tiêu
Phần này khảo sát ổn định theo nghĩa nửa liên tục cho cân bằng Nash Pareto của bài toán trò chơi đa mục tiêu. Mở rộng khái niệm wellposed cho cân bằng Nash Pareto và thiết lập các điều kiện đủ về ổn định cho bài toán này.
Xét mô hình trò chơi đa mục tiêu tổng quát (xem [3]), cho N =
{1,2, ..., n} là tập các người chơi, với mỗi i ∈ N, Xi là tập con compact, khác rỗng của không gian BanachEi. Xilà tập chiến thuật của người chơi thứ i và đặt X = Q
i∈N Xi, Xˆi = Q
j∈N,j6=iXj.Ta khảo sát trò chơi đa mục tiêu tổng quát có tham sốλ trong không gian Banach Λ. Chofi : X ìΛ→ Rki,
là hàm mục tiêu của người chơi thứ i với ki là một số nguyên dương và đặt Rki
+ := {(u1, ..., uki) ∈ Rki : uj ≥ 0,∀j = 1, ..., ki}. Với mỗi i ∈ N, tập chiến thuật chấp nhận được của người chơi thứ i là một hàm đa trị, Gi : Xˆi ìΛ → 2Xi.
Trò chơi đa mục tiêu có dạng sau, với mỗi λ ∈ Λ, Γλ = {Xi, Gi, fi}i∈N. Nếu bài toán không có tham số λ thì Γλ chính là bài toán Γ trong [3]. Ta cũng ký hiệu bài toán này là Γ.
8.1 Các định nghĩa và khái niệm
Xét khái niệm nghiệm (điểm cân bằng Nash Pareto) của bài toán trò chơi Γ (xem [3]), như sau:
Định nghĩa 9. x¯ = (¯x1, ...,x¯n) ∈ X được gọi là cân bằng Nash Pareto của Γ (ký hiệu x¯ ∈ Π00,0), nếu ∀i ∈ N, x¯i ∈ Gi(¯xˆi), ∀yi ∈ Gi(¯xˆi) thì
fi(yi,x¯ˆi)−fi(¯xi,x¯ˆi) ∈/ intRki
+.
( x¯ được gọi là cân bằng Nash Pareto yếu nếu ∀yi ∈ Gi(¯xˆi) thay bởi ∃yi ∈
Gi(¯xˆi)).
Ký hiệuBi := {z ∈ Rki : kzki ≤ 1} trong đók.ki là chuẩn Euclide của Rki và Ki := Rki \intRki
+, (ở đây int chỉ phần trong của tập).
0+,∀i ∈ N,x¯in ∈ Gi(¯xˆin) , ∀yi ∈ Gi(¯xˆin),
fi(yi,x¯ˆin)−fi(¯xni,x¯ˆin) ∈ εnBi +Ki. (17) b. Nếu thay (17) bởi: fi(yi,x¯ˆin)−fi(¯xni,x¯ˆin) +εnBi ⊂Ki thì xn gọi là dãy xấp xỉ dạng II.
Định nghĩa 11. bài toán không tham số Γ được gọi là wellposed dạng I (tương ứng, II) nếu
(a) Π00,0 6= ∅ ;
(b) Với mỗi dãy xấp xỉ dạng I (tương ứng, II) có dãy con hội tụ tới Π00,0. Chú ý là nếu dãyxn là dãy xấp xỉ dạng II thì nó cũng là dãy xấp xỉ dạng I nhưng điều ngược lại có thể không đúng. Vì vậy, nếu bài toán là wellposed dạng II thì cũng là wellposed dạng I. Với ε ≥ 0, λ ∈ Λ, đặt Π00,0(λ) := {x = (x1, ..., xn) ∈ X,∀i ∈ N, xi ∈ Gi(xˆi, λ) : ∀yi ∈ Gi(xˆi, λ), fi(yi, xˆi, λ)−fi(xi, xˆi, λ) ∈ Ki}; Π01,0(ε, λ) := {x = (x1, ..., xn) ∈ X,∀i ∈ N, xi ∈ Gi(xˆi, λ) : ∀yi ∈ Gi(xˆi, λ), fi(yi, xˆi, λ)−fi(xi, xˆi, λ) ∈ εBi+ Ki}.
