Bài toán 2.2.1([11]). Cho ngũ giácAXY ZB nội tiếp đường tròn. GọiP, Q, R, S
lần lượt là hình chiếu của điểmY lên các đường thẳngAX, AZ, BX, BZ. Chứng
minh rằng các đường thẳng P R, SQ, AB đồng quy.
Hình 2.8:
Xét tam giác AXB có điểm Y thuộc AXB với các hình chiếu P, R, H lần lượt lên AX, XB, BA. Theo định lý Simson ta có P, R, H thẳng hàng.
Tương tự S, Q, H thẳng hàng.
Vậy các đường thẳng P R, SQ, AB đồng quy.
Bài toán 2.2.2 ([7]). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi Sa,
Sb, Sc, Sd lần lượt là các đường thẳng Simson của A với tam giác BCD, B với
tam giác ACD, C với tam giác ABD, và D với tam giác ABC. Chứng minh
rằng Sa, Sb, Sc, Sd đồng quy.
Hình 2.9:
Chứng minh. GọiHa, Hb, Hc, Hdlần lượt là trực tâm của tam giácBCD,ACD,
ABD, ABC và M là trung điểm AB. Do đó DHc = 2OM = CHd.
Mặt khác DHc ∥ CHd nên tứ giác DCHdHc là hình bình hành. Từ đó
DHd, CHc cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Tương tự ta thu đượcAHa, BHb, CHc, DHdcắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do Sa đi qua trung điểm AHa, Sb đi qua trung điểm BHb, Sc đi qua trung điểm CHc, Sd đi qua trung điểm DHd, nên ta có Sa, Sb, Sc, Sd đồng quy tại trung điểm của AHa, BHb, CHc, DHd.
Bài toán 2.2.3([2]). Cho tứ giácABCD nội tiếp đường tròn,dA, dB, dC, dD là
các đường thẳng Simson của A, B, C, D tương ứng đối với các tam giác BCD,
CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng dA, dB, dC, dD đồng quy.
Hình 2.10:
Chứng minh. Gọi H1, H2, H3, H4 lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD,
CDA, DAB, ABC.
Suy ra đường thẳng Steiner của điểm A, B, C, D đối với các tam giác BCD,
CDA, DAB, ABC đi qua H1, H2, H3, H4. Do đó dA, dB, dC, dD đi qua trung điểm của AH1, BH2, CH3, DH4.
Gọi M là trung điểm của AB suy ra CH4 = 2OM, DH3 = 2OM
Do đó, ta có CDH3H4 là hình bình hành
Suy ra DH4, CH3 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Tương tự, AH1, BH2 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy dA, dB, dC, dD đồng quy.