Ta sẽ chỉ ra rằng có thể sử dụng Định lý 2.1 về tính mở và kỹ thuật chứng minh của định lý đó để đưa ra điều kiện đủ cho tính mở của các ánh xạ đa trị có tham số.
Định lý 2.3. Cho X, Y là các không gian Asplund, P là không gian tôpô và F : X ×P ⇒Y là ánh xạ đa trị. Kí hiệu Fp(·) :=
F(·, p) và lấy (¯x,y,¯ p¯) ∈ X ×Y ×P sao cho y¯∈ F(¯x,p¯). Giả sử rằng
(i) Tồn tại U1 ∈ V(¯p) sao cho GrFp là đóng với mỗi p∈ U1; (ii) F(¯x,·) là nửa liên tục bên trong tại (¯p,y¯);
(iii) Tồn tại các hằng số r > 0, s > 0, c > 0và lân cận U2 ∈ V(¯p)
sao cho với mọi p ∈ U2, với mọi (x, y) ∈ GrFp∩[B(¯x, r)×
B(¯y, s)], với mọi y∗ ∈ Y∗ và x∗ ∈ Db∗Fp(x, y)(y∗), bất đẳng thức (1) nghiệm đúng.
Khi đó, với mọi a ∈ (0, c) và ρ ∈ (0, ε) với ε:= min 1 2( c c+ 1 − a a+ 1), r a+ 1, 2s 3a , tồn tại U ∈ V(¯p) sao cho với mọi p ∈ U
By,¯ aρ 2
⊂Fp(B(¯x, ρ)). (2.6) Chứng minh. Như trong chứng minh của Định lý 2.1, ta lấy a ∈ (0, c), b ∈ (a+1a ,12(c+1c + a+1a )), và ρ ∈ (0, ε). Sử dụng tính chất nửa liên tục bên trong của F(¯x,·) tại (¯p,y¯), ta tìm được U3 ∈ V(¯p) sao cho với mọi p ∈ U3, F(¯x, p)∩ B(¯y,aρ2 ) 6= ∅.
Đặt U := U1 ∩ U2 ∩ U3 và cố định p ∈ U. Khi đó, tồn tại y0 ∈ Fp(¯x) sao cho ||y −y0|| < aρ2 .
Lấy v ∈ B(¯y,aρ2 ) ⊂ B(y0, aρ). Áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland (Định lý 1.1) cho hàm f : GrFp →R xác định bởi công thức f(x, y) := ||v −y|| ta chọn được (ub, vb) ∈ GrFp sao cho
||vb−v|| ≤ ||y0−v|| −b(||x¯−ub||+||y0 −vb||) và ||vb −v|| ≤ ||y−v||+b(||x−ub||+||y −vb||) với mọi (x, y) ∈ GrFp. Để ý rằng ||x¯−ub|| ≤b−1||y0 −v|| < b−1aρ < (a+ 1)ρ < r và ||y¯−vb|| ≤ ||y¯−v||+ ||v−vb|| ≤ 2−1aρ+||y0 −v|| ≤2−1aρ+||y0−y¯||+||y¯−v|| < 2−13aρ < s. Tiếp theo, lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1 ta thu được bao hàm thức (2.6).
Với giả thiết tương tự như trên, ta có thể dùng ngay Định lý 2.1 để thu được một đánh giá yếu hơn không đáng kể. Cụ thể, lấy a ∈ (0, c) và đặt ε = min(12(c+1c − a+1a ), a+1r , 3sa). Khi đó, với mọi ρ ∈ (0, ε) bao hàm thức (2.6) nghiệm đúng. Thật vậy, sử dụng tính chất nửa liên tục bên trong của F(¯x,·) tại
(¯p,y¯), ta tìm được U3 ∈ V(¯p) như trên sao cho với mọi p ∈ U3, F(¯x, p) ∩ B(¯y,aρ2 ) 6= ∅. Ta lại chọn U := U1 ∩ U2 ∩ U3 và cố định p ∈ U. Khi đó, tồn tại y0 ∈ Fp(¯x) sao cho ||y0 − y¯|| < aρ2 .
