toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động
2.1 Toán tử giải hỗn hợp và tính chất
Cho E là một không gian Banach và cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E.
Cho Θ : C ×C −→ R là một song hàm, Ψ : E −→ E∗ là một toán tử phi tuyến và ϕ : C −→ R là hàm số xác định trên C. Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát được phát biểu như sau: Tìm một phần tử x∈C sao cho
Θ(x, y) +hΨx, y−xi+ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C. (2.1) Tập nghiệm của bài toán (2.1) được ký hiệu bởi GM EP(Θ, ϕ,Ψ), tức là
GM EP(Θ, ϕ,Ψ) ={x∈ C : Θ(x, y) +hΨx, y−xi+ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C}.
Nếu Ψ = 0, thì Bài toán (2.1) trở thành bài toán cân bằng hỗn hợp (xem [11]) tìm một phần tử x∈C sao cho
Ta dùng ký hiệu M EP(Θ)để chỉ tập nghiệm của Bài toán (2.2).
Nếu ϕ = 0, thì Bài toán (2.1) trở thành bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát (xem [25]) tìm một phần tử x∈ C sao cho
Θ(x, y) +hΨx, y−xi ≥ 0 ∀y ∈C. (2.3) Tập nghiệm của bài toán (2.3) được ký hiệu bởi GEP(Θ,Ψ).
Nếu Θ = 0, thì Bài toán (2.1) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp kiểu Browder (xem [7]) tìm một phần tử x ∈C sao cho
hΨx, y−xi+ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈C. (2.4) Tập nghiệm của Bài toán (2.4) được ký hiệu bởi M V I(C, ϕ,Ψ).
Nếu ϕ = 0 và Ψ = 0, thì Bài toán (2.1) trở thành bài toán cân bằng (xem [5]) tìm một phần tử x ∈C sao cho
Θ(x, y) ≥0 ∀y ∈C. (2.5)
Để giải bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, ta cần một số giả thiết đặt lên song hàm Θ : C×C −→ R như sau:
(A1) Θ(x, x) = 0 với mọi x∈C;
(A2) Θ là đơn điệu, tức là, Θ(x, y) + Θ(y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈C; (A3) với mọi x, y, z ∈ C,
lim sup
t↓0
Θ(tz+ (1−t)x, y)≤ Θ(x, y);
(A4) với mỗi x ∈C, Θ(x, .) là hàm lồi và nửa liên tục dưới.
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ
E. Cho ϕ là một hàm lồi, nửa liên tục dưới từ C vào R và Ψ : C −→ E∗ là một toán tử đơn điệu, liên tục. Cho Θ : C ×C −→ R là một song hàm thỏa mãn điều kiện A1)-A4). Giải hỗn hợp của Θ là toán tử ResΘf,ϕ,Ψ : E −→ 2C được định nghĩa như sau:
+h5f(z)− 5f(x), y−zi ≥ ϕ(z) ∀y ∈C}.
Ta chú ý rằng nếu f : E −→ (−∞,∞] là một hàm bức và khả vi Gâteaux thì giải hỗn hợp Θ thỏa mãn dom ResfΘ,ϕ,Ψ = E (xem [13], Bổ đề 4.14).
Tính chất của toán tử giải hỗn hợp được mô tả trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 2.1.1 (xem [13], Bổ đề 2.15). Cho f : E −→ (−∞,∞] là một hàm Legendre và C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E. Nếu song hàm Θ : C ×C −→R thoả mãn các điều kiện A1)-A4) thì:
i) ResfΘ,ϕ,Ψ là hàm đơn trị;
ii) ResfΘ,ϕ,Ψ là một toán tử BFNE;
iii) tập các điểm bất động của ResfΘ,ϕ,Ψ là tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, có nghĩa là F(ResfΘ,ϕ,Ψ) =GM EP(Θ, ϕ,Ψ);
iv) GM EP(Θ, ϕ,Ψ) là một tập con lồi, đóng của C;
v) với mọi x∈E và u ∈F(ResfΘ,ϕ,Ψ) ta có
Df(u,ResfΘ,ϕ,Ψ(x)) +Df(ResfΘ,ϕ,Ψ(x), x) ≤Df(u, x).
Ví dụ 2.1.2. Giả sử Θ(x, y) = y2 −x2, ϕ(x) = x2 và Ψ(x) = exp(x), với mọi
x, y ∈R.
Dễ thấy Θ thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4), ϕ là hàm lồi, liên tục và Ψ là hàm liên tục, đơn điệu.
Khi f(x) = x2/2 với mọi x ∈ R, từ định nghĩa của ResfΘ,ϕ,Ψ, với mỗi x ∈ R, ta có
ResfΘ,ϕ,Ψ(x) ={z ∈ R: (y2−z2) +y2+ exp(x)(y−z) + (z−x)(y−z) ≥z2, ∀y ∈R}.
Bất đẳng thức
(y2−z2) +y2+ exp(x)(y−z) + (z−x)(y−z)≥ z2, ∀y ∈ R
có thể viết ở dạng tương đương sau
Ta biết rằng bất đẳng thức (2.6) đúng với mọi y ∈R khi và chỉ khi
∆ = [exp(x) + (z−x)]2+ 8[3z2+ exp(x)z−xz]≤ 0.
Điều này tương đương với [exp(x) −x+ 5z]2 ≤ 0. Suy ra z = x−exp(x)
5 . Do đó, ta nhận được ResfΘ,ϕ,Ψ(x) = x−exp(x) 5 . Chú ý 2.1.3. Trong Ví dụ 2.1.2, ta có F(ResfΘ,ϕ,Ψ) = ∅ và do đó từ Mệnh đề 2.1.1, ta nhận được GM EP(Θ, ϕ,Ψ) =∅.
Ví dụ 2.1.4. Với mỗi số nguyên dươngi, giả sử Θi(x, y) =i(y2−x2),ϕi(x) =x2
và Ψi(x) =x3/i, với mọi x, y ∈R.
Dễ thấy Θi thỏa mãn các điều kiện A1)-A4), ϕi là hàm lồi, liên tục và Ψi là hàm liên tục, đơn điệu.
Khi f(x) =x2/2 với mọix∈ R, từ định nghĩa của ResfΘ
i,ϕi,Ψi, với mỗix∈ R, ta có ResfΘ i,ϕi,Ψi(x) ={z ∈R : i(y2−z2) +y2 +x 3 i (y−z) + (z−x)(y−z)≥ z2, ∀y ∈ R}. Bất đẳng thức i(y2−z2) +y2+ x 3 i (y −z) + (z−x)(y−z)≥ z2, ∀y ∈ R
có thể viết ở dạng tương đương sau
(i2+i)y2+ [x3+i(z−x)]y −[(i2+ 2i)z2 +x3z−ixz]≥ 0, ∀y ∈R. (2.7) Ta biết rằng bất đẳng thức (2.7) đúng với mọi y ∈R khi và chỉ khi
∆ = [x3+i(z−x)]2+ 4(i2+i)[i2+ 2i)z2+x3z−ixz] ≤0.
Điều này tương đương với [x3−ix+ (2i2+ 3i)z]2 ≤ 0. Suy ra z = ix−x3
2i2+ 3i. Do đó, ta nhận được ResfΘi,ϕi,Ψ i(x) = ix−x3 2i2+ 3i. Chú ý 2.1.5. Trong Ví dụ 2.1.4, ta có F(ResfΘ i,ϕi,Ψi) = {0} và do đó từ Mệnh đề 2.1.1, ta nhận được GM EP(Θi, ϕi,Ψi) ={0}.