2 Đa thức dẫn xuất hữu tỷ
2.5 Bài tập đề xuất
Dưới đây là một số bài tập có liên quan tới đa thức dẫn xuất hữu tỷ.
Bài tập 1. Chứng minh đa thức f(x) =x(x−1)3 là dẫn xuất hữu tỷ.
Hướng dẫn.Tính các đạo hàmf(i)(x)và giải các phương trìnhf(i)(x) =
0 với i = 0,1,2,3.
Bài tập 2. Chứng minh đa thức x2(x−1)2(x−2) không là dẫn xuất hữu tỷ.
Hướng dẫn. Đạo hàm cấp 1làx(x−1)(5x2−11x+4).Rõ ràng phương trình 5x2−11x+ 4 = 0 không có nghiệm hữu tỷ. Do đó đa thức đã cho không là dẫn xuất hữu tỷ.
Bài tập 3. Chứng minh đa thức x(x −4)2(x + 4) không là dẫn xuất hữu tỷ.
Hướng dẫn. Đạo hàm cấp 1 là (x−4)(4x2+ 4x−16). Rõ ràng phương trình x2 + x− 4 = 0 không có nghiệm hữu tỷ. Do đó đa thức đã cho không là dẫn xuất hữu tỷ.
Bài tập 4. Chứng minh đa thức x2(x−1)2 không là dẫn xuất hữu tỷ.
6x2−6x+ 1 = 0 không có nghiệm hữu tỷ. Do đó đa thức đã cho không là dẫn xuất hữu tỷ.
Lưu ý rằng các bài tập 1, 3, 4 có thể chỉ ra cách khác bằng cách áp dụng Định lý 2.4.1.
Bài tập 5. Có tồn tại hay không các số hữu tỷ z, w với
z2 = w(w−6)(w+ 18)
sao cho 1 = 9(2w+z −12)(w+ 2)
Như vậy trong luận văn chúng tôi trình bày lại một số kết quả chính sau.
(i) Giới thiệu Bài toán hình hộp và mối liên hệ với nghiệm của một phương trình Diophantine. Từ đó đưa ra câu trả lời nghiệm cho Bài toán chiếc hộp.
(ii) Trình bày về đa thức dẫn xuất hữu tỷ và phân loại một số đa thức bậc 3, 4 hoặc 5 là các đa thức dẫn xuất hữu tỷ.
Tiếng Việt
[1] Lê Thị Thanh Nhàn (2015), Lý thuyết đa thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[2] R. H. Buchholz and J. A. MacDougall, "When Newton met Dio- phantus: A study of rational-derived polynomials and their extension to quadratic fields", J. Number Theory 81 (2) (2000), 210-233. [3] V. E. Coll, J. Davis, M. Hall, C. Magnant, J. Stankewicz, H. Wang,"
Integer solutions to box optimization problems", College Math. J. 45 (3) (2014), 180-190.
[4] G. Convertito and D. Cruz-Uribe, Building the Biggest Box: Three-
factor Polynomials and a Diophantine Equation, Mathematics Mag-
azine, 89 (3) (2016), 201-211.
[5] E. V. Flynn,"On Q-derived polynomials", Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 44 (2001), no. 1, 103–110.
[6] L. J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, New York, 1969.
[7] N. Movshovits-Hadar-A. Shmukler ,"Infinitely many different quar- tic polynomial curves", College Math. J. 23 (3) (1992), 186-195. [8] W. C. Schulz,"Cubics with a rational root", Mathematics Magazine
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
GIẤY XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên tôi là: Nguyễn Thị Minh Phượng tác giả của luận văn với đề tài:
“Nghiệm hữu tỷ của đa thức nguyên và các đạo hàm”
đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tại trường Đại học Khoa học ngày 15 tháng 12 năm 2019
Theo góp ý của Hội đồng, tôi xin bổ sung và chỉnh sửa các nội dung sau: - Tôi đã chỉnh sửa một số lỗi soạn thảo trong luận văn.
- Viết lại nội dung trang 21-22 trong luận văn.
- Giải thích cụ thể hơn dòng cuối cùng trong chứng minh của Định lý 2.1.7. - Bổ sung thêm lập luận cuối trang 27 để chứng tỏ rằng mọi đa thức dẫn xuất hữu
tỷ với 3 nghiệm phân biệt có thể được biến đổi về đa thức dẫn xuất hữu tỷ với nghiệm bội hai bởi một phép tịnh tiến theo trục y.
- Bổ sung thêm khái niệm miền nguyên.
- Tôi lược bỏ Chú ý 2.3.5 trong đó có đề cập đến các khái niệm nghiệm nguyên siêu mặt, bậc 4 kép, siêu mặt eliptic vì các khái niệm này là khó và không thực sự cần thiết cho toàn bộ nội dung luận văn.
Tôi xin trân trọng đề nghị Hội đồng xác nhận việc tôi chỉnh sửa, cho phép tôi được làm thủ tục xin cấp bằng Thạc sĩ khoa học.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2019
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
(Ký và ghi rõ học tên)
HỌC VIÊN CAO HỌC
(Ký và ghi rõ học tên)
KT. CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
(Theo QĐ 411/ĐHKH-ĐT ngày 30/5/2018 của Hiệu trưởng trường Đại học Khoa học về việc giao nhiệm vụ ký xác nhận bản giải trình sửa chữa, bổ sung luận văn thạc sĩ của học viên cao học)