Nếu bài toán không có tham số, ta ký hiệu Π00,0,Π01,0(ε), tương ứng. Cũng ký hiệu (Π∃)01,0(ε, λ) nếu ∀yi ∈ Gi(¯xˆi, λ) trong Π01,0(ε, λ) thay bởi
Xét họ các bài toán có tham số (Γδ).
Định nghĩa 12. Cho λn → λ¯, dãy {x¯n} ∈ X, được gọi là dãy xấp xỉ dạng I (tương ứng, II) ứng với {λn} nếu ∃εn → 0+,∀i ∈ N,x¯in ∈ Gi(¯xˆin, λn),
∀yi ∈ Gi(¯xˆin, λn),
fi(yi,x¯ˆni, λn)−fi(¯xni,x¯ˆin, λn) ∈ εnBi +Ki. (Tương ứng, fi(yi,x¯ˆin, λn)−fi(¯xin,x¯ˆin, λn) +εnBi ⊂ Ki).
Định nghĩa 13. Họ bài toán có tham số ((Γλ) ) được gọi là wellposed dạng I (tương ứng, II) tại λ¯ nếu
(a) Π00,0(¯λ) 6= ∅;
(b) λn →λ¯, mỗi dãy xấp xỉ dạng I (tương ứng II) ứng với {λn} có dãy con hội tụ tới Π00,0(¯λ).
Định nghĩa 14. Cho Y1 và X1 là các tập con khác rỗng của các không gian Banach Y và X, tương ứng. f : Y ìX → Rl. Xét nón K khác rỗng trong Rl và B là quả cầu đơn vị đóng trong Rl. Hàm f(., .) được gọi K- tựa đóng trên (Y1 ì X1) nếu với (y, x) ∈ (Y1 ì X1), εn → 0+,(zn, xn) ∈
Y1 ì X1,(zn, xn) → (z, x) sao cho f(y, xn) − f(zn, xn) ∈ εnB + K thì f(y, x)−f(z, x) ∈ K.
Chú ý rằng nếu f(., .) là K tựa đóng thì có thể f(., .) không liên tục. Thí dụ, xét X = Y = R, K = (−∞,0], f(y, x) = y − x nếu x 6= 0 và f(y,0) = −1. Dễ thấy f(., .) là K tựa đóng trên [−1,0] ì [−1,0] nhưng
f(., .) không liên tục với mọi y0 6= −1, x0 = 0. Hiển nhiên trong trường hợp này nếu f(., .) liên tục và K đóng thì nó luôn là K tựa đóng.
Giả sử Π00,0 6= ∅, ∀λ ∈ Λ,Π00,0(λ) 6= ∅ và để đơn giản kí hiệu ta nói hàm fi (đã nêu trong định nghĩa 14) là Ki tựa đóng thay cho nói Ki tựa đóng trên (Xi ìXi), i∈ N.
8.2. Nửa liên tục trên của các tập nghiệm
Định lý 16. Giả sử ∀i ∈ N, Gi(.) là liên tục có giá trị đóng và fi(., .) là Ki-tựa đóng. Khi đó Π01,0(.) là usc tại 0.
Chứng minh Giả sử ngược lạiΠ01,0(.)không usc tại 0, khi đó tồn tại một lân cận mở V của Π01,0(0), εn → 0+, tồn tại xn ∈ Π01,0(εn) mà
xn ∈/ V,∀n. (18)
Bởi xn ∈ Π01,0(εn) nên với mỗi i, xin ∈ Gi(xˆin),∀yin ∈ Gi(xˆin),
fi(yni, xˆin)−fi(xni, xˆin) ∈ εnBi +Ki. (19) Xét xn ∈ X, do Xcompact nên tồn tại dãy con vẫn ký hiệu là xn → x¯ ∈ X, Do xin ∈ Gi(xˆin). Do Gi(.) usc và Gi(¯xˆi) compact, theo Chú ý 1, ta có xin → x¯i ∈ Gi(¯xˆi).
