Mục này đề cập một số bài toán đếm trên đồ thị gắn liền với các đề thi học sinh giỏi ở phổ thông. Tài liệu tham khảo chính là cuốn Problem- solving methods in combinatorics, an ap-proach to olympiad problems của P. Soberón (Bài tập 4.15, 4.16).
Mệnh đề 2.4.1. (i) Cho G là một đồ thị k-chính quy, có n đỉnh. Khi đó số tam giác trong G bằng
Cn3− nk
2 (n−k−1). (9.2)
(ii) Cho G là đồ thị có n đỉnh. Khi đó trong G có ít nhất n(n−1) (n−5)
24
Chứng minh. (i) Với đỉnh x của G, kí hiệu d(x) chỉ số cạnh nối đếnx. Số bộ ba đỉnh(x, y, z)không tạo thành ba đỉnh của một tam giác làd(x) [n−1−d(x)] suy ra số bộ ba đỉnh không tạo thành ba đỉnh của một tam giác là
X x∈X
d(x) [n−1−d(x)].
Tuy nhiên trong tổng này bộ ba đỉnh (x, y, z) không tạo thành một tam giác được lặp lại đúng hai lần nên số bộ ba đỉnh không tạo thành một tam giác sẽ là 1 2 X x∈X d(x) [n−1−d(x)].
Vậy số tam giác tạo thành sẽ là
Cn3 − 1 2 X x∈X d(x) [n−1−d(x)] = Cn3 − nk(n−1−k) 2 . (ii) Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có Cn3 − 1 2 X x∈X d(x) [n−1−d(x)] ≥Cn3 − 1 2 n−1 2 2 = n(n−1) (n−5) 24 . Mệnh đề 2.4.2. (APMO 1989) Chứng minh rằng một đồ thị n đỉnh, k cạnh thì sẽ có ít nhất k 4k−n2 3n tam giác.
Giải. Giả sử G = (X, U), trong đó |X| = n,|U| = k. Giả sử x, y là hai đỉnh kề phân biệt của tập X; Từ x có d(x) −1 cạnh và từ y có d(y)− 1 cạnh, khác với cạnh [x, y]. Vì có n−2 đỉnh khác nên x, y là cạnh kề của ít nhất
d(x)−1 +d(y)−1−(n−2) = d(x) +d(y)−n
đỉnh chung Do đó, ta có số tam giác chứa cạnh[x;y]ít nhất làd(x)+d(y)−n. Suy ra số tam giác trong đồ thị đã cho có ít nhất là
A = 1 3 X [x;y]∈U [d(x) +d(y)−n]. Mặt khác ta dễ thấy đẳng thức sau: X [x;y]∈U [d(x) +d(y)−n] = X x∈U [d(x)]2.
Từ đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz ta có: A≥ 1 3 X x∈X d(x) !2 −nk = 1 3 4k 2 −nk.
Kết luận
Luận vănMột số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị đã đạt được các kết quả sau:
- Tìm hiểu về đại số tổ hợp, công thức đa thức.
- Tìm hiểu các khái niệm, tính chất cơ bản của lý thuyết đồ thị. - Tìm hiểu về bài toán đếm cây trên tập đỉnh cho trước; đếm đỉnh, đếm cạnh để tìm hiểu cấu trúc của cây.
- Tìm hiểu cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận và đếm số cây khung bằng các giá trị riêng của ma trận Laplacian.
- Tìm hiểu đánh giá số đỉnh số cạnh trong đồ thị phẳng. - Tìm hiểu bài toán đếm số tam giác trong đồ thị.
- Một số bài toán đếm khác như đếm rừng, ... sẽ được được tác giả tìm hiểu trong thời gian tới.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Trần Nguyên An và Nguyễn Văn Hoàng (2016), Tập hợp và logic Toán, NXB Đại học Thái Nguyên.
[2] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Một số đề thì học sinh giỏi quốc gia và quốc tế, Olympic 30.4, Olympic sinh viên.
Tiếng Anh
[4] M. Bóna (2007), Introduction to enumerative combinatorics, Higher Ed- ucation.
[5] L. Levine,Algebraic combinatoricst, https://www.sciencedirect.com/book /9780444815040/combinatorial-problems-and-exercises.
[6] L. Lovász (1993), Combinatorial problems and exercises, 2nd edition, Elsevier.
[7] Y. Jin, C. Liu (2003),The enumeration of labelled spanning trees of km,n, Australasian Journal of Combinatoric, Volume 28, Pages 73-79.
[8] P. Soberón (2013), Problem-solving methods in combinatorics, an ap- proach to olympiad problems, Birkhauser.
[9] Y. Zhang (2011), Combinatorial problems in mathematical competitions, World Scientific.