3 MỘT SỐ ÁP DỤNG
3.2 Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác
Đối với phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác, có những bài toán chỉ cần một vài phép thế là đi đến kết quả, nhưng cũng có nhiều bài toán khó, phải trải qua nhiều phép thế mới tìm ra lời giải. Để giải được các bài toán dạng này ta cần phải phát hiện ra các đặc trưng hàm lượng giác được che giấu trong phương trình
hàm, từ đó mới đưa ra những phép thế giá trị phù hợp. Dựa trên các công thức lượng giác
cos (x+y) + cos (x−y) = 2 cosxcosy;
cos (x+y)−cos (x−y) = −2 sinxsiny;
sin (x+y) + sin (x−y) = 2 sinxcosy; sin (x+y)−sin (x−y) = 2 cosxsiny,
bằng việc thay hàm sinx, cosx bởi các ẩn hàm f, g ta đề xuất và giải được các bài toán sau:
Bài toán 3.7. Tìm tất cả các hàm f : R→R thỏa mãn điều kiện
f(x+y) +f(x−y) = 2f(y) cosx, ∀x, y ∈R. (3.25)
Lời giải.
Trong (3.25) cho y= 0 ta được
f(x) = c.cosx, ∀x∈R, (3.26) trong đó f(0) =c.
Thử lại: Thay (3.26) vào (3.25) ta được
c[cos (x+y) + cos (x−y)] = 2c.cosx.cosy, ∀x, y ∈R.
Do đó (3.26) thỏa mãn (3.25), vậy hàm số cần tìm có dạng
f(x) =ccosx, ∀x∈R (c là hằng số bất kì).
Bài toán 3.8. Tìm tất cả các hàm f : R→R thỏa mãn điều kiện ( f(0) = 2014, fπ 2 = 2015 f(x+y) +f(x−y) = 2f(x) cosy ,∀x, y ∈R. (3.27) Lời giải. Trong (3.27) thay x=t− π 2 và y= π 2 ta được f(t) +f(t−π) = 0, ∀t∈R. (3.28) Trong (3.27) thay x= π 2 và y=t−π 2 ta được f(t) +f(π−t) = 2.2015 sint, ∀t∈R. (3.29)
Trong (3.27) thay x= 0 và y=t−π ta được
f(t−π) +f(π−t) =−2.2014 cost, ∀t ∈R. (3.30) Cộng (3.28) và (3.29) ta được
2f(t) +f(t−π) +f(π−t) = 2.2015 sint, ∀t ∈R.
Kết hợp với (3.30) ta được f(t) = 2014 cost+ 2015 sint, ∀t ∈R.
hayf(x) = 2014 cosx+ 2015 sinx, ∀x∈R.
Thử lại thấy đúng.
Vậy f(x) = 2014 cosx+ 2015 sinx.
Bài toán 3.9. Tìm tất cả các hàm f : R→R thỏa mãn điều kiện
f(x+y)−f(x−y) = 2f(y) cosx, ∀x, y ∈R. (3.31)
Lời giải.
Trong (3.31) cho x= 0 ta được
f(−y) = −f(y), ∀y ∈R. (3.32) Trong (3.31) cho x= π 2 và y= π 2 −t ta được f(π−t)−f(t) = 0, ∀t ∈R. (3.33) Trong (3.31) cho x= π 2 −t và y= π 2 và kết hợp với (3.32) ta được f(π+t) +f(t) = 2csint, ∀t∈R, c=fπ 2 . (3.34)
Từ (3.33) và (3.34) ta cóf(t) = csint, ∀t ∈R hay f(x) = csinx, ∀x∈R. Thử lại thấy đúng.
Vậy f(x) =csinx, c là hằng số.
Bài toán 3.10. Tìm tất cả các hàm f : R→R thỏa mãn điều kiện
f(x+y)−g(x−y) = −2 sinxsiny, ∀x, y ∈R. (3.35)
Lời giải.
Ta có (3.35) tương đương với
f(x+y)−g(x−y) = cos (x+y)−cos (x−y), ∀x, y ∈R.
Đặt x+y=u, x−y=v. Thay vào (3.36) ta được f(u)−cosu=g(v)−cosv, ∀u, v ∈R ⇔ f(u)−cosu=c, ∀u∈R g(v)−cosv =c, ∀v ∈R . Hay f(x) = cosx+c, ∀x∈R g(x) = cosx+c, ∀x∈R , c là hằng số. Thử lại thấy đúng.
