Mục này, chúng tôi trình bày một số công thức thú vị để tính diện tích của một tứ giác lưỡng tâm.
Định lý 1.2.22. ([6, tr. 155]) Cho ABCD là một tứ giác lưỡng tâm với các cạnh a, b, c, d. Khi đó, tứ giác ABCD có diện tích
S = √ abcd.
Chứng minh. Đường chéo AC chia tứ giác lưỡng tâm ABCD (ABCD là tứ giác lồi) thành hai tam giác ABC và ADC. Sử dụng các công thức
cos, ta có
a2 + b2 −2abcosB = c2 +d2 −2cdcosD. (1.38) Do ABCD là tứ giác lưỡng tâm, theo định lý Pitot, a+c = b+d, nên
(a−c)2 = (b−d)2 và do đó
a2 −2ac+ c2 = b2 −2bd+d2. (1.39) Trừ vế theo vế của (1.39) cho (1.38) rồi rút gọn, ta thu được
ab(1−cosB) =cd(1−cosD). (1.40) Mặt khác, trong một tứ giác nội tiếp thì hai góc đối diện là bù nhau. Do đó, ta có
(ab+cd) cosB = ab−cd. (1.41) Diện tích S của một tứ giác lồi thỏa mãn
2S = absinB +cdsinD. Từ sinD = sinB, ta có
2S = (ab+cd) sinB. (1.42)
Bây giờ, ta sử dụng công thức (1.41) và (1.42) và đẳng thức sin2B + cos2B = 1, ta có diện tích S của tứ giác ABCD là
(2S)2 = (ab+cd)2(1−cos2B) = (ab+cd)2 −(ab−cd)2 = 4abcd. Suy ra,
S = √ abcd.
Hệ quả 1.2.23. ([6, tr. 157]) Một tứ giác lưỡng tâm với cạnh a, b, c, d có diện tích
S = actan θ
2 = bdcot
θ
2,
với θ là góc giữa hai đường chéo.
Chứng minh. Góc giữa hai đường chéo θ của một tứ giác lưỡng tâm được tính bằng công thức tan2 θ 2 = bd ac. Từ Định lý 1.2.22, ta có S2 = (ac)·(bd) = (ac)2tan2 θ 2.
Chứng minh tương tự, ta thu được kết quả cần chứng minh
S = actan θ
2 = bdcot
θ
2.
Định lý 1.2.24. ([6, tr. 157-164]) Cho ABCD là một tứ giác lưỡng tâm với các cạnh a, b, c, d, p, q, m, n theo thứ tự là độ dài của hai đường chéo và hai đường trung tuyến. Gọi R và r theo thứ tự là bán kính ngoại tiếp và nội tiếp. Khi đó, ta có các công thức để tính diện tích tứ giác ABCD
như sau S = 2r2 1 sinA + 1 sinB 2 . (1.43) S = 1 2 q p2q2 −(m2 −n2)2. (1.44) Định lý 1.2.25. ([7, tr. 237-238]) Nếu một tứ giác lưỡng tâm có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp với các bán kính tương ứng là r và R, thì ta có công thức tính diện tích sau:
S = r(r +√
4R2 +r2) sinθ,
trong đó, θ là góc giữa các đường chéo.
Từ Định lí 1.2.25 ta có Hệ quả 1.2.26 sau:
Hệ quả 1.2.26. ([7, tr. 237-238]) Nếu một tứ giác lưỡng tâm có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp với các bán kính tương ứng là r và R, thì diện tích tứ giác thỏa mãn bất đẳng thức sau:
S ≥r(r +√
4R2 + r2),
trong đó, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Chương 2
Đa giác lưỡng tâm và ứng dụng
Nội dung chính của chương 2 chúng tôi trình bày n-giác lưỡng tâm mà trong đó đường tròn nội tiếp được thay bằng đường tròn bàng tiếp. Chúng tôi cũng khảo sát hệ phương trình liên quan đến các đại lượng kết hợp với n-giác, đường tròn ngoại tiếp, và đường tròn bàng tiếp. Đồng thời chúng tôi cũng trình bày lại một số ứng dụng của vấn đề này.
2.1 Đa giác lưỡng tâm
2.1.1 Tính chất của đa giác lưỡng tâm
Trước hết, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa hệ thức Fuss của n-giác lưỡng tâm và hệ thức Fuss của 2n-giác lưỡng tâm thông qua định lý sau.
