Như đã nêu, hiện nay phương pháp được xem là hiệu quả nhất đối với bài toán phân tích các số lớn là thuật toán sử dụng sàng trường số. Chính bằng phương pháp này mà gần đây (năm 1999) người ta đã phân tích được hợp số với độ dài kỷ lục là 155 chữ số thập phân (512 bit nhị phân), nhưng cũng mất nhiều tháng ròng và với số lượng máy tính khổng lồ. Cho nên hệ mã RSA chuẩn mực, với độ dài chìa khoá 1024 bit nhị phân (khoảng 308 chữ số thập phân), được người ta xem là an toàn tuyệt đối trong vòng 15-20 năm nữa.
Thế nhưng gần đây (khoảng tháng 2/2003) Adi Shamir (một trong ba đồng tác giả đã công bố phát minh hệ mã RSA) tuyên bố rằng ông đã cùng các cộng sự tại phòng Tin học và Toán ứng dụng của Viện nghiên cứu khoa học Weizmann (Israel) thiết kế ra “con chip đặc thù” cho việc phân tích một số ra các thừa số nguyên tố, có sức mạnh phi thường và có
khả năng bẻ được hệ mã RSA chuẩn hiện nay. Một công cụ “đặc chủng” kiểu này cũng đã từng được biết đến trước đây, đó là hệ thống quang điện tử TWINKLE, sử dụng các thành phần khá đắt tiền và khó chế tạo. Hệ thống mới của Shamir và các đồng nghiệp, gọi tắt là TWIRL, có nhiều điểm giống với TWINKLE, nhưng không chứa các thành phần quang học đắt tiền, khó kiếm mà được thiết lập dựa trên công nghệ VLSI (Very large scale integration - Tích hợp quy mô rất lớn) phổ biến hiện nay. Về bản chất nó là một hệ thống tích hợp một lượng khổng lồ các bộ vi xử lý chạy trên tần số 1GHz.
Cho tới lúc này, “con chip đặc thù” TWIRL mới chỉ nằm trên sơ đồ, chưa được triển khai trong thực tế, nhưng một số đánh giá sơ bộ cho thấy: để phân tích một số có độ dài 512 bit nhị phân (như đã nói ở trên) chỉ cần một máy tính chuyên dụng (thiết lập trên cơ sở con chip TWIRL) trị giá khoảng 10 ngàn USD, làm việc trong vòng 10 phút. Nếu nhớ rằng công việc này đã từng đòi hỏi hàng ngàn máy tính mạnh làm việc trong nhiều tháng ròng rã, ta thấy ngay sức mạnh của con chip chuyên dụng. Tuy nhiên, cũng theo các đánh giá này, muốn phân tích một số có độ dài gấp đôi như thế, tức là khoảng 1024 bit nhị phân (như chìa khoá thông thường của một hệ mã RSA chuẩn hiện nay), thì phải cần tới một máy chuyên dụng trị giá khoảng 10 triệu USD, làm việc liên tục trong thời gian 1 năm. Như vậy, giả sử cứ theo cái đà này mà tiếp tục được, thì để bẻ được hệ mã RSA với độ dài khoá 2048 bit nhị phân thì phải cần tới máy tính chuyên dụng trị giá 10 tỷ USD, làm việc liên tục trong 52560 năm!
Kết luận và kiến nghị
Luận văn “Một số thuật toán phân tích số nguyên hiện đại và ứng dụng”đã đạt được các kết quả sau:
1. Trình bày đại cương về thám mã và một số thuật toán phân tích số nguyên cổ điển.
2. Trình bày được một số thuật toán phân tích số nguyên hiện đại, bao gồm phân tích ρ của Pollard, phân tích Brent, phân tích dùng đường cong elliptic, phân tích bằng sàng trường số, khả năng phân tích số bằng các “chip” chuyên dụng.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (1997),Nhập môn Số học thuật toán,
NXB Khoa học kỹ thuật.
[2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2004),Mã hóa thông tin, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] C. Barnes (2004), Integer Factorization Algorithms, Lecture Notes,
Department of Physic, Oregon State University.
[4] Jr.H.W. Lenstra, R. Tijdeman (eds) (1983), Computational Methods in Number Theory, Mathematical Centre Tracts, vol. 154/155, Math-
ematisch Centrum, Amsterdam.
[5] E.W. Weisstein, “Pierre de Fermat”, From MathWorld, an on- line encyclopedia. Available: http://scienceworld.wolfram. com/biography/Fermat.html
[6] E.W. Weisstein, “Pollard Rho Factorization.” From MathWorld, an online encyclopedia. December 28, 2002. Available: http:// mathworld.wolfram.com/PollardRhoFactorizationMethod. html
[7] E.W. Weisstein, “Brent’s Factorization Method.” From MathWorld, an online encyclopedia. December 28, 2002. Available: http:// mathworld.wolfram.com/BrentsFactorizationMethod.html
[8] E.W. Weisstein, “Pollard Rho Factorization.” From MathWorld, an online encyclopedia. December 28, 2002. Available: http:// mathworld.wolfram.com/Pollardp-1FactorizationMethod. html