Vậy f(x) = cosx+c, ∀x∈R, g(x) = cosx+c, ∀x∈R. ( c là hằng số tùy ý).
Bài toán 3.11. Tìm tất cả các hàm f : R→R thỏa mãn điều kiện
f(x+y) +g(x−y) = 2 sinxcosy, ∀x, y ∈R. (3.37)
Lời giải.
Ta có (3.37) tương đương với
f(x+y) +g(x−y) = sin (x+y) + sin (x−y), ∀x, y ∈R.
⇔f(x+y)−sin (x+y) = −[g(x−y)−sin (x−y)], ∀x, y ∈R. (3.38) Đặt x+y=u, x−y=v. Thay vào (3.38) ta được
f(u)−sinu=−[g(v)−sinv], ∀u, v ∈R ⇔ f(u)−sinu=c, ∀u∈R g(v)−sinv =−c, ∀v ∈R . Hay f(x) = sinx+c, ∀x∈R g(x) = sinx−c, ∀x∈R , c là hằng số. Thử lại thấy đúng.
Vậy f(x) = sinx+c, ∀x∈R, g(x) = sinx−c, ∀x∈R. ( c là hằng số tùy ý)
Bài toán 3.12. Tìm các hàm thỏa mãn phương trình
f(x+y)−f(x−y) = 2g(x) siny, ∀x, y ∈R. (3.39)
Lời giải.
Trong (3.39) cho x= 0, ta được
f(y)−f(−y) = 2asiny, ∀y ∈R. (3.40) Đổi vai trò của x và y trong (3.39) ta được
Lấy (3.39) trừ (3.41) ta được
f(y−x)−f(x−y) = 2g(x) siny−2g(y) sinx, ∀x, y ∈R. (3.42) Từ (3.40) và (3.42) suy ra
2asin (y−x) = 2g(x) siny−2g(y) sinx, ∀x, y ∈R
⇔2a(sinycosx−cosysinx) = 2g(x) siny−2g(y) sinx, ∀x, y ∈R
⇔[g(x)−acosx] siny= [g(y)−acosy] sinx, ∀x, y ∈R. (3.43) Từ (3.43) choy = π
2 ta được
g(x)−acosx=bsinx, ∀x∈R, trong đó b =gπ
2
. Hay g(x) =acosx+bsinx, ∀x∈R.
Thay g(x) = acosx+bsinx vào (3.39) ta có
f(x+y)−f(x−y) = 2 (acosx+bsinx) siny
= 2acosxsiny+ 2bsinxsiny
=a[sin (x+y)−sin (x−y)] +b[cos (x−y)−cos (x+y)], ∀x, y ∈R.
Suy ra f(x+y)−asin (x+y) +bcos (x+y)
=f(x−y)−asin (x−y) +bcos (x−y), ∀x, y ∈R.
Đặt x+y=u, x−y=v ta được
f(u)−asinu+bcosu=f(v)−asinv+bcosv, ∀u, v ∈R,
hayf(u) =asinu−bcosu+c, ∀u∈R. (c là hằng số) Thử lại thấy các hàm số sau thỏa mãn yêu cầu đề bài
f(x) = asinx−bcosx+c, ∀x∈R; g(x) =acosx+bsinx, ∀x∈R,
với a, b, c là các hằng số tùy ý.
Từ công thức biến đổi sin (x+y) = sinxcosy+ cosxsiny, ∀x, y ∈ R, nếu ta thay các hàm sin,cos bởi các ẩn hàm f, g tương ứng ta tạo ra được các bài toán sau:
Bài toán 3.13. Tìm các hàm thỏa mãn phương trình
Lời giải. Trong (3.44) cho y= π 2 ta được cosx=f(x) +g π 2 sinx, ∀x∈R. (3.45) Suy ra f(x) = cosx+asinx, ∀x∈R, trong đó a=−g
π
2
. Thay f(x) = cosx+asinx vào (3.44) ta được
sin (x+y) = (cosx+asinx) siny+g(y) sinx, ∀x, y ∈R.
⇔sinxcosy =asinxsiny+g(y) sinx, ∀x, y ∈R. (3.46) Trong (3.46) cho x= π
2 ta được cosy =asiny+g(y), ∀y∈R,
hayg(x) = cosx−asinx, ∀x∈R.
Thử lại thấy đúng, vậy các hàm thỏa mãn yêu cầu đề bài là
f(x) = cosx+asinx, ∀x∈R,
g(x) = cosx−asinx, ∀x∈R,
a là hằng số tùy ý.