Suy ra B(¯y,aρ2 ) ⊂ B(y0, aρ). Đặt s0 := 23s. Ta có B(y0, s0) ⊂
B(¯y,23s+aρ2 ) ⊂ B(¯y, s)và ρ ∈ (0,min(12(c+1c −a+1a ),a+1r ,2sa0)). Bây giờ, áp dụng Định lý 2.1 cho Fp, s0 và (¯x, y0) thay cho F, s và
(¯x,y¯), ta được B(y0, aρ) ⊂ Fp(B(¯x, ρ)). Vì B(¯y,aρ2 ) ⊂ B(y0, aρ), nên từ bao hàm thức cuối ta suy ra (2.6).
Một sự kiện thú vị khác là ta có thể sử dụng Định lý 2.3 để chứng minh Định lý 2.1.
Thật vậy, giả sử rằng các giả thiết của Định lý 2.1 thỏa mãn. Lấy P = Y và xây dựng ánh xạ đa trị
e
F : X ×Y ⇒Y, Fe(x, y) := F(x)−y.
Kí hiệu Fey(·) := Fe(·, y). Chú ý rằng GrFey = GrF + (0,−y)
với mọi y ∈ Y. Vì (¯x,y¯) ∈ GrF nên ta có (¯x,y,¯ 0) ∈ GrFe. Do tính đóng của GrF, giả thiết (i) của Định lý 2.3 thỏa mãn với U1 := Y. Cũng như vậy, Fe(¯x,·) := F(¯x)−(·) là nửa liên tục bên trong tại (¯y,0).
Để kiểm tra điều kiện (iii) trong Định lý 2.3, ta lấyr > 0, c >
0, s > 0 sao cho với mọi (x, u) ∈ GrF ∩ [B(¯x, r) ×B(¯y, s)] và mọi y∗ ∈ Y∗, x∗ ∈ Db∗F(x, u)(y∗) thì quan hệ c||y∗|| ≤ ||x∗||
là đúng. Đặt U2 := B(¯y,s4) và lấy y ∈ U2. Khi đó, với mọi
(x, z) ∈ GrFey ∩[B(¯x, r)×B(¯y, s)], ta có
(x, z+y) ∈ GrF∩[B(¯x, r)×B(¯y,3s
4 )] ⊂ GrF∩[B(¯x, r)×B(¯y, s)]. Thêm vào đó, với mọi y∗ ∈ Y∗ và x∗ ∈ Db∗Fey(x, z)(y∗), ta có
Do đó bất đẳng thức c||y∗|| ≤ ||x∗|| nghiệm đúng. Vậy ta có thể áp dụng Định lý 2.3 cho Fe, (¯x,y,¯ 0) và s0 := 34s để chứng minh rằng với mọi a ∈ (0, c)và mọi ρ ∈ (0,min(12(c+1c −a+1a ),a+1r ,23sa0)), tồn tại U ∈ V(¯y) sao cho với mọi y ∈ U ta có
B(0, aρ
2 ) ⊂Fey(B(¯x, ρ)) = F(B(¯x, ρ))−y.
Điều này tương đương với việc nói rằng mọi a ∈ (0, c) và mọi ρ ∈ (0,min((c+1c − a
a+1), a+1r , 23sa0)), tồn tại U ∈ V(¯y) sao cho
[
y∈U
B(y, aρ
2 ) ⊂ F(B(¯x, ρ)).
Hơn nữa, như trong chứng minh của Định lý 2.3, ta thấy rằng có thể lấy U = U1 ∩U2∩U3, trong đó U3 ∈ V(¯y) được chọn sao cho
e
F(¯x, y)∩ B(0, aρ
2 ) 6= ∅ với mọi y ∈ U3. (2.7) Lấy U3 := B(¯y, aρ2 ) và để ý rằng y¯ ∈ B(y,aρ2 ) ∩ F(¯x) với mọi y ∈ U3. Do đó điều kiện (2.7) được thỏa mãn. Ngoài ra, vì
aρ 2 < s4 nên U = B(¯y,aρ2 ) và ta có B(¯y, aρ) = [ y∈U B(y, aρ 2 ) ⊂F(B(¯x, ρ)).
Chương 3