Giả sử x /¯ ∈ Π01,0(0) theo định nghĩa ta có ∃io,x¯io ∈ Gi(¯xiˆo),∃y¯io ∈ Gio(¯xiˆo) sao cho,
fio(¯yio,x¯iˆo)−fio(¯xio,x¯iˆo) ∈/ Ki0. (20) Bởi Gio(.) là lsc tại (¯xiˆo) với yi0 tồn tại yi0
n ∈ Gi0(xn) sao cho yio
n →y¯io. Sử dụng dãy này vào (19), ta có fio(yio
n, xˆio
n)−fio(xio
n, xˆio
n) ∈ εnBi0 +Ki0. Cho n → ∞ và vì fi tựa đóng nên fio(¯yio,x¯ˆio)−fio(¯xio,x¯ˆio) ∈ Ki0, mẫu thuẩn với (20) nghĩa là x¯ ∈ Π01,0(0). Từ x¯ ∈ Π01,0(0), không khó để thấy nó mâu thuẩn với (18). Vậy Π01,0(.) là usc tại 0 và định lý được chứng minh.
Cũng tương tự như chứng minh Định lý 16 nhưng xét trong trường hợp có tham số ta có
Định lý 17. Giả sử ∀i ∈ N, Gi(., .) là liên tục có giá trị đóng và fi(., ., .) là Ki-tựa đóng. Khi đó Π01,0(., .) là usc tại (0,λ),¯ ∀λ¯ ∈ Λ.
Xét cân bằng Nash Pareto yếu, ta có các kết quả tương tự nhưng với giả thiết nhẹ hơn, không cần tính lsc của Gi.
Định lý 18. Giả sử ∀i ∈ N, Gi(., .) là usc có giá trị đóng và fi(., ., .) là Ki-tựa đóng. Khi đó (Π∃)01,1(., .) là usc tại (0,λ),¯ ∀¯λ ∈ Λ.
Chứng minh Giả sử ngược lại (Π∃)01,0(., .) không usc tại (0,λ)¯ , khi đó tồn tại một lân cận mở V của (Π∃)01,0(0,λ)¯ , tồn tại λn → λ¯, εn → 0+, tồn tạixn ∈ (Π∃)10,0(εn, λn) sao cho xn ∈/ V,∀n. Bởi xn ∈ (Π∃)01,0(εn, λn) suy ra
∀i, xin ∈ Gi(xˆin, λn),∃yˆni ∈ Gi(xˆin, λn),
fi(ˆyni, xˆin, λn)−fi(xni, xˆin, λn) ∈ εnBi +Ki, (21) xn ∈ X, do Xcompact nên tồn tại dãy con vẫn ký hiệu là xn →x¯∈ X. Nếu x¯ 6∈ (Π∃)01,0(0,λ)¯ như chứng minh Định lý 16 và bởi bài toán yếu nên có i0 ∈ N, và y¯i0, ( ta có thể xem yˆi0
n →y¯i0 ∈ Gi0(¯xˆi,λ))¯ sao cho fio(¯yio,x¯iˆo,λ)¯ −fio(¯xio,x¯iˆo,λ)¯ ∈/ Ki0.
Sử dụng trong (21) dãy yˆni0 →y¯i0 ở trên và bởi fio tựa đóng, chon → ∞, có fio(¯yio,x¯iˆo,λ)¯ −fio(¯xio,x¯iˆo,λ)¯ ∈ Ki0.
Mâu thuẩn. Cũng lý luận tương tự Định lý 16 ta có điều cần chứng minh.
