ f(x0), sao cho
kxkk →+∞.
Do điều kiện bức nên f(xk) → +∞, mâu thuẫn với {xk} ⊂ D. Vậy¯ D¯ là tập compact. Theo Định lý 2.1, hàmf đạt cực tiểu trênD¯, tức tồn tạix∗ ∈D¯ sao cho
f(x∗) ≤f(x)với mọix∈ D¯ Dễ thấy,x∗cũng là nghiệm cực tiểu của bài toán(P).