Một mặt có quy luật là một mặt được tạo bằng cách quét (sweep) một đường thẳng trong không gian theo một cách nào đó hoặc một mặt được gọi là có quy luật nếu qua bất kì điểm nào thuộc nó đều có ít nhất một đường thẳng nằm hoàn toàn trên nó.
Ví dụ: Hình trụ, hình nón,…
Hình 2.4. Hình trụ là mặt có quy luật
Phương trình tham số
Vì mặt có quy luật hoàn toàn dựa trên cơ sở là đường thẳng với phương trình dạng tham số là , nên ta có thể suy ra dạng của nó một cách tương tự như sau:
Nếu u biến đổi từ ustart đến uend , ta thấy mặt cong sẽ là tập hợp của các đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng p0(u’) (thuộc đường cong p0(u)) và p1(u’) (thuộc đường cong p1(u)) với u’ nằm trong (ustart, uend).
Nếu không giới hạn u, v ta sẽ có mặt cong trải dài ra vô tận, các mặt cong "ruled patch" sẽ được tạo bằng cách giới hạn u, v trong đoạn [0, 1].
Hình trụ (Cylinder)
Hình trụ là hình được tạo ra khi một đường thẳng L, gọi là đường sinh (generator) được quét dọc theo một đường cong p0(u), gọi là đường chuẩn (directrix), đường cong p0(u) nằm trên một mặt phẳng nào đó.
Hình 2.5. Minh họa một hình trụ
Từ phương trình tổng quát của mặt cong có quy luật :
, trong đó (5.6)
do khi quét các đường thẳng luôn song song với nhau nên ta có d là hằng số, và phương trình tham số của hình trụ là :
Một trong những dạng quen thuộc của hình trụ là hình trụ tròn (circular cylinder) ứng với trường hợp đường chuẩn là hình tròn. Nếu đường tròn nằm trên mặt phẳng xy chúng ta sẽ có
Một vấn đề quan trọng trong việc biểu diễn bề mặt các đối tượng 3D là đảm bảo chất lượng và phải đáp ứng yêu cầu về tính đơn giản nhằm giảm thiểu không gian lưu trữ, rút ngắn thời gian biểu diễn bề mặt phục vụ cho các bước mô phỏng sau này.
Trong thực tế khi biểu diễn bề mặt 3D, không phải bề mặt nào cũng trơn hay cong đều. Có những bề mặt trơn nhưng lại có những bề mặt có độ lồi lõm bất kỳ. Với những bề mặt có độ cong như vậy, thì đòi hỏi khi thay đổi vị trí của một điểm điều khiển thì yêu cầu phải có sự thay đổi cục bộ chứ không phải toàn cục trên bề mặt.
Một giả thiết chung mà các thuật toán thường tuân theo trong việc mô hình hóa biểu diễn bề mặt là đều coi dữ liệu đầu vào là các đa diện mà các mặt của nó là các tam giác chứ không phải là một đa giác bất kỳ, vì một đa giác bất kỳ bao giờ cũng là tập của nhiều tam giác.
Bài toán “giảm thíểu đa diện” trong không gian ba chiều cũng như các bài toán tối ưu khác, thông thường, khó có thể tìm được lời giải tốt nhất trong thời gian tính toán chấp nhận được. Ở phần trước chúng ta đã xem xét một số các hướng tiếp cận vấn đề này cùng các thuật toán đại diện cho các hướng đó. Một số các thuật toán cho được kết quả khá tốt thì lại mất nhiều thời gian cho các phép biến đổi, một số khác tính toán rất nhanh nhưng kết quả lại không tốt lắm.
Tiếp theo, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu một thuật toán được gọi là thuật toán đơn giản biểu diễn bề mặt đa diện sử dụng độ đo sai số bậc hai (Quardric Error Metric_ Từ đây, được gọi tắt là thuật toán QEM) của hai tác giả Micheal Garland và Paul Heckbert thuộc trường Đại học Carnegie Mellon (Pittsburgh, PA) đề xuất ra đầu tiên vào năm 1997. Các hướng nghiên cứu nhằm hoàn thiện nó được tiếp tục cho đến năm 1999.
Các điểm ưu việt của thuật toán này là ở chỗ không ràng buộc nhiều vào dữ liệu đầu vào (các loại mặt xử lý rất đa dạng ), tốc độ cao, chất lượng đầu ra tốt và đặc biệt có thể cài đặt thêm nhiều điều kiện ràng buộc khác ngoài các thuộc tính hình học mà vẫn giữ được mô hình toán học của thuật toán đề ra từ ban đầu.
Thuật toán QEM sử dụng phương pháp loại bỏ hình học. Có hai vấn đề mấu chốt của thuật toán này mà chúng ta cần quan tâm:
Đối tượng được xét duyệt và loại bỏ của nó là một cặp đỉnh, cặp đỉnh này có thể là một cạnh của đa diện biểu diễn vật thể hoặc cũng có thể không. Thay vào cặp đỉnh bị loại bỏ là một đỉnh mới, các yếu tố liên quan tới cặp đỉnh như cạnh, mặt sẽ được cập nhật tương ứng.
Thuật toán QEM đề ra một đại lượng gọi là hàm giá, dựa trên đại
lượng này, thuật toán sẽ có được cách chọn cặp đỉnh nào cần loại bỏ và chọn vị trí của đỉnh mới để sao cho sai số so với mô hình ban đầu là nhỏ nhất.