8.3. Well-posed của các bài toán không tham số và có tham số Từ các định lý ở trên và Chú ý 1, ta có điều kiện đủ cho wellposed dạng I của bài toán không có tham số Γ như sau:
Mệnh đề 6. Giả sử ∀i ∈ N, Gi(.) là liên tục có giá trị đóng và fi(., .) là Ki-tựa đóng. Khi đó bài toán không tham số Γ là wellposed dạng I.
Chứng minh Sử dụng kết quả của Định lý 16, cóΠ01,0(.) là usc tại 0. Ta chỉ cần chứng minh Π01,0(0) = Π00,0 là tập đóng. Thật vậy, lấy dãy xn ∈ Π00,0, xn → x0 thì với mỗi i, xin ∈ Gi(xˆni),∀yni ∈ Gi(xˆin),
fi(yni, xˆin)−fi(xin, xˆin) ∈ Ki. (22) Từ Chú ý 1,xin → x¯i ∈ Gi(¯xˆi). Nếux /¯ ∈ Π00,0 theo định nghĩa ta có∃io,x¯io ∈
Gi(¯xiˆo),∃y¯io ∈ Gio(¯xiˆo) sao cho,fio(¯yio,x¯iˆo)−fio(¯xio,x¯iˆo) ∈/ Ki0.BởiGio(.) là lsc tại(¯xiˆo), khi đó vớiy¯io, ∃yio
n ∈ Gio(¯xiˆo
n)sao cho yio
n → y¯io. Sử dụng các dãy trên vào (22) và cho n → ∞, ta có fio(¯yio,x¯ˆio)−fio(¯xio,x¯ˆio) ∈ Ki0, là mâu thuẩn nên Π00,0 là tập đóng. Hơn nữa nó là tập compact, sử dụng Chú ý 1 ta suy ra điều cần chứng minh.
Mệnh đề 7. Giả sử ∀i ∈ N, Gi(., .) là liên tục có giá trị đóng và fi(., ., .) là Ki-tựa đóng. Khi đó họ bài toán có tham số(Γλ) là wellposed dạng I tại ¯
Xét wellposed dạng II, ta nhận được các kết quả:
Định lý 19. Giả sử với mỗi i ∈ N, fi(., .) liên tục, Gi(.) liên tục có giá trị đóng thì bài toán Γ là well-posed dạng II.
Chứng minh Xét xn là dãy xấp xỉ dạng II, tức là: ∃εn → 0+,∀i ∈
N, xin ∈ Gi(xˆin) , ∀yi ∈ Gi(xˆin),
fi(yi, xˆin)−fi(xni, xˆin) +εnBi ⊂ Ki. (23) Từ X compact nên có dãy con vẫn ký hiệu là xn → x¯. Do xin ∈ Gi(xˆin), dễ thấy từ tính usc và Gi(¯xˆi) compact thì xin → x¯i ∈ Gi(¯xˆi).
Nếu x /¯ ∈ Π00,0 theo định nghĩa ta có ∃io,x¯io ∈ Gi(¯xiˆo),∃y¯io ∈ Gio(¯xiˆo) sao cho,
fio(¯yio,x¯iˆo)−fio(¯xio,x¯iˆo) ∈ intRkio
+ . Vậy có ε >¯ 0 sao cho
fio(¯yio,x¯iˆo)−fio(¯xio,x¯iˆo) + ¯εBi0 ⊂ intRkio
+ . Bởi Gio(.) là lsc tại (¯xiˆo), khi đó với y¯io, ∃yio
n ∈ Gio(xiˆo n) sao cho yio n → y¯io. Từ fi0 liên tục, khi n →+∞ta có: fio(yio n, xˆio n)−fio(¯yio,x¯ˆio) → 0, fio(xio n, xˆio n)−fio(¯xio,x¯ˆio) →0. Khi n đủ lớn có fio(yio n, xˆio n)−fio(¯yio,x¯ˆio)−fio(xio n, xˆio n) +fio(¯xio,x¯ˆio) ∈ ε¯ 2Bi0.