Định lý 2.1.1. ([10]) Cho A1. . . An là một n-đa giác lưỡng tâm bất kỳ. Gọi R0 là bán kính đường tròn ngoại tiếp của A1. . . An, r0 là bán kính đường tròn nội tiếp, d0 là khoảnh cách tâm giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Khi đó, tồn tại R2, d2, r2 sao cho
R22 +d22 −r22 = R20 +d20 −r02 (2.1)
R2d2 = R0d0, (2.2)
R22 −d22 = 2R0r2. (2.3) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ phương trình, ta có thể kiểm chứng được rằng hệ phương trình trên có hai nghiệm dươngR2`, d2`, r2`, ` = 1,2
của R2, d2, r2 là R221 = R0 R0 +r0 + q (R0 +r0)2 −d2 0 R222 = R0 R0 −r0 + q (R0 −r0)2 −d2 0 (2.4) d221 = R0 R0 +r0 − q (R0 +r0)2 −d2 0 d222 = R0 R0 −r0 −q(R0 −r0)2 −d2 0 (2.5) r212 = (R0 +r0)2 −d20 r222 = (R0 −r0)2 −d20. (2.6) Ngoài ra, ta dễ dàng kiểm tra được rằng
R212 d221 = R222d222 = R20d20, R221−d221 = 2R0r21, R222−d222 = 2R0r22. (2.7) Bằng cách tính toán trực tiếp, từ (2.1)-(2.3) ta có R0 = R 2 2 −d2 2 2r2 , d0 = 2R2r2d2 R2 2 −d2 2 , (2.8) r20 = −(R22 +d22 −r22) + R22 −d22 2r2 2 + 2R2r2d2 R2 2 −d2 2 2 := ϕ(R2, d2, r2). (2.9)
Ngoài ra, thay R0, d0, r0 trong (2.1), (2.2) và (2.3) tương ứng bằng R21, d21, r21. Khi đó R2, d2, r2 của hệ mới được chuyển thành
R2211 = R21 R21 +r21 + q (R21+ r21)2 −d2 21 , R2212 = R21 R21 −r21+ q (R21 −r21)2 −d2 21 , d2211 = R21 R21+ r21 − q (R21 +r21)2 −d2 21 , d2212 = R21 R21−r21 − q (R21−r21)2 −d2 21 , r2112 = (R21+ r21)2 −d221, r2122 = (R21−r21)2 −d221.
Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét R21, d21, r21 và R211, d211, r211.
Trong [10], Radi´c và Trinajsti´c đã đề xuất giả thiết sau.
Giả thiết 2.1.2. ([10]) GọiFn(R0, d0, r0) = 0 là hệ thức Fuss của n-giác lưỡng tâm, trong đó một đường tròn nằm trong đường tròn còn lại. Khi đó sử dụng (2.8)-(2.9), ta thu được hệ thức Fuss F2n(R2, d2, r2) = 0 của
2n-giác lưỡng tâm bằng
Fn R2 2 −d2 2 2r2 ; 2R2r2d2 R2 2 −d2 2 ;ϕ(R2, d2, r2) = 0.
Ngược lại, từ hệ thức FussF2n(R2, d2, r2) = 0 ta có thể thu đượcFn(R0, d0, r0) = 0 thông qua các công thức (2.4)-(2.6).
2.1.2 Mối quan hệ giữa n-giác lưỡng tâm và 2n-giác lưỡngtâm với đường tròn bàng tiếp tâm với đường tròn bàng tiếp
Trong [10], các tác giả chỉ ra rằng kết quả của Định lý 2.1.1 vẫn đúng khi một đường tròn không nằm hoàn toàn trong đường tròn khác, tức là, khi thay đường tròn nội tiếp bằng đường tròn bàng tiếp. Theo [10] ta có bốn kết quả đã biết sau liên quan tới n-giác lưỡng tâm.
(i) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài (thực chất là các số dương) thỏa mãn d20 −R20 = 2r0R0, d0 + r0 > R0, d0 +R0 > r0, (2.10) thì tồn tại tam giác A0B0C0 sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của 4A0B0C0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của 4A0B0C0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
(ii) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
thì tồn tại lục giác A0B0C0D0E0F0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
(iii) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
R0 = d0, 2R0 > r0, (2.12)
thì tồn tại tứ giác A0B0C0D0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
(iv) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
R40−2d20R02−4d0r02R0+d40 = 0, d0+r0 > R0, d0+R0 > r0 (2.13) thì tồn tại bát giác A0B0C0D0E0F0G0H0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
Bây giờ ta có thể công thức hóa kết quả chính của mục này thông qua một số định lí và ví dụ sau.
