Chứng minh. a) Dễ thấy tam giácSAI vàT DJ cân và cóASId =DT J[ nên hai tam giác đó đồng dạng. Dễ thấy tứ giác AIJ D nội tiếp nên M AI[ = IAD[ = \
DJ N và\N DJ = J DA[ =AIM[. Từ đó hai tam giácM AI vàN J D đồng dạng. Từ đó suy ra SM A và T N J đồng dạng. Vậy, ta có ASM\ = N T J[. Do đó SM
và T N cắt nhau tại E trên đường tròn (O).
b) Gọi AB cắt CD tại G. GE cắt (O) tại F khác E. Ta thấy GC · GD = GE ·GF = GM ·GQ. Từ đó tứ giác M QEF nội tiếp nên QF E[ = AM E\ = \
M AS +M SA\ = M BS\ +AF E[ = SF A[ +ASE[ = EF S[. Từ đó S, Q, F thẳng hàng. Tương tự, T, P, F thẳng hàng. Từ chứng minh trên SM A và T N J đồng dạng nên tam giác GM N cân suy GM = GN. Lại có GM · GQ = GN · GP
nên GP = GQ suy ra P Q k M N k ST. Từ đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác F P Q tiếp xúc (O). Vậy theo định lý Poncelet, nếu P Q cắt DB, AC tại
DB, AC. Từ đó theo Bổ đề Sawayama thì P Q đi qua tâm nội tiếp hai tam giác
ABC và DBC.
Bài toán 2.3.14 ([3]). Cho tứ giácABCD nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Đường tròn (K) tiếp xúc với đoạn EC, ED
và tiếp xúc trong(O) tạiP. Chứng minh rằng phân giác CP D\ đi qua tâm nội tiếp tam giác ECD và phân giác AP B[ đi qua tâm nội tiếp tam giác EAB.