Cũng với n đủ lớn thì fio(yio n, xˆio n)−fio(xio n, xˆio n) +εnBi0 ⊂fio(yio n, xˆio n)−fio(xio n, xˆio n) + ε¯ 2Bi0 ⊂ fio(yio n, xˆio n)−fio(¯yio,x¯ˆio) +fio(¯yio,x¯ˆio) −fio(¯xio,x¯ˆio) +fio(¯xio,x¯ˆio)−fio(xio n, xˆio n) + ε¯ 2Bi0 ⊂fio(¯yio,x¯ˆio)−fio(¯xio,x¯ˆio) + ¯εBi0 ⊂ intRki0, vậy fio(yio n, xˆio n)−fio(xio n, xˆio n) +εnBi0 6⊂ Ki0. Mặt khác, từ (23) suy ra fi0(yni0, xˆi0n)−fi0(xi0n, xi0nˆ) +εnBi0 ⊂Ki0,
là mâu thuẫn và định lý được chứng minh.
Định lý 20. Giả sử với mỗi i ∈ N, fi(., ., .) liên tục, Gi(., .) liên tục có giá trị đóng thì bài toán Γλ là well-posed dạng II.
Kết luận
Các kết quả của đề tài đã thực hiện theo đúng nội dung thuyết minh đã đăng ký. Mặt khác, đề tài cũng đã đưa ra được một số kết quả mới về ổn định theo nghĩa nửa liên tục và wellposed cho các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân (phần này làm thêm và chưa kịp đăng ký trong nội dung đề tài). Các kết quả nhận được của đề tài có thể mở rộng cho bài toán có ràng buộc nới rộng và áp dụng vào một số bài toán khác có liên quan. Các kết quả của đề tài đã và dự kiến trình bày trong các xeminare và hội nghị khoa học sau: 1. Hội nghị khoa học quốc tế về toán ứng dụng tại Nha trang tháng 3/2010;
2. Hội nghị khoa học về " Bất đẳng thức biến phân và ứng dụng" tại Hà nội (dự kiến tháng 5/2010);
3. Xeminare toán ứng dụng của Khoa toán học trường Đại học Đà lạt năm 2009 và năm 2010;
4. Xeminare tối ưu và hệ thống của trường Đại học KHTN, Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh năm 2009.
Kết quả của đề tài đã đăng một bài " Về wellposed cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân có tham số", trên thông báo khoa học trường Đại học Đà lạt năm 2009, một bài " Về ổn định cân bằng Nash-Pareto của bài toán trò chơi đa mục tiêu" đã gửi đăng trên tạp chí KHVCN năm 2010 và một bài đang hoàn thiện (cùng tác giả khác) dự kiến sẽ gửi đăng trên một
tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế.
Chủ nhiệm đề tài cũng đã hướng dẫn cho ba luận văn cao học chuyên ngành toán giải tích năm 2009. Bài viết này (theo chủ nhiệm đề tài) có thể làm tài liệu chuyên khảo cho các học viên cao học chuyên ngành toán giải tích (hướng ứng dụng) của Đại học Đà lạt. Công việc hoàn thành nhờ tài trợ của đề tài khoa học cấp bộ, mã số B 2008-14-21.
Tài liệu tham khảo
[1] M. B. Lignola, Well-posedness and L-Well-Posedness for Quasivaria- tional Inequalities, JOTA , 128 (2006), 119-138.
[2] M. B. Lignola and J. Morgan, Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints, J. Glob. Optim., 36 (2006), 439-459.
[3] Z. Lin and J. Yu, On Well-posedness of the multiobjective general- ized game Editorial Committee of Applied Mathematic, J. of Chinese Universities, 19(3) (2004), 327-334.
