Ta x²t mët sè ùng döng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m
s-lçi º ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t: trung b¼nh cëng (1.17), trung b¼nh lægarit (1.18) v trung b¼nh p-lægarit (1.19).
M»nh · 2.3.10 (xem [6]) Gi£ sû 0 < a < b v s∈ (0,1). Khi â,
As(a, b)− Lss(a, b) ≤ |s(s−1)|(b−a) 2 192 n as−2+ 6a+b 2 s−2 +bs−2o. (2.31) Chùng minh. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh ÷ñc suy ra tø (2.27) v ¡p döng cho h m s-lçi lo¤i 2
f : [0,1] → [0,1] x¡c ành bði f(x) = xs.
M»nh · 2.3.11 (xem [6]) Gi£ sû 0 < a < b v s∈ (0,1). Khi â,
As(a, b)− Lss(a, b) ≤ |s(s−1)|(b−a) 2 48 3 4 q nhaq(s−2) 3 + a+b 2 q(s−2) i1q +h a+b 2 + b q(s−2) 3 i1qo . (2.32)
Chùng minh. B§t ¯ng thùc (2.32) ÷ñc suy ra tø (2.29) ¡p döng cho h m s-lçi lo¤i 2
f : [0,1] → [0,1] x¡c ành bði f(x) = xs.
M»nh · 2.3.12 (xem [6]) Gi£ sû 0 < a < b v p > 1 nh÷ gi£ thi¸t cõa H» qu£ 2.3.9. Khi â,
As(a, b)− Lss(a, b) ≤ (b−a)2n 1 (3a+b)2 + 1 (a+ 3b)2 o (2.33) Chùng minh. Cæng thùc (2.33) ÷ñc suy ra tø (2.30) ¡p döng cho h m lãm lo¤i 2
K¸t luªn
· t i luªn v«n ¢ tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc d¤ng Hermite Hadamard cho h m lçi, h m lçi suy rëng v mët sè ùng döng ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t, chùng minh mët sè b i to¡n b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Cö thº:
(1) Tr¼nh b y chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc d¤ng HermiteHadamard cho h m lçi mët bi¸n, h m lçi mët bi¸n kh£ vi c§p mët, kh£ vi c§p hai, kh£ vi c§p n.
(2) Tr¼nh b y kh¡i ni»m v· h m J-lçi, J-lçi suy rëng v mët sè t½nh ch§t còng mët ùng döng cho b i to¡n cüc trà.
(3) Tr¼nh b y kh¡i ni»m, v½ dö v mët sè t½nh ch§t cõa h m s-lçi. Tr¼nh b y chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc mîi d¤ng HermiteHadamard cho h m s-lçi.
(4) Tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa b§t ¯ng thùc d¤ng HermiteHadamard cho h m lçi, h m lçi kh£ vi, h m s-lçi, h m s-lãm trong ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t v chùng minh mët sè b i to¡n b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng.
T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t
[1] Tr¦n Vô Thi»u, Nguy¹n Thà Thu Thõy (2011), Gi¡o tr¼nh Tèi ÷u phi tuy¸n, NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi,
Ti¸ng Anh
[2] M. Alomari, M. Darus (2008), "The Hadamard's inequality for s- convex function", International Journal of of Mathematics Analysis, 13(2), 639646.
[3] P. Cerone, S.S. Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A per- spective, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA.
[4] S.S. Dragomir, E.M.P. Charles (2000), Selected Topics on Hermite- Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victo- ria University.
[5] H. Hudzik, L. Maligranda (1994), "Some remarks on s-convex func- tions", Aequationes Mathematicae, University of Waterloo, 48, 100 111.
[6] M.E. Ozdemir, C. Yldz, A.O. Akdemir and E. Set (2013), "On some inequalities for s-convex functions and applications", Journal of In- equalities and Applications, 2013:333.
[7] M.E. Ozdemir, C. Yldz (2017), "On generalized inequalities of HarmiteHadamard type for convex functions", International Jour- nal of Analysis and Applications, 14(1), 52-63.
[8] M.R. Taskovic (2012), "Inequalities of general convex functions and applications", Mathematica Moravica, 16(1), 37116.
[9] J.E. Pecaric, F. Proschan, and Y.L. Tong (1991), Convex Functions, Partial Orderings and Statistical Applications, Academic Press, Inc., Boston, San Diego, New York.
[10] K. Tsenga, S. Hwangb, K. Hsu (2012), "Hadamard-type and Bullen- type inequalities for Lipschitzian functions and their applications", Computers & Mathematics with Applications, 64(4), 651660.
[11] H. Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, In Serie Nonconvex Optimization and Its Applications, Kluwer Academic Pub- lishers, Dordrecht, The Netherlands.