Định lý 2.1.3. ([10]) Cho R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
d0 +R0 > r0 hoặc d0 +r0 > R0. (2.14)
Khi đó ta có các bất đẳng thức tương ứng sau
d21 +R21 > r21 hoặc d21 +r21 > R21. (2.15) Chứng minh. Do các hệ thức (2.4)-(2.6) và đẳng thức sau được rút ra từ (2.7),
R0 +d0 > r0 ⇒ (R0 +d0)2 > r20 ⇔R02 + 2R0d0 +d20 > r20 ⇔2R0(R0 + r0) + 2R0d0 > R20 + 2R0r0 + r02 −d2 ⇔d221 + 2d21R21 +R221 > r212 ⇔d21 +R21 > ±r21 ⇔d21 +R21 > r21 (Vì r21 > 0 là bán kính (2.17) đường tròn bàng tiếp của đa giác.).
Tiếp theo, giả sử d0+r0 > R0, một lần nữa sử dụng (2.4)-(2.6), (2.16) và tính chất của đường tròn bàng tiếp, ta được
d0 + r0 > R0 hay rn > R0 −d0 ⇒ r02 > (R0 −d0)2 ⇔R20 + 2R0r0 +r02 −d20 > 2R0(R0 +r0)−2R0d0 ⇔r221 > 2R0(R0 +r0)−2R0d0 ⇔r221 > R221+d221 −2R21d21 ⇒d21+ r21 > ±R21 ⇒d21+ r21 > R21 (Vì R21 > 0 là bán kính (2.18) đường tròn ngoại tiếp của đa giác).
Định lý 2.1.4. ([10]) Cho R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn (2.10), tức là
d20 −R20 = 2r0R0, d0 +r0 > R0, d0 +R0 > r0.
Khi đó, tồn tại lục giác A0B0C0D0E0F0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
Chứng minh. Theo (2.11), ta phải chứng minh
Áp dụng (2.4)-(2.6) ta có d20 −R20 = 2r0R0 ⇔ r02 = (R0 +r0)2 −d20 ⇒ R0 = R0 +r0 − q (R0 +r0)2 −d2 0 ⇔ R20 = d221 ⇔ R20[(R0 + r0)2 −d20] = d221r221 ⇔ 2R0 q (R0 +r0)2 −d2 0] = ±2d21r21 ⇒ R221−d221 = 2d21r21. (2.20)
Định lý 2.1.5. Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn (2.12), tức là
R0 = d0, r0 < 2R0.
Khi đó, tồn tại bát giác A0B0C0D0E0F0G0H0 lưỡng tâm sao cho
R21 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, r21 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, d21 = khoảng cách tâm của hai đường tròn,
trong đó để tính R21, r21, và d21 ta sử dụng công thức (2.4), (2.5), (2.6)
và R0 = d0, r0 < 2R0.
Chứng minh. Theo (2.13), ta cần phải chứng minh
R214 −2d221R221−4d21r212 R21+ d421 = 0. (2.21) Ta có R421+d421 = 4R20(R0 + r0)2 = 2R20d20, −2d221R221 = −2R02d20, −4d21R21r212 = −4R0d0[(R0 +r0)2 −d20]; vì d0 = R0 nên ta suy ra (2.21).
bất kỳ sao cho tồn tại một n-giác lưỡng tâm A1. . . An trong đó R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A1. . . An, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A1. . . An, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn,
và d0 +r0 > R0 và d0 +R0 < r0. Khi đó, tồn tại một 2n-giác lưỡng tâm B1. . . B2n sao cho
R21 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của B1. . . B2n, r21 = bán kính đường tròn bàng tiếp của B1. . . B2n, d21 = khoảng cách tâm của hai đường tròn;
để có R21, d21, r21 tương ứng ta dùng (2.4)-(2.6).
Với n = 3 và n = 4 thì Giả thiết 2.1.2 được dễ dàng suy ra từ các Định lý 2.1.3, 2.1.4 và 2.1.5.