[4] P.Q. Khanh, L.M. Luu, Upper semicontinuity of the solution set of parametric multivalued vector quasivariational inequalities and appli- cations, J. Glob. Optim. 32, 551-568 (2005).
[5] L.Q.Anh, P.Q.Khanh and D.T.M.Van and J. C. Yao, Well-posedness for vector quasiequilibria, Taiwanese journal of mathematics, 13 (2B)(2009), 713-737.
[6] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Uniqueness and Holder continuity of the so- lution to multivalued equilibrium problems in metric spaces, J. Glob., Optim. 37 (2007), 449-465.
ric quasivariational inclusions with applications to traffic networks, I: Upper semicontinuities, Set Valued Anal. 16 (2008), 267-279.
[8] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of the approximate solution sets of multivalued quasiequilibrium problems, Numer. Funct. Anal. Optim. 29 (2008), 24-42.
[9] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Various kinds of semicontinuity of the solu- tion sets to symmetric multivalued vector quasiequilibrium problems, J. Glob. Optim. 41 (2008), 539-558.
[10] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of solution sets to paramet- ric quasivariational inclusions with applications to traffic networks, II: Lower semicontinuities. Applications, Set Valued Anal. online first (2008).
[11] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Sensitivity analysis for multivalued quasiequi- librium problems in metric spaces: Holder continuity of solutions, J. Glob. Optim. online first (2008).
[12] J.P.Aubin, H.Frankowska, Set - value analyis, Birkhauser, Boston, 1990.
[13] P.Q.Khanh, L.M.Luu, Lower and upper semicontinuity of the solution sets and approximate solution sets to parametric multivalued quasivari- ational inequalities J. Optim. Theory Appl. 133, 329-339 (2007).
[14] P.Q.Khanh, L.M.Luu, Upper semicontinuity of the solution set of Parametric multivalued vector quasivariational inequalities and appli- cation, J.Global Optim. 32, 551-568 (2005).
[15] P.Q.Khanh, L.M.Luu, On the existence of solution to vector Quasi - variational inequalities and quasi-coplementarity with applications to traffic network equilibria, J Optim. Theory Appl, 123, 533-548 (2004) [16] K.Kimura, Y.C.Liou and J.C.Yao, A Parametric Equilibrium Problem with Applications to Optimization Problems under Equilibrium Con- straints, J.Nonlinear Convex Anal.7 (2), (2006), 237--243.
[17] B.Lemaire, C.O.A.Salem and J.P.Revalski, Well-posedness by petur- bations of variational problems, J.Optim.Theory Appl.215 (2002), 345- -368.
[18] M.B.Lignola and J.Morgan, Well-posedness for optimization problems with constrains defined by variational inequalities having a unique so- lution, J.Global Optim., 16(1) (2000), 57--67.
[19] Y. P. Fang, and R. Hu, N. J. Huang, Well-posedness for variational inequalities defined by bifunctions, J. Comput. Math. Appl., 53 (2007), 1306-1316.
[20] A. N. Tykhonov, On the stability of the functional optimization, U.S.S.R. J. Comput. Math. Math. Phys., 6 (3) (1996), 26-33.
[21] L. J. Lin, Systems of generalized quasi-variational inclusions prob- lems with applications to variational analysis and optimization prob- lems, J. Global Optim., 38 (2007) 21-39.
[22] L.J.Lin, Variational inclusions problems with applications to Eke- land's variational principle, fixed point and optimization problems, J. Global Optim., DOI: 10.1007/s10898-007-9153-1.
Tóm tắt
Nội dung của đề tài xét ổn định theo nghĩa nửa liên tục và well-Posed cho các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân đa trị có tham số, đồng thời đưa ra các ứng dụng vào bài toán cân bằng giao thông và bài toán trò chơi đa mục tiêu tổng quát.
Abstract
We consider semicontinuity and well-posedness of the solution set of parametric multivalued quasivariational inequalities. Applications to traffic equibibrium problems and the multiobjective generalized game.