Bài toán 3.14. Tìm các hàm thỏa mãn phương trình
f(x+y) =g(x) siny+g(y) sinx, ∀x, y ∈R. (3.47)
Lời giải.
Trong (3.47) cho y= 0 ta được
f(x) =asinx, ∀x∈R, trong đó a=g(0). Thay f(x) =asinx vào (3.47) ta được
asin (x+y) =g(x) siny+g(y) sinx, ∀x, y ∈R. (3.48) Trong (3.48) cho y= π 2, ta được acosx=g(x) +gπ 2 sinx, ∀x∈R. (3.49) Trong (3.49) cho x= π 2 ta được gπ 2 = 0. Suy ra g(x) = acosx, ∀x∈R.
Thử lại thấy đúng, vậy các hàm thỏa mãn yêu cầu đề bài là
f(x) = asinx, ∀x∈R,
a là hằng số tùy ý.
Sau đây ta sẽ đến các bài toán sử dụng đặc trưng hàm đã được đề cập ở phần kiến thức chuẩn bị.
Bài toán 3.15. Tìm các hàm xác định và liên tục trong đoạn [−1; 1] và thỏa mãn phương trình fxp1−y2+yp1−x2=f(x) +f(y), ∀x, y ∈[−1; 1]. (3.50) Lời giải. Đặt x= sinu, y = sinv, ∀u, v∈h−π 2; π 2 i .
Khi đó cosu≥0,cosv ≥0 và
xp1−y2+yp1−x2= sin (u+v), ∀u, v ∈h−π 2; π 2 i .
Phương trình hàm (3.50) có thể viết dưới dạng
f(sin (u+v)) = f(sinu) +f(sinv), ∀u, v ∈h−π 2; π 2 i Đặt f(sinu) = g(u) ta được g(u+v) = g(u) +g(v), ∀u, v ∈h−π 2; π 2 i
Do vậy, g(u) =au, a là hằng số và f(x) = aarcsinx, ∀x∈[−1; 1].
Thử lại thấy đúng.
Vậy f(x) =a arcsinx, a là hằng số tùy ý.
Bài toán 3.16. Tìm các hàm xác định và liên tục trong đoạn [−1; 1] và thỏa mãn phương trình
fxy−p1−y2p1−x2=f(x) +f(y), ∀x, y ∈[−1; 1]. (3.51)
Lời giải.
Đặt x= cosu, y = cosv, ∀u, v ∈[0;π].
Khi đó sinu≥0,sinv ≥0 và xy−p1−y2√
1−x2 = cos (u+v), ∀u, v ∈[0;π].
Phương trình hàm (3.51) có thể viết dưới dạng
f(cos (u+v)) =f(cosu) +f(cosv), ∀u, v ∈[0;π].
Đặt f(cosu) = g(u) ta được g(u+v) =g(u) +g(v), ∀u, v ∈[0;π].
Do vậy, g(u) =au, a là hằng số và f(x) = aarccosx,∀x∈[−1; 1].
Thử lại thấy đúng.
KẾT LUẬN
Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi và áp dụng" đã trình bày được một số vấn đề sau đây:
1- Trình bày về một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi. Trong mỗi phương pháp, tác giả đã đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa. Thông qua đó, giúp cho học sinh phổ thông dễ nắm bắt được từng phương pháp, vận dụng thực hành để ứng dụng trong việc giải phương trình hàm với đối số biến đổi.
2- Tiếp theo, trình bày về phương trình hàm với các phép biến hình sơ cấp. Tác giả đã đề cập đến một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình và một số phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến tính. Ngoài ra tác giả đã cố gắng chọn lọc, sưu tầm đưa vào luận văn một số bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, khu vực, quốc tế và các bài toán trong tạp chí toán học tuổi trẻ ...
3- Cuối cùng, trong luận văn này trình bày các ứng dụng của phương trình hàm với đối số biến đổi vào lớp các phương trình hàm đa thức đại số và lượng giác.
Tài liệu tham khảo
[1] Lê Hải Châu (2007),Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo dục.
[2] Nguyễn Tài Chung, Lê Hoành Phò (2006),Phương trình hàm,NXB ĐHQGHN. [3] Nguyễn Văn Mậu (1998), Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ,NXB Giáo dục. [4] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương trình hàm, NXB Giáo dục.
[5] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi olympic Toán sinh viên toàn quốc, NXB Giáo dục.
[6] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất (2008), Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục.
[7] Nguyễn Trọng Tuấn (2004), Bài toán hàm số qua các kỳ thi olympic, NXB Giáo dục.