2.2 Một số ứng dụng
Trong mục này, chúng tôi trình bày hai bài toán nổi tiếng về đa giác lưỡng tâm, đó là các bài toán của Fuss và bài toán của Poncelet và ứng dụng. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đề cập tới một số bất đẳng thức về đa giác lưỡng tâm. Nội dung của mục này chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo [2], [11] và [3].
2.2.1 Bài toán của Fuss về tứ giác lưỡng tâm
Nằm trong lớp bài toán về tứ giác lưỡng tâm, bài toán của Fuss được xếp vào một trong những bài toán nổi tiếng nhất của Hình học sơ cấp. Mục tiêu của bài toán nhằm tìm ra mối liên hệ giữa bán kính và đường nối tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tứ giác lưỡng tâm.
Kết quả của bài toán Fuss rất hữu ích cho việc kiểm tra tứ giác đó có phải là tứ giác lưỡng tâm hay không.
Trước tiên, chúng ta nhớ lại rằng một tứ giác lưỡng tâm là tứ giác mà có cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ứng với nó. Ta giả sử P QRS là một đa giác lưỡng tâm. Ký hiệu C là đường tròn ngoại tiếp và G là đường tròn nội tiếp của P QRS (xem Hình 2.1).
Hình 2.1
Gọi X và X0 theo thứ tự là hai tiếp điểm thuộc P Q và RS, Y và Y0 lần lượt là hai tiếp điểm thuộc cạnh P S và QR của tứ giác với G. Giả sử O là giao của XX0 và Y Y0. Khi đó, tổng của các góc trong các tứ giác OXP Y và OX0RY0 bằng 360◦. Ta sử dụng dấu mũ trên để ký hiệu các góc trong hai tứ giác này. Khi đó hiển nhiên
b O +Xb +Pb+Yb = 360◦ và b O +Xc0 +Rb+Yc0 = 360◦. Vì Xb + Xc0 = Yb +cY0 = 180◦, suy ra 2Ob+Pb+Rb = 360◦.
Mặt khác, hai góc Pb và Rb là hai góc đối trong một tứ giác lưỡng tâm. Do đó, tổng của chúng bằng180◦. Và do vậy, ta dễ dàng suy ra O = 90◦. Hay nói một cách khác, hai đường thẳng XX0 và Y Y0 là vuông góc.
Tính chất này là điều kiện đủ để đảm bảo tứ giác P QRS là tứ giác lưỡng tâm. Chẳng hạn, tứ giác P QRS là lưỡng tâm nếu các tiếp tuyến
trong trường hợp Pb+Rb = 180◦ thì tứ giác P QRS là tứ giác lưỡng tâm. Một trong những cách đơn giản nhất để có được mối quan hệ giữa bán kính nội tiếp và ngoại tiếp với khoảng cách tâm đó là sử dụng bài toán tìm quỹ tích như sau.
Bài toán:Gọi O là một điểm cố định bên trong đường tròn G cho trước.
X và Y là hai điểm nằm trên đường tròn G thỏa mãn góc XOY vuông tại O. Các tiếp tuyến tại hai điểm X và Y giao nhau tại P. Tìm quỹ tích của giao điểm P (xem Hình 2.2).
Hình 2.2
Lời giải cho bài toán: Đặt ρ là bán kính của đường tròn G và M là tâm của nó. Đặt e = M O, p = M P, ϕ = OM P\. Gọi F là chân đường cao kẻ từ O đến XY trong tam giác OXY (xem Hình 2.3).
Hình 2.3
Vì tam giác OXY là tam giác vuông, nên OF2 = F X ·F Y. Đường trung trực củaXY đi qua trung điểmN củaXY, tâmM của đường tròn Gvà đỉnh P của tam giác cân XY P. Ta đặtρ0 = M N, e0 = ecosϕ, ρ00 =
N X, e00 = esinϕ = N F. Do OF2 = F X ·F Y nên ta có các đẳng thức sau
(ρ0−e0)2 = (ρ00 −e00)(ρ00+ r00)
2ρ02 −2ρ0ecosϕ+e2 = ρ2. (2.22) Vì hai tam giác vuông M XP và M N X là đồng dạng nên M X
M P = M N M X. Do đó, ta có M X2 = M P ·M N hay
ρ2 = pρ0. (2.23)
Trừ vế theo vế của (2.23) cho (2.22) và biến đổi, ta thu được